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1、第八章第八章8.1 8.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念8.18.1若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来 处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理 假设检验是指施加于一个或多个假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设总体的概率分布或参数的假设. . 所作所作假设可以是正确的假设可以是正确的, ,也可以是错误的也可以是错误的. . 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确, , 从从总体中抽取样本总体中抽取样本, ,根据样本的取值根据样本的取值,
2、,按按一定原则进行检验一定原则进行检验, , 然后作出接受或然后作出接受或拒绝所作假设的决定拒绝所作假设的决定. .何为何为假设检验假设检验? ?假设检验所以可行假设检验所以可行, ,其理论背景为实际其理论背景为实际推断原理推断原理, ,即即“小概率原理小概率原理”假设检验的内容假设检验的内容参数检验参数检验（8.28.2）非参数检验非参数检验总体均值总体均值, 均值差的检验均值差的检验总体方差总体方差, 方差比的检验方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验（8.38.3）符号检验符号检验秩和检验秩和检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据 引例引例1 1 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定:
3、次品率次品率p不不超过超过4%才能出厂才能出厂. 现从一万件产品中任意现从一万件产品中任意抽查抽查12件发现件发现3件次品件次品, 问该批产品能否出问该批产品能否出厂？若抽查结果发现厂？若抽查结果发现1件次品件次品, 问能否出厂？问能否出厂？解解 假设假设 这是这是 小概率事件小概率事件 , 一般在一次试验中一般在一次试验中是不会发生的是不会发生的, 现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生, 故认故认为原假设不成立为原假设不成立, 即该批产品次品率即该批产品次品率 , 则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.引例引例1 1 这不是这不是小概率事件小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接
4、受原假设从而接受原假设, 即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.若不用假设检验若不用假设检验, 按理不能出厂按理不能出厂.注注1直接算直接算注注2本检验方法是本检验方法是 概率意义下的反证法，概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的故拒绝原假设是有说服力的, 而接受而接受原假设是没有说服力的原假设是没有说服力的. 因此应把希因此应把希望否定的假设作为原假设望否定的假设作为原假设.对对总体总体 提出假设提出假设要求利用样本观察值要求利用样本观察值对对提供的信息作出接受提供的信息作出接受 (可出厂可出厂) , 还还是接受是接受 (不准出厂不准出厂) 的判断的判断.出厂检验问题的数学模型出厂检验
5、问题的数学模型 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉, ,按标准强度为按标准强度为68/68/mmmm2 2, , 而实际生产的强度而实际生产的强度X X 服服N N( ( ,3.6,3.62 2 ). ). 若若E E( (X X)=)= =68,=68,则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求, ,否否则认为不符合要求则认为不符合要求. .为此提出如下假设为此提出如下假设: :H0 : = 68 称为称为原假设原假设或或零假设零假设 原假设的对立面原假设的对立面: :H1 : 68 称为称为备择假设备择假设引例引例2 2引例引例2 2假设检验假设检验的的任务任务必须在原假设与必须在原假设与备择
6、假设备择假设 之间作一选择之间作一选择若原假设正确若原假设正确, , 则则因而因而 ,即即偏离偏离6868不应该太远不应该太远, ,故故取较大值是小概率事件取较大值是小概率事件.可以确定一个常数可以确定一个常数c c 使得使得因此因此, ,取取 , ,则则 现从整批螺钉中取容量为现从整批螺钉中取容量为3636的样本的样本, ,其均值为其均值为 , ,问原假设是否正确问原假设是否正确? ?由由为检验的为检验的接受域接受域 (实际上没理由拒绝实际上没理由拒绝),现现落入接受域落入接受域, ,则接受原假设则接受原假设即区间即区间( ,66.824 ) 与与 ( 69.18 , + )为检验的为检验的
7、拒绝域拒绝域称称 的取值区间的取值区间( ( 66.824 , , 69.18 ) )H H0 0: : = = 68 由引例由引例2 2可见可见, ,在给定在给定 的前提下的前提下, ,接受还是拒绝原假设完全取决于样本接受还是拒绝原假设完全取决于样本值值, , 因此所作检验可能导致以下两类因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：错误的产生： 第一类错误弃真错误第二类错误取伪错误正确正确正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 表H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所
