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1、1课堂教学第四章第四章 圆轴扭转圆轴扭转=4-2 4-2 受扭圆杆横截面上的内力受扭圆杆横截面上的内力 4-34-3受扭圆杆的应力和变形受扭圆杆的应力和变形 4-1 4-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 4-44-4圆杆受扭时的强度及刚度计算圆杆受扭时的强度及刚度计算2课堂教学4-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例一、实例一、实例一、实例一、实例一、实例一、实例一、实例一、实例传动轴传动轴3课堂教学4课堂教学传动轴传动轴5课堂教学二、扭转的概念二、扭转的概念二、扭转的概念二、扭转的概念受力特点：受力特点： 构件的两端受相反方构件的两端受相反方向，作用面垂直于轴线的一向，作用面垂直于轴线的
2、一对力偶的作用。对力偶的作用。（力偶的方（力偶的方向向-轴向）轴向）变形特点：变形特点： 横截面发生相对的转动横截面发生相对的转动（绕轴转动）（绕轴转动）研究对象：研究对象：等直杆、圆形截面杆或可近似为等直圆截面杆的构等直杆、圆形截面杆或可近似为等直圆截面杆的构件。件。6课堂教学1 1、直接计算、直接计算一一. .外力偶矩外力偶矩4-2 受扭圆杆横截面上的内力受扭圆杆横截面上的内力7课堂教学1 1、承受扭转的轴通常是用来传递功率的，若传输的功率为、承受扭转的轴通常是用来传递功率的，若传输的功率为N N千瓦，转千瓦，转速速n n转转/ /分分, ,则此轴传递的外力偶矩为：则此轴传递的外力偶矩为：
3、2 2、按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算每秒内做的功：每秒内做的功：每秒内做的功还等于：每秒内做的功还等于：2 2、若传输的功率为、若传输的功率为N N马力，转速马力，转速n n转转/ /分分, ,则此轴传递的外力偶矩为：则此轴传递的外力偶矩为：8课堂教学mmmTmT1、内力：、内力：二、圆轴扭转内力：二、圆轴扭转内力：二、圆轴扭转内力：二、圆轴扭转内力：-扭矩扭矩T截面法求内力截面法求内力x9课堂教学三、扭矩图：三、扭矩图：三、扭矩图：三、扭矩图：以横截面所在的轴的位置为横坐标，以横截面所在的轴的位置为横坐标，T的大小的大小为纵坐标作出的图形为纵坐标作出的图形-扭矩图。扭矩图。2、符
4、号规定：、符号规定：T沿截面的外法向为正沿截面的外法向为正mTmT意意义义直观地反映轴上任意位置横截面上的内力直观地反映轴上任意位置横截面上的内力-扭矩的变化。扭矩的变化。x10课堂教学例题例题1 图示一皮带传动轴，轮子图示一皮带传动轴，轮子A用皮带直接与原动机连接，轮用皮带直接与原动机连接，轮 子子B和和C与机床连接。已知轮子与机床连接。已知轮子A传递的功率为传递的功率为60kW， 轮子轮子B 传递传递34kW，轴的转速，轴的转速150r/min,略去轴承的摩擦略去轴承的摩擦 力，试作出轴的扭矩图。力，试作出轴的扭矩图。解：解：1、外力偶矩、外力偶矩m1m2m3ABC11课堂教学m1T1T2
5、T1=0T2=m1 =2164.4m1m2T3T4m1m2m3T3=m1-m2 =-1655.2T3=m1-m2+m3 =02、扭矩、扭矩m1m2m3ABC112233442164.43819.61655.212课堂教学m1m2m3xT-1655.2Nm+2164.4Nm3、作扭矩图、作扭矩图m1m2m3ABC2164.43819.61655.24、若将轮、若将轮A和轮和轮B换一个位置，则最大扭矩会怎样换一个位置，则最大扭矩会怎样13课堂教学m1m2m3ABCm2m1m3xT-1655.2Nm-3819.6Nm2164.43819.61655.214课堂教学例题例题2xT-30KN.m+10K
6、N.m+30KN.m30KN.m20KN.m40KN.m15课堂教学讨论：讨论：1、完整的、完整的Tx 图，包含坐标轴方向、比例尺、大小、单图，包含坐标轴方向、比例尺、大小、单 位、特征点的位、特征点的T值。值。2、Tx 图是一条连续的曲线。图是一条连续的曲线。3、在集中力偶作用的地方，扭矩图发生突变。、在集中力偶作用的地方，扭矩图发生突变。4、突变的数值等于集中力偶的大小，突变的方向由集中力、突变的数值等于集中力偶的大小，突变的方向由集中力 偶的方向决定。偶的方向决定。5、以外法向的力偶产生的扭矩为正，负法向的力偶产生、以外法向的力偶产生的扭矩为正，负法向的力偶产生 的扭矩为负。的扭矩为负。
7、16课堂教学扭矩图的简便计算扭矩图的简便计算 1、自左到右的方向进行；、自左到右的方向进行；M2M12、遇到图示外力偶矩，内力扭矩、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为正；的增量为正；3、遇到图示外力偶矩，内力扭矩、遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为负；的增量为负；4、扭矩图上的突变值等于外力偶矩。、扭矩图上的突变值等于外力偶矩。从右开始，向右方向的外力偶矩产生正的扭矩。从右开始，向右方向的外力偶矩产生正的扭矩。从左开始，向左方向的外力偶矩产生正的扭矩；从左开始，向左方向的外力偶矩产生正的扭矩；17课堂教学20KN.m10KN.m10KN.m20KN.m例题例题3xT+20（KN.m）+
