大学物理学简明教程：第3章 质点的运动及其运动定律

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1、第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动. 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：若刚体中所有点平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线.一一 刚体的平动与转动刚体的平动与转动第三

2、章第三章 刚体与流体刚体与流体3.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述二二 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度刚体绕定轴转动的角速

3、度和角加速度参考平面参考平面 角位移角位移 角坐标角坐标q 约定约定沿沿逆逆时针方向转动时针方向转动 沿沿顺顺时针方向转动时针方向转动 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴1 角速度和角加速度角速度和角加速度第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 角加速度角加速度1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一维转动）的转动方

4、向可以用角转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示速度的正负来表示 .第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 2 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述3 角量与线量的关系角量与线量的关系第一章第一章 质点运动学质点运动

5、学1 1 质点运动的描述质点运动的描述飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试试求求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；解解（1） t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时， t = 0 s 转过的圈数转过的圈数第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述（2）制动开始后）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度

6、； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度度和法向加速度 .解解:已知：已知： . 求：求：解解:第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例2 在高速旋转的微型电机里在高速旋转的微型电机里, 有一圆柱形转子可绕垂有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转直其横截面并通过中心的转轴旋转. 开始起动时开始起动时, 角速度为角速度为零零. 起动后其转速随时间变化关系为：起动后其转速随时间变化关系为： ,式式中中 . 求求：( (1) ) t = 6s 时电动机的时电动机的转速转速( (2) )

7、起动后起动后, , 电动机在电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数时间内转过的圈数.( (3) )角加速度随时间变化的规律角加速度随时间变化的规律( (2) )解解: ( (1) ) 将将 t = 6s 代入代入得得( (3) ) （角加速度（角加速度指数衰减）指数衰减）第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力力

8、的作用点的位置对物体的运动有影响吗的作用点的位置对物体的运动有影响吗？圆盘静止不动圆盘静止不动圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述P*O : 力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径的径矢矢 . 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 一一 力矩力矩 第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描

9、述O讨论讨论 1）若力若力 不在转动平面内，可把力分解为不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量平行于和垂直于转轴方向的两个分量 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力矩为对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩零，故力对转轴的力矩第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O 结论结论：刚体内各质点间的：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零作用力对转轴的合内力矩为零.第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运

10、动的描述二二 转动定律转动定律O 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量质量元质量元: 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置形状及转轴的位置.注意注意第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质

11、点运动的描述质点运动的描述OO 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 讨论：讨论： 一一质量为质量为 m 、长为长为 l 的的均匀细长棒，与棒均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .OO转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的

12、描述质点运动的描述解：解：1） 分析受力分析受力 例例1 如图如图, 有一半径为有一半径为 R 质量为质量为的匀质圆盘的匀质圆盘, 可绕通过盘心可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之转轴与圆盘之间的摩擦略去不计间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端绳的一端固定在圆盘上固定在圆盘上, 另一端系质量为另一端系质量为 m 的物体的物体. 试求物体下落试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. mym2）选取坐标选取坐标 注意：注意：转动和平转动和平动的坐标取向要一致动的坐标取向要

13、一致.第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述mym3）列方程（用文字式）列方程（用文字式）牛顿第二定律（质点）牛顿第二定律（质点）转动定律（刚体）转动定律（刚体）转动惯量转动惯量 先先文字计算求解，文字计算求解，后后代入数据求值代入数据求值.约束条件约束条件第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗

14、称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. .试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解: 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小r刹车片刹车片第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩圆环

15、所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘角加速度圆盘角加速度停止转动需时停止转动需时rR第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例3 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时

16、的角加速度和角速度速度. 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得mlo第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得mlo第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理.一一 质点的角动量和刚体的角动量质点的角动量和刚体的角动量 质点质点运动状态的描述运动状态的描述 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、

17、动量定理冲量、动量、动量定理. 刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述3.2角动量角动量 角动量定理角动量定理 角动量守恒角动量守恒第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述一一 质点的角动量和刚体的角动量质点的角动量和刚体的角动量 质点在垂直于质点在垂直于 z 轴平面轴平面上以角速度上以角速度 作半径为作半径为 的圆运动的圆运动.大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.1 质点角动量质点角动量A 质点角动量（相对圆心）质点角动量（相对圆心）z（圆运动）（圆运动）第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述2 刚体定轴

18、转动的角动量刚体定轴转动的角动量二二 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理O 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变. 若若 ，则，则 .讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量三三 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1

19、质点运动的描述质点运动的描述 有许多现象都可以用角有许多现象都可以用角动量守恒来说明动量守恒来说明. 它是自然它是自然界的界的普遍适用普遍适用的规律的规律.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述解解: 系统角动量守恒系统角动量守恒 例例1 两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘 A和和 B. A 是机器上的飞轮是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆是用以改变飞轮转速的离合器圆盘盘. 开始时开始时, 他们分别以角速度他们分别以角速度1 和和2 绕水平轴转动绕水平轴转动. . 然后

20、然后, ,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下两圆盘在沿水平轴方向力的作用下. .啮合为一体啮合为一体, , 其角速度为其角速度为 , , 求求齿轮啮合后齿轮啮合后两圆盘的角速度两圆盘的角速度.第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例2 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆, 可绕过其中心可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于当细杆静止于水平位置时水平位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点 O 为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点