8、作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0第一类错误第一类错误( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误( (取伪取伪) ) 任何检验方法都不能完全排除犯错任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性误的可能性. .理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小, ,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下, ,不可能使两者都很小不可能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往使另一个增大往往使另一个增大. .错误的概率不超过错误的概率不超过 , , 然后然后, ,若有必要若有必要, ,通通过增大
9、样本容量的方法来减少过增大样本容量的方法来减少 . .P P( (拒绝拒绝H H0 0| |H H0 0为真为真) )若若H H0 0为真为真, , 则则 所以所以, ,拒绝拒绝 H H0 0 的概率为的概率为 , , 又称为又称为显显著性水平著性水平, 越大越大, ,犯第一类错误的概犯第一类错误的概率越大率越大, , 即越显著即越显著. .引例引例2 2 中，中，犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率H H0 0不真不真, ,即即 68, 68, 可能小于可能小于68,68,也可能大也可能大于于68, 68, 的大小取决于的大小取决于 的真值的大小的真值的大小. .下面计算犯第二类错误的概率
10、设设 = =P P( (接受接受H H0 0| |H H0 0不真不真) )若若取伪的概率较大取伪的概率较大./2/2H0 真真H0 不真不真图仍取仍取 =0.05,=0.05,则则由由可以确定拒绝域为可以确定拒绝域为 ( , 67.118 ) 与与 ( 68.882 , + )因此，接受域为因此，接受域为(67.118, 68.882)(67.118, 68.882)现增大样本容量现增大样本容量, ,取取n = n = 64, 64, = 66,= 66,则则 当样本容量确定后当样本容量确定后, ,犯两类错误的犯两类错误的命题命题概率不可能同时减少概率不可能同时减少. .此时犯此时犯第二类错
11、误的概率为第二类错误的概率为 证证 设设 在水平在水平 给定下给定下,检验假设检验假设证明又又由此可见由此可见,当当 n 固定时固定时1) 若若2) 若若(见注见注)证毕证毕.注注 从而从而当当 时时 一般一般, ,作假设检验时作假设检验时, ,先控制犯第一先控制犯第一类错误的概率类错误的概率 , ,在此基础上使在此基础上使 尽量尽量地小地小. .要降低要降低 一般要增大样本容量一般要增大样本容量. .当当H H0 0不真时不真时, ,参数值越接近真值参数值越接近真值, , 越越大大. .备择假设可以是单侧备择假设可以是单侧, ,也可以双侧也可以双侧. . H0 : = 68； H1 : 68
12、注注 1 1 注注 2 2 引例引例2 2中的备择假设是双侧的中的备择假设是双侧的. .若根据以若根据以往生产情况往生产情况, , 0 0=68.=68.现采用了新工艺现采用了新工艺, ,关关心的是新工艺能否提高螺钉强度心的是新工艺能否提高螺钉强度, , 越大越大越好越好. .此时可作如下的右边假设检验此时可作如下的右边假设检验: :关于原假设与备择假设的选取关于原假设与备择假设的选取H H0 0与与H H1 1地位应平等地位应平等, ,但在控制犯第一类但在控制犯第一类错误的概率错误的概率 的原则下的原则下, ,使得采取拒使得采取拒绝绝H H0 0 的决策变得较慎重的决策变得较慎重, ,即即H
13、 H0 0 得到特得到特别的保护别的保护. .因而因而, ,通常把有把握的、有经验的结论通常把有把握的、有经验的结论作为原假设作为原假设, ,或者尽可能使后果严重的或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误错误成为第一类错误. .注注 3 3 假设检验步骤(三部三部曲曲) 其中双双边边检验检验左边检验左边检验确定拒绝域 .q 计算,并作出相应判断.右边检验右边检验三部曲q 根据实际问题建立 与 .q 在 为真时,选择合适统计量 , 由8.2 8.2 正态总体的参数检验正态总体的参数检验拒绝域的推导拒绝域的推导设 X N ( 2)，2 已知，需检验：H0 : 0 ； H1 : 0构造统计量 给定显
14、著性水平与样本值(x1,x2,xn )一个正态总体一个正态总体（1 1）关于）关于 的检验的检验8.28.2一个总体一个总体P(拒绝H0|H0为真)所以本检验的拒绝域为 ：U 检验法 0 0 0 0 0U U 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域U 检验法检验法 0 0 0 0 0T T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域T 检验法检验法例例1 1 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正常负载下平均消耗电流不超过0.8 安培.解解 根据题意待检假设可设为例例1 1
15、随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安培，标准差为0.32安培. 设马达所消耗的电流 服从正态分布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据此样本, 能否否定厂方的断言? H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知, 选检验统计量:代入得故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言. :拒绝域为落在拒绝域 外将解二解二 H0 : 0.8 ； H1 : 02 2 02 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 取统计量拒绝域 ：落在内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于改革前, 因此下一步的改革应朝相反方