8、10+2018课堂教学例题例题4xT （KN.m）+20+4020KN.m40KN.m20KN.m40KN.m20KN.m19课堂教学例题例题5xT+M+3M+MaaM2Mm=2M/a20课堂教学4-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力分析思路：分析思路：分析思路：分析思路：应力应力内力分布内力分布一、实验观察一、实验观察一、实验观察一、实验观察1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线）在圆轴的外表面上纵向作平行直线2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线abcdabcd静力关系静力关系几何关系几何关系物理关系物理关系变形几何规律变形几何规律实验观察实验观察3）在圆筒的
9、两端加上静载外力偶矩）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。，观察变形。21课堂教学abcdabcdabcdMM3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。，观察变形。4）观察变形）观察变形abcdab c d 提出假设：提出假设： ac、bd代表的是两个横截面代表的是两个横截面横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。转过一定的角度，仍维持为圆截面。平面假设成立平面假设成立!22课堂教学1）平面假设成立）平面假设成立2）轴向无伸缩）轴向无伸缩3）纵向线变形后仍为平行直线）纵向线变形后仍为
10、平行直线4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度观察到的变形：观察到的变形：abcdabcd23课堂教学dxbdacRxAdxxMMdxx二、变形几何规律二、变形几何规律二、变形几何规律二、变形几何规律AAAbd取一小段取一小段dx圆轴研究之，如上图示圆轴研究之，如上图示24课堂教学外表面上：外表面上：bb内部内部A： AAdxbdacRxAdxxAAAbd 同一截面上（选择了参考面后），同一截面上（选择了参考面后）， 相同相同-单位长度上横截面的相对扭转角单位长度上横截面的相对扭转角变形几何规律变形几何规律25课堂教学三、物理关系三、
11、物理关系三、物理关系三、物理关系当当时，时，（剪切胡克定律）（剪切胡克定律）剪应力分布规律：剪应力分布规律：3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动， 横截面上点沿圆周线位移，横截面上点沿圆周线位移， r r 与半径线垂直，且顺着与半径线垂直，且顺着 T的方向。的方向。1）同一截面上，）同一截面上， r r 与与 r r 成正比，即成正比，即 r r 沿半径线线性分布沿半径线线性分布2）同一截面上，）同一截面上， r r在同一圆周上有相同的大小。在同一圆周上有相同的大小。26课堂教学TTdxbdacRxAAbd27课堂教学xTD五、静
12、力关系五、静力关系五、静力关系五、静力关系横截面上内力系合成的结果横截面上内力系合成的结果TT内力合力内力合力T令令横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。28课堂教学抗扭截面系数，与截面的大小、抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。形状、尺寸等有关。六、公式的适用范围六、公式的适用范围六、公式的适用范围六、公式的适用范围1、圆轴扭转、圆轴扭转2、弹性范围内、弹性范围内29课堂教学七、七、七、七、 I IP、WWt的计算的计算的计算的计算D1、实心圆轴、实心圆轴2 2
13、、空心、空心圆轴30课堂教学例题例题5 实心圆轴的直径实心圆轴的直径d=100mm，长，长L=1m，两端受力偶矩，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设材料的剪变模量作用，设材料的剪变模量G=80109N/m， 求：求： 1）最大剪应力）最大剪应力max； 2）图示截面上）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值及方向三点剪应力的数值及方向; 3）若将圆轴在保持截面面积）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为相同时改为d/D=1/2 的空心圆轴，其最大剪应力的空心圆轴，其最大剪应力max。mmABC31课堂教学ABC解：解：1）T=m=14KN.m2)3) A相同，空心率相同，空心率d/D=1/232