21、 A 爬行爬行. 设小虫与细杆设小虫与细杆的质量均为的质量均为m. 问问: 欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫小虫应以多大速率向细杆端点爬行应以多大速率向细杆端点爬行? 解解: 碰撞前后系统角碰撞前后系统角动量守恒动量守恒第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述角动量定理角动量定理考虑到考虑到第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述一、一、对象的象的处理理理想化方法（理想化方法（ideal methodideal method）1. 1. 理想流体（理想流体（ideal fluidideal fluid） 2

22、. 2. 定常流动（定常流动（steady flowsteady flow）不可压缩不可压缩的的没有黏滞性没有黏滞性的流体称理想流体的流体称理想流体水龙头流出的涓涓细流、植物导管中的水分流动以及动水龙头流出的涓涓细流、植物导管中的水分流动以及动物血管中缓慢的血液流动均可视为定常流动。物血管中缓慢的血液流动均可视为定常流动。3.3 流体流体 伯努利方程伯努利方程第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述3. 3. 流线（流线（stream linestream line） 4. 4. 流管（流管（flow tubeflow tube）在流速场中人为想象的一些曲线，这些

23、曲线上每在流速场中人为想象的一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向均与该点速度方向一致。一点的切线方向均与该点速度方向一致。通过液体内部某一截面的流线所围成的细管通过液体内部某一截面的流线所围成的细管 第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述二、连续性原理（二、连续性原理（The principle of continuityThe principle of continuity）在任何流管中，流体的在任何流管中，流体的质量质量是守衡的，容易推出：是守衡的，容易推出：讨论讨论 此称连续性方程此称连续性方程 连续性原理表明，连续性原理表明，单位时间内通单位时间内通过液

24、体中任一横截面的流量相等过液体中任一横截面的流量相等。称为称为体积流量体积流量（volume flow volume flow raterate），用，用 表示表示第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述三、伯努利方程（三、伯努利方程（BernoulliBernoullis equations equation） 根据功能原理和连续性方程，根据功能原理和连续性方程，可以得到伯努利方程如下可以得到伯努利方程如下适用条件适用条件v2p2 S2v1p1 S1h1h2ab黏滞性很小黏滞性很小第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述水水气气水水

25、+ +气气1. 1. 空吸作用空吸作用(suction)(suction) 水流抽气机水流抽气机应用应用第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述2. 2. 汾丘里管汾丘里管h h汾丘里管汾丘里管第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述dhd+hABvA3. 3. 流速的测定（皮托管）流速的测定（皮托管）对于驻点对于驻点B B，满足，满足第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述4. 4. 小孔流速（小孔流速（Flow speed of a small hole Flow speed of a small h

26、ole ） 第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述4.4.在气体中的应用在气体中的应用 飞机飞行飞机飞行 喷雾器喷雾器航海中，对并排同向行驶的船舶，要限制航海中，对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离航速和两船的距离 第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 “香蕉香蕉”球球 乒乓球乒乓球第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述例例1求求解解一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为

27、4 1， 已已知水管粗处水的流速为知水管粗处水的流速为2ms-1。水管狭细处水的流速水管狭细处水的流速v1v2S1S2由连续性原理知由连续性原理知得得第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述d1 d2 =2 1 S1 S2 = 4 1 且且v 1= 1ms-1 解解例例2求求 一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2 1 ，已知粗，已知粗管内水的流速为管内水的流速为1ms-1 ,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得得 v2 = 4v1 = 4 ms-1又由又由由由 S1v1 =S2v2

28、 得得粗管内的压强高于细管粗管内的压强高于细管第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述 水从图示的水平管道水从图示的水平管道1中流入，并通过支管中流入，并通过支管2和和3流入管流入管4。如管如管1中的流量为中的流量为900cm3s-1. 管管1、2、3的截面积均为的截面积均为15cm2,管管4的截面积为的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，假设水在管内作稳恒流动，例例3求求解解（1）管）管2、3、4的流量的流量;（2）管）管1 、 2、3、4的流速的流速;（3）管）管1、4中的压强差中的压强差.1234v1v2v3v4(1)由连续性原理知由连续性原理知 Q

29、4= Q1 = 900cm3s-1v1 = Q1S1 = 90015 = 60cms-1 S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 Q2 = Q3 = 450cm3s-1(2) v2 = v3 = Q2S2 = 45015 = 30cms-1v4 = Q4S4 = 90010 = 90 cms-1得得(3)(3)由伯努利方程由伯努利方程第一章第一章 质点运动学质点运动学1 1 质点运动的描述质点运动的描述例例4 容器内水的高度为容器内水的高度为H，水自离自由表面，水自离自由表面h深的小孔流出深的小孔流出 求水流达到地面的水平射程求水流达到地面的水平射程xHhx解：解：可看作理想流体做稳定流动可看作理想流体做稳定流动, 从水面至小孔取一流线，水面流从水面至小孔取一流线，水面流速为零速为零,小孔流速为小孔流速为v,由伯努利方程由伯努利方程 水在小孔处以速度水在小孔处以速度v作平抛运动，由平抛公式，有作平抛运动，由平抛公式，有 由由求得求得 代入代入中得中得