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1、第十单元实数第十单元实数第第34课时圆的有关性质课时圆的有关性质本课时复习主要解决下列问题.1.圆的有关概念及圆心的确定圆的有关概念及圆心的确定此内容为本课时的重点.为此设计了限时集训中的第1，12题.2.圆心角、弧、弦之间的相等关系、定理及推论圆心角、弧、弦之间的相等关系、定理及推论此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了归类探究中的例1；限时集训中的第5题.3.运用垂径定理及推论进行证明与计算运用垂径定理及推论进行证明与计算此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例2；限时集训中的第4，6，7，8，9，13题.复习指南复习指南复习指南复习指南4.圆周角定理及推论，并进行证明与计算圆周
2、角定理及推论，并进行证明与计算此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了归类探究中的例3，例4（包括预测变形1，2，3）；限时集训中的第2，3，10，11，14，15题.1.圆的有关概念圆的有关概念定义：定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形叫做 ，固定的端点叫做 ， 线段OA叫做圆的 .等圆：等圆：半径相同的圆称为等圆. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优 弧，小于半圆的弧称为劣弧.考点管理考点管理考点管理考点管理圆圆心 半径 弦弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.弦心距弦心距：从圆心到弦的
3、距离叫做弦心距.等弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.同心圆同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系关关 系系：如图34-1,点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O的距离为d， 圆的半径为r.（1）点在圆的外部：点到圆心的距离 圆的半径，OP1=dr；（2）点在圆上：点到圆心的距离 圆的半径，OP2=d=r；（3）点在圆的内部：点到圆心的距离 圆的半径，OP3=dr.大于 等于小于3.确定圆的条件确定圆的条件条件条件：经过不在同一直线上的三点 .注意注意：三角形三边的垂直平分线有且只有一个交点，这一点叫做三角形的外接圆的圆心，即三角形的外
4、心.4.圆的轴对称性圆的轴对称性圆的轴对称性圆的轴对称性:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.有且只有一个圆 平分平分垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的两条 .注意：注意：推论（1）“不是直径”是指被平分的弦不是直径，因为两条直径互 相平分，但并非一定垂直.规律规律：如图34-2所示，因为圆是轴对称图形， 所以圆中的五个条件：AC=CB, AD=DB,AE=BE,ABCD， CD是直径，只要满足其中的两个， 另外三个
5、就一定成立.（圆心弧5.圆心角圆心角定义定义：顶点在 的角叫做圆心角.注意注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和圆相交.定理定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 .注意注意：1的弧是指把圆心角360分成360等份，那么1的圆心角所 对的弧叫做1的弧，因此n的圆心角就对着n的弧，圆心角 的度数与它所对的弧的度数相等.圆心相等 7.圆周角圆周角定义定义：顶点在 圆 上，两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.易错点易错点：图34-3中的ABC都不是圆周角.定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧 所对的 的一半.推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90圆周角所
6、对的弦是 .注意注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一 个是劣弧所对的角，这两个角互补.相等圆心角直径直角6.圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ， 所对弦的弦心距 .推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.注意注意：（1）应用圆心角、弧、弦、弦心距的关系时，前提条件是“在同 圆或等圆中”； （2）本定理十分重要，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间 的转化关系，是圆的相关性质的核心内容.相等相等相等8.圆
