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1、北师大版八年级下册第一章北师大版八年级下册第一章三角形的证明三角形的证明1等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形 知知知知 识识识识 回回回回 顾顾顾顾ABC等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高 互相重合。互相重合。互相重合。互相重合。等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .简称简称简称简称: :等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角. . . .顶角顶角顶角顶角ABC底边底
2、边底边底边腰腰腰腰腰腰腰腰底角底角底角底角 底角底角底角底角【定义定义定义定义】【性质性质性质性质定理定理定理定理】【性质定理性质定理性质定理性质定理 的的的的推论推论推论推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形; ;D高高高高( (简称简称简称简称:“:“三线合一三线合一三线合一三线合一” ”) )2如图如图如图如图, ,在在在在ABCABC中中中中, , AB=AC, AB=AC, 1=1=2 (2 (已知已知已知已知). ).BD=CD,ADBD=CD,ADBC (BC (三线合一三线合一三线合
3、一三线合一). ). 左边方框中的的格左边方框中的的格左边方框中的的格左边方框中的的格式式式式, ,以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用. . A AC CB BD D1 12 2如图如图如图如图, ,在在在在ABCABC中中中中, , AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知已知已知). ).1=1=2,AD2,ADBC(BC(三线合一三线合一三线合一三线合一). ).如图如图如图如图, ,在在在在ABCABC中中中中, , AB=AC, ADAB=AC, ADBC(BC(已知已知已知已知). ).BD=CD, BD=CD, 1=1=2 (
4、2 (三线合一三线合一三线合一三线合一). ).轮换条件轮换条件轮换条件轮换条件1=1=2 2, ,BD=CD,BD=CD,ADADBCBC可得可得可得可得三线合一三线合一三线合一三线合一的三种的三种的三种的三种不同形式的运用不同形式的运用不同形式的运用不同形式的运用. .”三线合一三线合一“的三种语言的三种语言 及及 条件的轮换条件的轮换【性质定理的性质定理的性质定理的性质定理的推论推论推论推论】等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高 互相
5、重合。互相重合。互相重合。互相重合。( (简称简称简称简称:“:“三线合一三线合一三线合一三线合一” ”) )图形语言图形语言图形语言图形语言高线高线高线高线 ？符号语言符号语言符号语言符号语言中线中线中线中线 ？符号语言符号语言符号语言符号语言角平分线角平分线角平分线角平分线 ? ?符号语言符号语言符号语言符号语言3本节课学些什么？本节课学些什么？ 等腰三角形还具有哪些重要的性质等腰三角形还具有哪些重要的性质等腰三角形还具有哪些重要的性质等腰三角形还具有哪些重要的性质? ? 除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰
6、三角形外角形外角形外角形外, , 还有一些什么简单的方法来还有一些什么简单的方法来还有一些什么简单的方法来还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形判定三角形是等腰三角形判定三角形是等腰三角形判定三角形是等腰三角形? ?这就是本节课的学习的主要内容。这就是本节课的学习的主要内容。这就是本节课的学习的主要内容。这就是本节课的学习的主要内容。4实践实践观察观察猜想猜想证明证明画一画画一画画一画画一画先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形, ,A AC CB B 然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰
7、三角形中作出一些线段 ( (如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线) )， 你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？ 你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？小结小结小结小结 顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较； 底角的两条平分线相等；底角的两条平分线相等；底角的两
8、条平分线相等；底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。两条腰上的高线相等。A AC CB BDE EA AC CB BMMN NA AC CB BP PQ Q5“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明【例例1】证明证明:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知), ),ABC=ABC=ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角). ).ACBDE图形语言图形语言图形语言图形语言已知已知已知已知: :
