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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 3.1 二维随机变量二维随机变量3.2 3.2 边缘分布边缘分布3.3 3.3 条件分布条件分布3.4 3.4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量3.5 (3.5 (多维多维) )随机变量函数的分布随机变量函数的分布13.1 二维随机变量引例：炮弹的弹着点的位 考查某一地区学 实例1实例2构成二维随机变量(H,W). 童的身高 H 和体重 W 就 前儿童的发育情况, 机变量. 置 (X,Y) 就是一个二维随 则儿 2定义定义: : 将将n n个随机变量个随机变量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n构成一个构成一个n n维
2、向量维向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )称为称为n n维随机变量。维随机变量。说明：说明：1. 一维随机变量一维随机变量X：R1上的随机点坐标上的随机点坐标二维随机变量二维随机变量(X,Y)：R2上的随机点坐标上的随机点坐标n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)：Rn上的随机点坐标上的随机点坐标2. 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于有关，而且还依赖于X、Y的相互关系。的相互关系。3.多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律
3、率密度、或分布律来描述其统计规律一一. n. n维随机变量维随机变量3 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二. 联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F( )表表示随机点示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：4对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), 则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2,
4、y2)(x2, y1)(x1, y2)5分布函数分布函数F(x, y)具有如下具有如下性质性质：且(1)归一性归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,6 (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). (3)右连续右连续 对任意xR, yR, 7(4)矩形不等式矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一满足上述
5、四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。8例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY15求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。 例例4. 设解：(1)由归一性16(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 0, 2X+3y2X+3y 6 6 内
6、的概率。内的概率。解17 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有有18例例5.5.设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0, 20, | |1，则称，则称(X,
7、 Y) 服从参数服从参数 1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为的二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为20分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的的分布函数，或分布函数，或随机变量随机变量X1, X2, , Xn的联合的
8、联合分布函数分布函数。21定义定义: : 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的有限或可列上的有限或可列无穷多个点，称无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维离散型的，称维离散型的，称 PX PX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n
9、) )为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的概率密度。的概率密度。定义定义: : 对于对于n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非负的，如果存在非负的n n元元函数函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使得对任意的使得对任意的n n元立方体元立方体有有22FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数. 3.2 边缘分布边缘分布
10、FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的的边缘分布函数边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低低维分量的分布维分量的分布。一、边缘分布函数一、边缘分布函数23例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。24二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律为律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；P
11、Y yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。25例例2.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/526三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。 设设(X, Y
12、)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数； 同理，称同理，称易知易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N( 1, 12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N( 2, 22)的密度函数，故的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。27例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性283.4 相互独立的随机变
13、量相互独立的随机变量定定义义: : 称称随随机机变变量量X X与与Y Y独独立立，如如果果对对任任意意实实数数ab,cdab,cd，有，有 PaXPaX b,cYb,cY d=PaXd=PaX bPcYbPcY d d 即即事事件件aXaX bb与与事事件件cYcY dd独独立立，则则称称随随机机变变量量X X与与Y Y独立。独立。定理：随机变量定理：随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是F(x,y)=FX(x)FY(y) 29定定理理: : 设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，X X与与Y Y独独立立的的充分必要条件充分必要条件是是f(
14、x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定定理理: : 设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，其其分分布布律律为为P Pi,ji,j=PX=x=PX=xi,i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.，则则X X与与Y Y独独立立的的充充分分必要条件必要条件是对任意是对任意i,ji,j，P Pi,ji,j=P=Pi i . .P P j j 。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对
15、(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值点的每一对可能取值点, ,边缘分布的乘积都等于边缘分布的乘积都等于联合分布即可联合分布即可30例例4. 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。例例5.5.甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会在某地会面。设两人都随机地在这期间的面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待任一时刻到达，先到者最多等待1515分钟过时不候。求两人能见面分钟过时不候。求两人能见面的概率。的概率。31定义定义. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为的分布函数为F
16、(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的的k（1 k0,则称同理，同理，对固定的i,pi.0,称为Xxi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;36例例1 1.设设某某昆昆虫虫的的产产卵卵数数X X服服从从参参数数为为5050的的泊泊松松分分布布，又又设设一一个个虫虫卵卵能能孵孵化化成成虫虫的的概概率率为为0.8,0.8,且且各各卵卵的的孵孵化化是是相相互互独独立立的的，求求此此昆昆虫虫产产卵卵数数X X与与下下一一代代只只数数Y Y的的联联合分布律合分布律. .37二. 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数
17、.记作可证当时38若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，则当时，类似定义，当时39例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=403.5 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X，Y），）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函
18、数的分布律41 例例1.1.设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律；(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律；(4) 求w与V的联合分布律。42(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)011201110001VW0101200043二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, ,
19、xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数:442、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 45例例2. 2. 设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立且均服从标准正态分布，独立且均服从标准正态分布，求证：求证：Z=X+YZ=X+Y服从服从N N（0 0，2 2）分布。）分布。一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则46例例3.3.卡车装运水
20、泥卡车装运水泥, ,设每袋水泥的重量设每袋水泥的重量X(kg)X(kg)服从服从N(50,2.5N(50,2.52 2) )分布分布, ,该卡车的额定载重量为该卡车的额定载重量为2000kg,2000kg,问最问最多装多少袋水泥多装多少袋水泥, ,可使卡车超载的概率不超过可使卡车超载的概率不超过0.05.0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得47(2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。 y G1 0 G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。 483、极大、极大(小
21、小)值的分布值的分布 设X1, X2, , Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2), , Fn(xn)，记MmaxX1, X2, , Xn , NminX1, X2, , Xn 则，M和N的分布函数分别为： FM(z)F1(z) Fn(z)49 特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 进一步地，若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z). 50例4.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度51小结小结52