7、内接四边形圆内接四边形定义：定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做 这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.性质：性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.规律：规律：圆内接四边形对角互补，它的外角起到了沟通圆内外图形的关系 的作用，利用这一性质可以把圆外的角转到圆内.归类探究归类探究类型之一圆心角、弧、弦之间的关系类型之一圆心角、弧、弦之间的关系2010金华如图34-4，AB是O的直径，C是BD的中点，CEAB 于 E，BD交CE于点F（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，则O的半径为 ，CE的长是 .例1答图（ 5 【解析】
8、（1）如图所示，由2=A=D=1，得CF=BF；（2）由CD=BC和AB是直径，运用勾股定理和面积法可直接求出AB和CE.解：(1)证明：如图，AB是O的直径，ACB=90.又CEAB，CEB=90，2=90-CBE=A.又C是BD的中点，1=D=A，1=2, CF=BF. (2)由（1）知，BC=CD=6，（在RtABC中，AB=O的半径为5.又SABC= 即O的半径为5，CE的长为【点悟】在同圆（或等圆）中，圆心角（或圆周角）、弧、弦中只要有 一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等.这种性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的.类型之二垂径定理的运用类型之二垂径定理的运用2010南通
9、 如图34-5，O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD6 cm，求直径AB的长类型之二垂径定理的运用类型之二垂径定理的运用2010南通 如图34-5，O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD6 cm，求直径AB的长方法二方法二：【点悟】知道直径与弦垂直，往往利用垂径定理和直角三角形的性质，达到求解的目的.类型之三类型之三 圆周角定理及其推论的运用圆周角定理及其推论的运用如图34-6，A、B、C是O上的点，以BC为一边，作CBD=ABC，过BC上一点P，作PEAB交BD于点E.若AOC=60，BE=3，则点P到弦AB的距离为 .【解析解析】CBD=ABC，点P到弦AB的距离
10、等于点P到弦BD的距离.过P作PHBD，垂足为H.ABC= AOC,又AOC=60,ABC=30.又PEAB,ABC=BPE,又ABC=CBD,CBD=BPE=30,PE=BE=3,又PED=BPE+CBD,PED=60.在RtPEH中,PE=3,PEH=60,PH=PEsin 60= .点P到弦AB的距离为【点悟点悟】转化思想可以化繁为简，在解决有关圆心角、圆周角问题时，常利用“圆弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”来互相转化，以方便计算，也可以利用角平分线上一点到角两边的距离相等，把求角平分线上一点到角的一边的距离转化为求这一点到另一边的距离. 2011预测题如图34-7，点A、B、D、
11、E在O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）【解析解析】（1）连接AD，由直径AB知ADBC,再由BD=CD，易证AB=AC.（2）连接BE,显然BEAC.要想AE=EC，ABC必须是正三角形,故补充ABC为正三角形的条件即可.解：（1）AB=AC.证明：连接AD，AB为直径，ADBC.AD公共，BD=DC，RtABDRtACD，AB=AC.证法二证法二：连接AD，AB为直径，ADBC.又BD=DC，AD是线段BC的中垂线，A
12、B=AC.(2)ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或A=B或A=C. 预测理由预测理由它具体反映圆的对称性，把勾股定理和圆的有关特性联系在一起，是新教材重点需要掌握的内容和重要考点.预测变形预测变形1已知：如图34-8，AB为O的直径，AB=AC,BC交O于点D，AC交O于点E，BAC=45.（1）求EBC的度数；（2）求证：BD=CD.【解析】（1）由AB为直径易知EBD与 C互为余角； （2）等腰三角形“三线合一”.解：（1）AB是O的直径，AEB=90.又BAC=45，ABE=45.又AB=AC，ABC=C=67.5，EBC=90-C=22.5.（2）证明：连接ADAB是O的直径，
13、ADB=90，ADBC.又AB=AC，BD=CD.预测变形预测变形2010邵阳如图34-9，在等边ABC中，以AB为直径的O与BC相交于点D，连接AD，则DAC的度数为30【解析解析】AB为直径，BDA=90,DA平分BAC，DAC= . 30 预测变形2010成都如图34-10，在ABC中，AB为O的直径，B=60,C=70,则BOD的度数是 度【解析解析】C=70,B=60,A=50，OA=OD,A=ADO=50,BOD=502=100.【点悟点悟】直径所对的圆周角为直角在圆的有关证明和计算中应用非常广泛.它利用线段的位置大小关系可转化为角的大小关系.此种转化思想也是几何论证与计算的精华.