16、向进行.设 X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 , Xn ), ( Y1, Y2 , Ym ) 样本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )显著性水平 两个正态总体两个正态总体两个总体两个总体1 2 = ( 12，22 已知)(1) (1) 关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检验的检验1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 1 2 检检1 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择
17、假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22(2) (2) 关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验的检验1, 2 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12 / 22 检检例例3 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:m = 1519.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.
18、0 22.1 22.3n = 921.2 21.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.2例例3 3 试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关 ( ).解解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取统计量拒绝域 ：统计量值 . 落在0内,拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.例例4 4 假设机器 A 和 B 都生产钢管, 要检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定程度. 设它们生产的钢管内径分别为 X 和 Y , 且都服从正态分布 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 例例4 4 现从机器 A和 B生产的钢管中各抽出18
19、根和13 根, 测得 s12 = 0.34, s22 = 0.29, 设两样本相互独立. 问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )解解设 H0 : 12 = 22 ；H1 : 12 22 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,F0.95( 17, 12 ) = 拒绝域或由给定值算得:落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.接受域置信区间假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其
20、分布 0 0（ 2 已知)（ 2 已知)原假设 H0备择假设 H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（ 2未知）（ 2未知）接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 2 02 2= 02 2(未知)(未知)例例5 5 新设计的某种化学天平，其测量误差服从正态分布, 现要求 99.7% 的测量误差不超过 0.1mg , 即要求 3 0.1.现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2 =0.0009. 解一解一H0: 1/30 ；H1: 1/30例例5 5
21、试问在 = 0.05 的水平上能否认为满足设计要求？拒绝域 ： 未知, 故选检验统计量现故接受原假设, 即认为满足设计要求.解二解二 2的单侧置信区间为H0中的满足设计要求.则H0 成立, 从而接受原假设 , 即认为样本容量的选取 虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.样本容量 n 满足 如下公式：单边检验双边检验容量选取右边检验左边检验双边检验其 中U 检验法中检验法中 的计算公式的计算公式例例6 6例例6767例例7 7(产品质量抽检方案)设有一大批产品其质量指标 ,以 小者为佳. 对要实行
22、的验收方案厂方要求厂方要求: 对高质量的产品 能客户要求客户要求: 对低质量产品 能以高概率 为客户所接受；以高概率 被拒绝.问应怎样安排抽样方案.设解解 在显著性水平 下进行 检验 H0 : 0 ； H1 : 0 由拒绝域为 ：取 可安排容量为121的一次性抽样.当样本均值 时,客户拒绝购买该批产品；则购买该批产品.当 时，例例8 8例例8 8袋装味精由自动生产线包装，每袋标准重量 500g,标准差为25g.质检员在同一天生产的味精中任抽 100袋检验，平均袋重495g. 在的检验中犯取伪错误的概 在显著性水平 下，该天的产品能否投放市场？率 是多少？ 若同时控制犯两类错误的概率，使 都小于5 %, 样本容量解解 设每袋重量 H0 : 500 ； H1 : 500故该天的产品不能投放市场.落在 内0：由P.256第5行公式此概率表明：有48.4%的可能性将包装不合格的认为是合格的. 由于是双边检验，故所以当样本容量取325时, 犯两类错误的概率都不超过5 % .