9、 : :求证求证求证求证: : : : BD=CE.BD=CE.如图如图如图如图, , 在在在在ABCABC中中中中, AB=AC, , AB=AC, BD,CE BD,CE 是是是是ABCABC角平分线角平分线角平分线角平分线. .证明证明证明证明: : : :1 122= (2= (已知已知已知已知), ),又又又又1= 1= ， 1=1=2(2(等式性质等式性质等式性质等式性质). ).在在在在BDCBDC与与与与CEBCEB中中中中DCB=DCB= EBC EBC（已知）（已知）（已知）（已知）, , BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）, ,1=1=2 2（已
10、证）（已证）（已证）（已证）, , BDCBDCCEBCEB（ASAASA）. . BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )6“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明证明证明证明证明: : 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等. .BM=CN.BM=CN.A AC CB BMMN N已知已知已知已知: :求证求证求证求证: :如图如图如图如图, ,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,BM,AB=AC,BM,CNCN是是是是ABCABC两腰上的中线两
11、腰上的中线两腰上的中线两腰上的中线. .证明证明证明证明: : : :( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知), ),ABC= ABC= ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角). ).又又又又CM= , BN=CM= , BN= ( (已知已知已知已知), ),CM=BN(CM=BN(等式性质等式性质等式性质等式性质). ).在在在在BMCBMC与与与与CNBCNB中中中中 BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）, , MCB=MCB=NBCNBC（已
12、知）（已知）（已知）（已知）, , CM=BNCM=BN（已证）（已证）（已证）（已证）, ,BMCBMCCNBCNB（SASSAS）. .BM=CNBM=CN7“等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等”的证明的证明证明证明证明证明: : 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等. .证明证明证明证明: : AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知), ), ABC=ABC=ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角). ). 又又又又 BP,CQBP,CQ是是是是ABCABC两腰上的高两腰上的高两腰上的高两腰上的
13、高( (已知已知已知已知), ), BPC= BPC= CQB=90CQB=90o o( (高的高的高的高的意义意义意义意义). ). 在在在在BPCBPC与与与与CQBCQB中中中中 BPC=BPC=CQBCQB（已证）（已证）（已证）（已证）, , PCB=PCB=QBCQBC（已证）（已证）（已证）（已证）, , BC=CB BC=CB（公共边）公共边）公共边）公共边）, , BPCBPCCQBCQB（SASSAS）. . BP=CQ(BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )已知已知已知已知: : 如图如图如图如图, ,
14、在在在在ABCABC中中中中, , AB=AC,BP,CQ AB=AC,BP,CQ是是是是ABCABC两腰上的高两腰上的高两腰上的高两腰上的高. .求证求证求证求证: : BP=CQ. BP=CQ.ACBPQ8等腰三角形中的相等的线段等腰三角形中的相等的线段(2) (2) 这里是一这里是一这里是一这里是一个由个由个由个由特殊特殊特殊特殊结论归纳结论归纳结论归纳结论归纳出出出出一般一般一般一般结结结结论的一种论的一种论的一种论的一种数学思想数学思想数学思想数学思想方法方法方法方法. .议一议议一议A AC CB BD DE E1. 1.已知已知已知已知: :如图如图如图如图, ,在在在在ABCA
15、BC中中中中, , (1)(1)如果如果如果如果ABD= , ABD= , ACE= ,ACE= , 那么那么那么那么BD=CEBD=CE吗吗吗吗? ? 如果如果如果如果ABD= , ABD= , ACE= ACE= 呢呢呢呢? ? 由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ? (2)(2)如果如果如果如果AD= , AE= , AD= , AE= , 那么那么那么那么BD=CEBD=CE吗吗吗吗? ? (3)(3)你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？如果如果如果如果AD= , AE=
16、 AD= , AE= 呢呢呢呢? ? 由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. .两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. .9等腰三角形的等腰三角形的 判判 定定 定定 理理你是如何思考的你是如何思考的你是如何思考的你是如何思考的? ?
