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1、第五章第五章 非惯性参考系非惯性参考系5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换不同参考系之间速度和加速度的变换固定坐标固定坐标 惯性系惯性系动坐标系动坐标系 非惯性系非惯性系动坐标系：动坐标系： A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标：固定坐标： dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 动坐标动坐标 + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt 动相对固定动相对固定动坐标系：动坐标系：A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标：固定坐标：dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt
2、k + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt讨论讨论 (1) 仅有转动仅有转动(角速度角速度相对固定坐标系）相对固定坐标系） dr/dt = r di /dt = i , dj /dt = j , dk /dt = k .记记 A/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k则有则有: dA/dt = A /t +A 转动参考系算符变换：转动参考系算符变换：d/dt = /t + 例例: 质点的位置矢量质点的位置矢量 r ，求求 v ， a 。解：解： v = dr /dt = r /t +r = v 相相+ v 牵牵 a = d2r /dt2 =
3、 d(r /t +r ) /dt = (r/t +r) /t +(r /t +r) =2r /t2 +(r) /t +(r /t) + (r ) =2r /t2 +(/t )r + (r ) + 2(r /t) = a 相相 + a 牵牵 + a 科科 a 相相 = 2r /t2 a 牵牵 = (/t )r + (r ) a 科科 = 2(r /t) dA /dt = A /t +A 运算公式：运算公式：A B C = B (A C ) (A B) C (r ) = (r ) - 2 r = 2 (OB - OP) = -2 R对于角速度对于角速度，角加速度为角加速度为 = d/dt = /t
4、 + = /t 说明角加速度与坐标系无关说明角加速度与坐标系无关。RrBPO例：例： 一等腰直角三角形一等腰直角三角形OAB 在在其自身平面内以匀角速其自身平面内以匀角速绕绕 O 转转动。动。P 点以匀相对速度沿点以匀相对速度沿AB边边运动，当三角形转一周时，运动，当三角形转一周时， P 点点走过走过AB，如如AB=b，试求试求P点在点在A 时的绝对速度与绝对加速度。时的绝对速度与绝对加速度。PAByzxO(2) 平动平动 + 转动转动固定坐标系中位矢固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系与动坐标系 r 之间关系之间关系: rI = R + rd2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /
5、dt2 = d2R /dt2 + 2r /t2 + (/t ) r +(r ) +2(r /t)或或 a = a平平 + a相相 +r -2 R + 2v相相若若等角加速度转动等角加速度转动= 0，无无平动加速度平动加速度 a平平 = 0，则：则：a = a -2 R + 2v5.2 非惯性系中的动力学方程非惯性系中的动力学方程 惯性力惯性力惯性系中：惯性系中： m d2rI /dt2 = F非惯性系：非惯性系：m 2r/ t2 =F -md2R /dt2+ r + ( r) +2 v = Feff 1、平移力平移力 - md2R /dt2 动系平动加速动系平动加速2、方位力、方位力 - m
6、r 动系转动加速动系转动加速3、惯性离心力、惯性离心力 - m ( r ) 动系相对固定系转动动系相对固定系转动 4、科里奥利力、科里奥利力 - 2m v 质点质点相对动系运动相对动系运动例：在光滑水平直管中例：在光滑水平直管中例：在光滑水平直管中例：在光滑水平直管中有一质量为有一质量为有一质量为有一质量为 m m 的小球。的小球。的小球。的小球。此管以匀角速此管以匀角速此管以匀角速此管以匀角速 绕通过其绕通过其绕通过其绕通过其一端的竖直轴转动。开一端的竖直轴转动。开一端的竖直轴转动。开一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距始时，球距转动轴的距始时，球距转动轴的距始时，球距转动轴的距离为离为
7、离为离为 a , a , 球相对管的速率球相对管的速率球相对管的速率球相对管的速率为零，而的总长为为零，而的总长为为零，而的总长为为零，而的总长为 2 2a a 。oxyzmgNzNyFcm2xvvzvx 求：求：求：求：(1) (1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；球刚离开管口时的相对速度与绝对速度； (2) (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。球从开始运动到离开管口时所需时间。球从开始运动到离开管口时所需时间。球从开始运动到离开管口时所需时间。(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；球刚离开管口时的相对
8、速度与绝对速度； (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间球从开始运动到离开管口时所需时间可可证明，引入非惯性力证明，引入非惯性力 ，质点动量定理、角动，质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。量定理和动能定理的形式都保持不变。例：角动量定理例：角动量定理 ： L / t = (r mv) / t = (r)/ t mv + r m v/ t = r ( F + F惯性惯性)动能定理动能定理: m v/ t = F + F惯性惯性 m v r / t = (F + F惯性惯性 ) r m v v = (F + F惯性惯性 ) r (mv2/2) = (F + F惯性惯性 ) r 即
9、即: T = (F + F惯性惯性 ) r 拉格朗日拉格朗日方程导出惯性力方程导出惯性力5.3 拉格朗日函数的不确定性拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数非惯性系中的拉格朗日函数1、若两个拉格朗日函数、若两个拉格朗日函数 L1 和和 L2 只相差一函数只相差一函数f(q,t)的全的全微商微商df/dt，则则L1 和和 L2 是是等价的。等价的。证明：设证明：设 L2 = L1 + df(q,t) /dt，只要证明由只要证明由L1 和和 L2 所得所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。2、非惯性系中的拉格朗日函数、非惯性系中的拉格朗日函数 设有三个参考系：设有三个参考系：S为惯性系，为惯性系， S1为为相对相对S以以v vo o(t)作作平动，平动， S 与与S1有共同原点，但相对有共同原点，但相对S1以以 o o(t)转动。设粒转动。设粒子在子在S系系速度为速度为v v，在在S1系速度为系速度为v v1 1，则则v v = v v1 1 + v vo o(t)，所以所以S系中单系中单粒子的拉格朗日函数为：粒子的拉格朗日函数为：例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。牛顿运动方程。解：解：
