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1、第二节等差数列第二节等差数列an1an a1(n1)d (nm)d 2等差数列的性质等差数列的性质已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前n项和和(1)若若m、n、p、q、k是正整数，且是正整数，且mnpq2k.则aman_.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差仍是等差数列，公差为_.(3)数列数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，也是等差数列(4)若数列若数列an的前的前n项和和为Sn，则S2n1(2n1)an.apaq2akkd2三三个个数数成成等等差差数数列列且且知知其其和和时，一一般般设为ad，a，ad，四个数成等差数列且知其和四个
2、数成等差数列且知其和时，怎，怎样设好呢？好呢？【提示】【提示】可设为可设为a3d，ad，ad，a3d. 1(教教材材改改编编题题)在在小小于于100的的正正整整数数中中所所有有被被7除除余余2的的数数的的和和是是()A663B664C665 D666【答案】【答案】C2(2011江江西西高高考考)设an为等等差差数数列列，公公差差d2，Sn为其其前前n项和，若和，若S10S11，则a1()A18B20 C22D24【答案】【答案】B3已知等差数列已知等差数列an中，中，a3a822，a67，则a5_.【解析解析】a3a8a5a622，又，又a67. a515.【答案答案】154设Sn为等差数列
3、等差数列an的前的前n项和，若和，若S33，S624，则a9_.【答案】【答案】15 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 (1)(2011广广东东高高考考)等等差差数数列列an前前9项的的和和等等于于前前4项的的和和若若a11，aka40，则k_.(2)(2011福建高考福建高考)已知等差数列已知等差数列an中，中，a11，a33.求数列求数列an的通的通项公式；公式；若数列若数列an的前的前k项和和Sk35，求，求k的的值【思路点拨】【思路点拨】(1)根据根据S9S4，求公差，求公差d，利用，利用aka40求求k.(2)求求出出公公差差d后后直直接接写写出出an；求求出出Sn后后，根根
4、据据方方程程Sk35，求，求k的值的值等差数列的基本运算等差数列的基本运算 1等等差差数数列列的的通通项项公公式式及及前前n项项和和公公式式，共共涉涉及及五五个个量量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用，知三求二，体现了方程思想的应用2数数列列的的通通项项公公式式和和前前n项项和和公公式式在在解解题题中中起起到到变变量量代代换换作作用用，而而a1和和d是是等等差差数数列列的的两两个个基基本本量量，用用它它们们表表示示已已知知和和未未知知是是常用方法，称为基本量法常用方法，称为基本量法3等等差差数数列列的的通通项项公公式式形形如如ananb(a，b为为常常数数)，前前n项项和
5、和公公式式形形如如SnAn2Bn(A，B为为常常数数)，结结合合函函数数性性质质研研究究等等差差数列常常可以事半功倍数列常常可以事半功倍本本例例(2)中中若若将将“a11，a33”改改为“a131，S10S22”试求求(1)Sn；(2)这个数列的前多少个数列的前多少项的和最大，并求出的和最大，并求出这个最大个最大值 (1)(2011辽辽宁宁高高考考)Sn为等等差差数数列列an的的前前n项和和，S2S6，a41，则a5_.(2)设等等差差数数列列an的的前前n项和和为Sn，已已知知前前6项和和为36，最最后后6项的和的和为180，Sn324(n6)，求数列，求数列an的的项数及数及a9a10.等
6、差数列的性质及应用等差数列的性质及应用 【尝试解答】【尝试解答】(1) S2S6， S6S2a3a4a5a60， 2(a4a5)0，即，即a4a50， a5a41.1在在等等差差数数列列an中中，若若mnpq2k，则则amanapaq2ak，是常用的性质，本例，是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质都用到了这个性质2等差数列的简单性质：等差数列的简单性质：(1)anam(nm)d；(2)S2n1(2n1)an.在在等等差差数数列列an中中，已已知知a120，前前n项和和为Sn，且且S10S15，求当，求当n取何取何值时，Sn取得最大取得最大值，并求出它的最大，并求出它的最大值【思路点
7、拨】【思路点拨】(1)由由a120及及S10S15可求得可求得d，进而求得通项，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于是关于n的二次函的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差数列的性质，利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号判断出数列从第几项开始变号 等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值 在等差数列在等差数列an中，中，a16a17a18a936，其前，其前n项和和为Sn.(1)求求Sn的最小的最小值，并求出，并求出Sn取最小取最小值时n的的值(2)求求Tn|a1|a2|an|
8、.等差数列在每年的高考中均有所涉及，主要考等差数列在每年的高考中均有所涉及，主要考查等差数等差数列的通列的通项公式、前公式、前n项和及等差数列的性和及等差数列的性质，各种，各种题型均有可型均有可能出能出现，一般有一个小，一般有一个小题或在解答或在解答题中出中出现，在等差数列的有，在等差数列的有关关计算中，算中，应注意整体代入方法的注意整体代入方法的应用用(2012惠州模拟惠州模拟)设等差数列设等差数列an的前的前n项和项和Snm，前，前m项项和和Smn(mn)，求它的前，求它的前mn项的和项的和Smn.思想方法之八整体代入法在等差数列中的应用思想方法之八整体代入法在等差数列中的应用易易错错提提
9、示示：(1)直直接接求求a、d或或A、B的的值值，因因运运算算量量大大，造造成成计计算失误算失误(2)在在用用整整体体代代入入的的方方法法求求解解时时，找找不不到到已已知知与与所所求求的的关关系系，导导致无法求解致无法求解防防范范措措施施：(1)在在与与等等差差数数列列前前n项项和和有有关关的的计计算算中中，若若直直接接求求解有困难时，可尝试用整体代入的方法求解解有困难时，可尝试用整体代入的方法求解(2)在使用整体代入的方法时，可先列出所求的式子，分析出哪在使用整体代入的方法时，可先列出所求的式子，分析出哪些已知，哪些未知，从而确定需要整体代入的些已知，哪些未知，从而确定需要整体代入的“整体整体” 1(2011天津高考天津高考)已知已知an为等差数列，等差数列，Sn为其前其前n项和，和，n N*，若，若a316，S2020，则S10的的值为_【答案】【答案】1102(2012清远质检清远质检)等差数列等差数列an中，若中，若a3a4a512，则a1a2a7_.【答案】【答案】28