17、请与同伴交流你的做法请与同伴交流你的做法请与同伴交流你的做法请与同伴交流你的做法. . 2. 2. 前面已经证明了前面已经证明了前面已经证明了前面已经证明了“ “等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角” ”，反，反，反，反过来，过来，过来，过来，“ “等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边” ”吗吗吗吗? ?即即即即有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗吗吗? ?A AC CB B已知已知已知已知: : 如图如图如图如图, , 在在在在ABCABC中中中中, , B BC.C.求证求证求证求证:
18、: AB=AC. AB=AC.要证明要证明要证明要证明AB=AC,AB=AC,只要能构造出只要能构造出只要能构造出只要能构造出ABAB，ACAC所所所所在的两个三角形全等就可以了在的两个三角形全等就可以了在的两个三角形全等就可以了在的两个三角形全等就可以了. .如：如：如：如：作作作作BCBC边上的边上的边上的边上的中线；中线；中线；中线； 作作作作A A的的的的平分线或作平分线或作平分线或作平分线或作BCBC边上的高边上的高边上的高边上的高. .议一议议一议分析分析分析分析: :有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等
19、的三角形是等腰三角形（等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边）. .在在在在ABCABC中中中中B BC C（已知），（已知），（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）（等角对等边）（等角对等边）. .这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线段相等的依据之一段相等的依据之一段相等的依据之一段相等的依据之一. . . .结论结论结论结论10论证命题的新思维与新方法论证命题的新思维与新方法 小明说小明说小明说小明说, , , ,在一个三角形中，如果两个角不相等在一个三角形中，如果两个角不相等在一个三角形中，如果两个角不相等在一个
20、三角形中，如果两个角不相等, , , ,那么这两个角所对的边也不相等那么这两个角所对的边也不相等那么这两个角所对的边也不相等那么这两个角所对的边也不相等. . . .即即即即C CA AB B在在在在ABCABC中中中中, , 如果如果如果如果BBC,C,那么那么那么那么ABAC.ABAC.想一想想一想想一想想一想w w 你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗? ?w w 如果成立如果成立如果成立如果成立, ,你能证明它吗你能证明它吗你能证明它吗你能证明它吗? ?小明小明小明小明是这是这是这是这样想样想样想样想的的的的: : 如图如图如图如图, ,在在
21、在在ABCABC中中中中, ,已知已知已知已知BBC,C,此时此时此时此时,AB,AB与与与与ACAC要么相等要么相等要么相等要么相等, ,要么不相等要么不相等要么不相等要么不相等. . 假设假设假设假设AB=AC, AB=AC, 那么根据那么根据那么根据那么根据“ “等角对等等角对等等角对等等角对等边边边边” ”定理可得定理可得定理可得定理可得B=B=C, C, 但已知条件是但已知条件是但已知条件是但已知条件是 BBC.C.“ “B=B=C”C”与与与与“ “BBC”C”相矛盾，相矛盾，相矛盾，相矛盾，因此，因此，因此，因此， ABAC.ABAC.你能理你能理你能理你能理解他的解他的解他的解
22、他的证明过证明过证明过证明过程吗程吗程吗程吗? ? ? ?11论证的新方法论证的新方法-反证法反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立从而证明便是的结论一定成立从而证明便是的结论一定成立从而证明便是的结论一定成立. . . .这种
23、证明方法称为这种证明方法称为这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法反证法反证法(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)你你你你可要结识可要结识可要结识可要结识“反证法反证法反证法反证法”这个新朋友噢这个新朋友噢这个新朋友噢这个新朋友噢! ! ! ! 假设假设假设假设AB=AC, AB=AC, 那么根据那么根据那么根据那么根据“ “等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边” ”定理可得定理可得定理可得定理可得B=B=C . C . 但已知条
24、件是但已知条件是但已知条件是但已知条件是BBC. C. “ “B=B=C”C”与与与与“ “BBC”C”相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾, ,因此因此因此因此,ABAC.,ABAC.反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法. . . .在解决某些问题时常常会有出人意料的作用在解决某些问题时常常会有出人意料的作用在解决某些问题时常常会有出人意料的作用在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. . . .C CA AB B12用反证法证题的一般步骤用反证法证题的一般步骤w1. 1. 假设假设假设假设: : 先假设命题的结论不成立
25、先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立; ;w2. 2. 归谬归谬归谬归谬: : 从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发, ,应用正确的推论方法应用正确的推论方法应用正确的推论方法应用正确的推论方法, , 得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果相矛盾的结果相矛盾的结果相矛盾的结果; ;w3. 3. 结论结论结论结论: : 由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确, ,
26、 从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确. .13牛刀小试牛刀小试1. 1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：已知：已知：已知：ABCABC求证：求证：求证：求证：A A、B B、C C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角分析：分析：分析：分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论按反证法证明命题的步骤，首先要假定结
27、论按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“ “A A、B B、C C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角” ”不成立，即它的反面不成立，即它的反面不成立，即它的反面不成立，即它的反面“ “A A、B B、C C中有两个角是直角中有两个角是直角中有两个角是直角中有两个角是直角” ”成立，然后，从这成立，然后，从这成立，然后，从这成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾证明：证明：证明：证明：假设假设假设假设A A、B B、C C中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨
28、设中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设A=A=B=90B=90，则则则则A+A+B+B+C=90+90+C=90+90+C C180180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=A=B=90B=90不成立不成立不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角w w2. 2.用反证法证明：用反证法证明：用反证法证明：用反证法证明：w在一个三角形中在一个三角形中在一个三角形中在一个三角形中, , 至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于60600 0. .14