14、课堂教学最大应力下降了最大应力下降了30.7%！33课堂教学八、横截面上的剪应力分布八、横截面上的剪应力分布TT34课堂教学 n n九、九、圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力TTn n35课堂教学xn36课堂教学斜截面上的正应力和剪应力为斜截面上的正应力和剪应力为:1、讨论：讨论：2、3、4、 37课堂教学4-3 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、相对扭转角：一、相对扭转角：一、相对扭转角：一、相对扭转角：两个一定距离的截面在外力偶作用下产生的两个一定距离的截面在外力偶作用下产生的扭转变形，即相对转过的角度。用扭转变形，即相对转过的角度。用 j j 表示。表示。1）T不同分段积
15、分不同分段积分2）材料不同，分段积分）材料不同，分段积分3）截面不同，分段积分）截面不同，分段积分4）若在某一范围内）若在某一范围内T一样，截面一样，材料相同，则一样，截面一样，材料相同，则-材料的抗扭刚度材料的抗扭刚度二、单位长度上的相对扭转角二、单位长度上的相对扭转角二、单位长度上的相对扭转角二、单位长度上的相对扭转角 -相对变形相对变形相对变形相对变形38课堂教学4-4 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算2、设计截面尺寸：、设计截面尺寸：3、设计载荷：、设计载荷：一、强度设计准则：一、强度设计准则：一、强度设计准则：一、强度设计准则：1、校核强度：、校核强度：其中其中
16、称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：二、扭转刚度条件：二、扭转刚度条件：二、扭转刚度条件：二、扭转刚度条件：其中其中j j 称为许用单位长度相对扭转角。称为许用单位长度相对扭转角。39课堂教学2、设计截面尺寸：、设计截面尺寸：3、设计载荷：、设计载荷：1、校核刚度：、校核刚度：可进行如下三种刚度计算：可进行如下三种刚度计算：40课堂教学例题例题6 功率为功率为150kW，转速为，转速为15.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。xT+1.55KN.m解
17、：解：1、求外力偶矩、求外力偶矩2、作扭矩图、作扭矩图3=1351=702=75MM3、计算并校核剪应力强度、计算并校核剪应力强度满足强度要求。满足强度要求。41课堂教学例题例题7 已知阶梯轴如图示，已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m, G=80GPa,=80MPa, 1) 试求试求max的值，并作强度校核；的值，并作强度校核； 2）若）若j j =1.5 o /m,试校其刚度；试校其刚度；3）轴的总变形。）轴的总变形。 70m1m25075050xT-1200N.m-3000N.m解：解：1、求内力，作扭矩图、求内力，作扭矩图42课堂教学轴的强度足够轴的强度足够!2
18、、强度校核、强度校核3、刚度校核、刚度校核轴的刚度足够轴的刚度足够!4、总变形、总变形43课堂教学例题例题8 一圆轴以一圆轴以300转转/分的转速传递分的转速传递331KW的功率，若的功率，若 =40106MPa，j j =0.5/m，G=80GPa，试设计，试设计 轴的直径。轴的直径。解：解：1、求外力偶矩、求外力偶矩2、内力、内力-扭矩扭矩T3、由强度条件：、由强度条件：44课堂教学4、由刚度条件：、由刚度条件：取取d=12cm*4、由刚度条件：、由刚度条件：由强度设计，取由强度设计，取d=12cm取取d=12cm符合刚度条件符合刚度条件45课堂教学本章小结本章小结一、基本概念：一、基本概
19、念：一、基本概念：一、基本概念：圆轴扭转与非圆轴扭转。圆轴扭转与非圆轴扭转。二、基本方法：二、基本方法：二、基本方法：二、基本方法：1、T的作法的作法2、求应力的、求应力的“三关系三关系”法法三、基本公式：三、基本公式：三、基本公式：三、基本公式：1、应力、应力2、变形、变形扭矩、扭矩、 纯剪切、纯剪切、单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角相对扭转角相对扭转角j j剪应力互等定理剪应力互等定理IP与与Wt、46课堂教学3、强度条件、强度条件4、刚度条件、刚度条件5、截面的几何性质、截面的几何性质实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴四、共性分析四、共性分析四、共性分析四、共性分析47课堂教学四、共性
20、分析四、共性分析四、共性分析四、共性分析应力应力内力内力截面的几何性质截面的几何性质变形变形内力内力长度长度刚度刚度五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题公式的适用范围公式的适用范围分段计算分段计算强度、刚度同时考虑强度、刚度同时考虑48课堂教学六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面空心圆截面，实心圆截面。空心圆截面，实心圆截面。TT49课堂教学采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律，
