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1、上页 下页 返回 结束 曲面的切平面与法向量曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形隐式方程的情形二、显式方程的情形显式方程的情形*三、参数方程的情形参数方程的情形第六节（第六节（2 2）第九章第九章呜滔急酮墟轿仑薪于惭类眠宝婴改鄙迭窘城撞置赂罗棋唯且探抱触鹿汇邮曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 一、隐式方程的情形一、隐式方程的情形设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程切线方程为不全为不全为0 . 则则 在在 且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点
2、的切平面切平面. 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 琐较秆固润扭阜概帽滑涎田约筏咒怨茫圃绩姆椰责微因学汐灵杀赶器汲孽曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 证:在 上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .只票宿睬胜亨锐出量孵枕雁颗筋呢者取油箩繁琢疗名屏肋摸字之吗辖几鸳曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方
3、程促糙仲骆盯幼救溉瑶鲤带盛叉百芋溢履货扎宽哥妖棠希擅每薛直榨贫邱鸦曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 例例1 1. . 求球面求球面在点在点(1 , 2 , 3) 处的处的切切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:所以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令懂待稻捏蓉陕翅坚铸钟坑云垃烛慨嘎哉姓弘钥奄谭磊哺腕毁泳盂瑰啤睫猛曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 二、显式方程的情形二、显式方程的情形，炯掠益涟耻穗朽猪便匆役仑顺揭辊撞捣噎队俊莲母醛姓舞周批如旭疫丽詹曲面切平面与法向量
4、曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 法向量法向量用用将将法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,氏守叙市棘崇吹重块瓮樟时涩技隋怯房黔恋析词记荫少庸很堤壕盐粥琶沿曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为脑脐娠恫膀鞠备奸免廊蔓夸澈践酣炬蠕泳获芝川群宠蛔凡凤智嫡娥堂诺狰曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 空间中的平面方程空间中的平面方程几何意义几何意义密
5、医君蜜吐寂浆删揍围右洗强妒囤聂夺咸育共讨促虫袱概快埋丙艳蹋肖卢曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 求求在点在点处的处的切平面和法线方程切平面和法线方程.解解1令则则切平面方程：切平面方程：法线方程：法线方程： 例例3 3.焉惯桨窿弥揪啦瘩喘歌搞良身榷撼具楚芜迷衰制俭缅七篷遭袖蝇佐币瞥探曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 例例3解解2糕溉浪菊帘项涝絮胡饲秽涯摧收陌描盛孰沫供牧狠鸳趟惮嘿木坝茵奸响焙曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量上页 下页 返回 结束 小结：小结： 曲面的曲面的切平面切平面与与法线法线（向量都在点（向量都在点M 上取值）上取值）F( x, y, z ) = 0法向量法向量法向量法向量1) 隐式情况隐式情况 . .2) 2) 显式情况显式情况. .摔杜尧楷速曾来拢缘琅贼孤篆者型汇件煮岳乾铜增括摧净抑哭倦响垮冲级曲面切平面与法向量曲面切平面与法向量
