数学建模插值方法

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1、插插值值与与拟拟合合1a前言前言 函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的近似 。 如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之为插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。 2a 设设 为给为给定的定的节节点，点， ，为为相相应应的函数的函数值值，求一个次数不超，求一个次数不超过过 的多的多项项式式 ，使其使其满满足足 ， .这类问

2、题这类问题称称为为插插值问题值问题。 称称为被插被插值函数函数， 称称为插插值函数函数， 称称为为插插值节值节点点一、一、问题问题提出提出插插值值部分部分3a 定理定理1 设设 为给为给定的彼此互异的定的彼此互异的 个插个插值值节节点，点，则则存在唯一的次数不超存在唯一的次数不超过过 的多的多项项式式 ，满满足足条件条件 , .二、存在性与唯一性二、存在性与唯一性4a证证明明: 设设 , 其中其中 为为待定系数待定系数.利用插利用插值值条件条件 , ,我我们们得到一个得到一个线线性代数方程性代数方程组组 , ,其中其中 观观察察发现发现矩矩阵阵A A是范德蒙矩是范德蒙矩阵阵, ,那么那么, ,

3、由几代知由几代知识识知道矩知道矩阵阵A A 的行列式的行列式 为为 , ,由定理中条件由定理中条件, ,插插值结值结点点为为彼此互异的彼此互异的, , 那么行那么行列式不列式不为为零零. .故由故由CramerCramer法法则则知知线线性代数方程性代数方程组组 存在唯一解存在唯一解. . 5a三、三、Lagrange插插值值法法 （1）Lagrange插插值值多多项项式可以表示式可以表示为为 6a 引入引入记记号号 , , 易易证证 , , 从而从而LagrangeLagrange插插值值多多项项式可表示式可表示为为 7a（2）插）插值误值误差估差估计计 定理定理2 设设 在在 上上连续连续

4、， 在在 内存在内存在,节节点点 ， 是拉格朗日插是拉格朗日插值值多多项项式，式，则对则对任意任意 , 插插值值余余项项 其中其中 且依且依赖赖于于 .8a例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解：用4次插值多项式对5个点插值 9a 10a于是有于是有11afunction yi=lagrcz(x,y,xi)n=length(x);m=length(xi);for s=1:m yi(s)=0; for i=1:n w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n if (j=i) w(i)=(xi(s)-x(j)*w(i); dw(i)=(

5、x(i)-x(j)*dw(i); end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); endend12a13a缺点缺点: 当增加或减少插当增加或减少插值节值节点点时时,基函数需要重新基函数需要重新 构造构造,不便于不便于实际实际的的计计算使用算使用14a 定定义义称称 为为 在在 两点两点处处的的一一阶阶差商差商. （1）差商定差商定义义四、四、 Newton插插值值法法二二阶阶差商差商n 阶阶差商差商15a(2) Newton插插值值公式公式 由差商定由差商定义义把以上各式由后向前代入把以上各式由后向前代入,可得可得16a差商表差商表 一一阶阶差商差商二二阶阶差商差商三

6、三阶阶差商差商四四阶阶差商差商17a例2:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。解: 1 2 3 4 0 -5 -6 3一阶差商二阶差商三阶差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 118a由上述差商表对角线上取得的值则牛顿三次插值多项式为 19afunction yi=newtcz(x,y,xi)n=length(x); m=length(xi); nt=zeros(n,n);nt(:,1)=y;for i=2:n for j=i:n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1)/(x(j)-x(j-(i-1); endEndfor i=1:n n

7、t(i,i)Endfor i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1 t=t*(xi(i)-x(s); end yi(i)=yi(i)+t*nt(j,j); endend20a五、五、 Hermite插插值值多多项项式式给给定的是定的是节节点上的函数点上的函数值值和和导导数数值值问题问题：已知：已知求求3次多次多项项式式 ，使得，使得21a22a *多项式插值的问题 前面介前面介绍绍了构造插了构造插值值公式的方法，并分析了它公式的方法，并分析了它们们的余的余项项。在。在实际应实际应用插用插值值函数作近似函数作近似计计算算时时，总总希望插希望插

8、值值公式余公式余项项 的的绝对值绝对值小一些，即使得小一些，即使得 逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插值值多多项项式式的次数便可达到目的，但的次数便可达到目的，但实际实际上并非如此。上并非如此。23a例如 给定函数 取其等距节点 ， 构造的Lagrange插值多项式为 当 时， 只能在 内收敛，而在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。24a25a六、六、 分段插分段插值值 所所谓谓分段插分段插值值，就是将被插，就是将被插值值函数逐段多函数逐段多项项式化。在每式化。在每个个 子段上构造插子段上构造插值值多多项项式，然后把它

