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1、高中数学3.4 基本不等式ab a b2一、三维目标：1、知识与技能：理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第 24 届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以 a，b 为直角边的直角ABC，组成正方形 ABCD则AB BC CD DAa2b21SABCD
2、 a2b2SABEab2如图可知：SABCD 4SABE即a b 2ab当且仅当小正方形 EFGH 面积为 0 时取等号，即ab 0,a b时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式a b 2ab，将其中的a,b用a, b代换，得到基本不等式ab 2222a b，当且仅当a b时，即a b时取得等号。222特别注意，重要不等式a b 2ab的适用范围是全体实数，而基本不等式ab a b的使用需要a 0,b 022、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）数列角度：两正数的等差中项不小于
3、它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证ab a b， 只需证明ab 2 ab（2） 。 要证明 （2） 只需证明ab2 ab 0（3） 。2高中数学高中数学要证明（3）只需证明( a b)2 0（4） 。 （4）式显然成立，故得证。（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100 平米的花圃种花。有以下两种方案：圆形花圃：造价 12 元/米矩形花圃：造价 10 元/米你觉得哪个方案更省钱呢？分析及解答：因为初中学习过平面几何， 同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大， 由此可知，
4、同样的面积肯定是为圆形用的材料省。 但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少， 但是每米的花费高， 所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。 在这里让学生分成两派， 可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。圆形花圃：S圆r 100,r 210,C 2r 20,花费约为432元矩形花圃：设两边为 x，y，C 2(x y) 4 xy 40，故当 x=y 时花费最少为 400 元（2）现在只有 36 米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？解：C 2(x y) 36, x y 18 x y 2xy 18 2xy, S xy 81当且仅当 x y时，面积有
5、最大值为 81m2（3）有人出了个主意， 让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边， 可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36 米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？分析：已知 x 2y为定值，求 S xy的最大值的问题162m2解：x 2y 36 2x2y xy 162当且仅当 x 2y时，S有最大值为2、看谁算得快！(1)若x y 4,则x y有最_值为_(2)若x y 4,则x y有最_值为_(3)若2x y 8,则x y有最_值为_,此时x _ y _(4)若x y 6则2x3y有最_值为_此时x _ y _4(5)已知a 0,则a有最_值为_此时a _a4(6)已知a
6、0,则a有最_值为_此时a _a4(7)已知a 0,则a有最_值为_此时a _a3、大家来挑错！444解： y x 2 x 4函数值域为4， )(1)求函数 y x 的值域xxx分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。4(2)已知a 3,求a 的最小值a 3a 3,a3 0,a4 2 a4,当a 4,即a 4时,a4取得最小值为解： 8a3a3a3a3高中数学高中数学本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件， 只是盲目的套用基本不等式的形式， 导致所得结果并不是最小的值。提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积
7、或和必须是定值。4(3)求函数y sin其中 （0， 的最小值sin244解：y sin 2 sin 4函数的最小值为4。sinsin本题的解答没有注意sin 本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。（三）小结：1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。2、积定和最小、和定积最大。3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”四、作业：1、书后练习题。2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。五、课后反思：1、多媒体的运用。在引入部分，关于数
8、学家大会的图标， 如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果， 让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。已知S xy的最大值的问题2、x 2y为定值，求应该引导学生多种思路考虑问题1比如S xy x2y这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。23、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。 一些简单的， 同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题， 让学生在很短的时间中完成。 这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用， 而且也对快速反应和解答题目进行了强化， 提高学生解题效率。4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。天津市二十中学归娜高中数学