21、根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比也比较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。变，即指
22、截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。 扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件50课堂教学例题例题3-3 图示等截面圆轴，已知图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，。轴的材料为钢，G=80GPa,求求（1）轴的最大剪应力；）轴的最大剪应力；（2）截面）截面B和截面和截面C的扭转角；的扭转角；（3）若要求）若要求BC段的单位扭转角与段的单位扭转角与AB段的相等，则在段的相等，则在BC段钻孔段钻孔 的孔径的孔径d应为多大？应为多大？AllBCd扭扭 转
23、转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件112251课堂教学AllBCd（+）（-）扭矩图扭矩图解：解：(1)轴的最大剪应力轴的最大剪应力作扭矩图：作扭矩图：2211因此因此扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件52课堂教学AllBCd（2）扭转角）扭转角截面截面B：扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件53课堂教学截面截面CAllBCd扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件54课堂教学（3）BC段孔径段孔径d由由得得解得：解得：扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件AllB
24、Cd55课堂教学例题例题3-1 图示传动轴上，经由图示传动轴上，经由A轮输入功率轮输入功率10KW，经，经由由B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置轮的位置更换放置是否合理？更换放置是否合理？ACBD扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII56课堂教学ACBD经由经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为解：解：IIIIIIIIIIII扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算57课堂教学IIIIIIIIIII
25、I绘出扭矩图：绘出扭矩图：扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算58课堂教学ACBD（-）扭矩扭矩Mn-图图（+）（在（在CA段和段和AD段）段）扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII59课堂教学将将A、D轮的位置更换，则轮的位置更换，则ACBD扭矩扭矩Mn-图图（-）（AD段）段）因此将因此将A、D轮的位置更换不合理。轮的位置更换不合理。扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII60课堂教学本章小结本章小结一、基本概念：一、基本概念：一、基本概念：一、基本概念：二、基本方法：二、基本方法：二、基本方法：二、
26、基本方法：1、T的作法的作法2、求应力的、求应力的“三关系三关系”法法三、基本公式：三、基本公式：三、基本公式：三、基本公式：1、应力、应力2、变形、变形扭矩、扭矩、 纯剪切、纯剪切、单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角相对扭转角相对扭转角j j剪应力互等定理剪应力互等定理IP与与Wt、61课堂教学3、强度条件、强度条件4、刚度条件、刚度条件5、截面的几何性质、截面的几何性质实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴四、共性分析四、共性分析四、共性分析四、共性分析62课堂教学四、共性分析四、共性分析四、共性分析四、共性分析应力应力内力内力截面的几何性质截面的几何性质变形变形内力内力长度长度刚度刚度五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题五、强度、刚度计算中的问题公式的适用范围公式的适用范围分段计算分段计算强度、刚度同时考虑强度、刚度同时考虑63课堂教学六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面六、关于杆件扭转时的合理截面空心圆截面，实心圆截面。空心圆截面，实心圆截面。64课堂教学65课堂教学