9、式，然后把它们们装配在一，装配在一，作作为为整个区整个区间间 上的插上的插值值函数，即称函数，即称为为分段多分段多项项式。如果式。如果函数函数 在每个子段上都是在每个子段上都是 次式，次式，则则称称为为 次式。次式。一般（低次：一般（低次：k=1,2,3）26a（1）分段）分段线线性插性插值值的构造（的构造（k=1) 易知易知 在每个子区在每个子区间间 上是一上是一次插次插值值多多项项式式分段分段线线性插性插值值的余的余项项其中其中27a（2） 分段抛物分段抛物线线插插值值（K=2）（3） 分段三次分段三次 Hermite 插插值值(K=3)28a（4） 三次三次样样条插条插值值 在分段插在分

10、段插值值中，分段中，分段线线性插性插值值在在节节点上点上仅连续仅连续而不可而不可导导，分段三次埃分段三次埃尔尔米特插米特插值值有有连续连续的一的一阶导阶导数，如此光滑程度数，如此光滑程度常不能常不能满满足物理足物理问题问题的需要，而引入的的需要，而引入的样样条函数条函数则则可以同可以同时时解决解决这这两个两个问题问题,使插使插值值函数既是低函数既是低阶阶分段函数分段函数,又是光滑又是光滑的函数。的函数。 29a三次三次样样条函数定条函数定义义 给给定区定区间间 的一个划分的一个划分 ，如果函数如果函数 满满足：足： （1）在每一小区）在每一小区间间上是三次多上是三次多项项式；式；（2）在每个内

11、）在每个内节节点上具有二点上具有二阶连续导阶连续导数；数；（3） 则则称称 是是 在在该该区区间间上关于上关于该该划分的一个三次划分的一个三次样样条函数。条函数。30a其中四个待定系数其中四个待定系数为为 , ,子区子区间间共有共有n n个所以要确定个所以要确定S(x)S(x)需要需要4n4n个待定系数。个待定系数。 另一方面另一方面, ,要求分段三次多要求分段三次多项项式式S(x)S(x)及其及其导导数数 和和 在整在整个插个插值值区区间间 a,ba,b 上上连续连续, ,则则要求它要求它们们在各个子区在各个子区间间的的连连接点接点 上上连续连续，即即满满足条件足条件 由由样样条函数的定条函

12、数的定义义可知可知, ,三次三次样样条插条插值值函数函数S(S(x x) )是一个分是一个分段三次多段三次多项项式式, ,要求出要求出S(S(x x),),在每个小区在每个小区间间 x xi i, ,x xi+1i+1 上要确定上要确定4 4个待定参数个待定参数, ,若用若用S Si i( (x x) )表示它在第表示它在第i i个子区个子区间间 x xi i, ,x xi+1i+1 上的表上的表达式，达式，则则31a（1 1）插）插值值条件条件 （2 2）连连接条件接条件 式共式共给给出了出了4n-24n-2个条件个条件, ,而待定系数有而待定系数有4n4n个个, ,因此因此还还需要需要2

13、2个条个条件才能确定件才能确定S(x),S(x),通常在区通常在区间间端点上端点上 各加一个条件各加一个条件, ,称称为边为边界条件界条件, , 常用常用边边界条件有三种界条件有三种类类型。型。32a第一种第一种类类型：型：给给定两端点定两端点 的一的一阶导阶导数数值值： 第二种第二种类类型：型：给给定两端点定两端点f(x)f(x)的二的二阶导阶导数数值值：作作为为特例特例, , 称称为为自然自然边边界条件。界条件。满满足自然足自然边边界界条件的三次条件的三次样样条插条插值值函数称函数称为为自然自然样样条插条插值值函数。函数。第三种第三种类类型：当型：当 是以是以为为 周期的函数周期的函数时时

14、，则则要求要求S(x)S(x)也也是周期函数是周期函数, ,这时边这时边界条件界条件应满应满足足当当 时时， 33a这样这样，由上，由上给给定的任一种定的任一种边边界条件加上插界条件加上插值值条件和条件和连连接条件接条件，就能得出，就能得出4n4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而得到三个系数。从而得到三次次样样条插条插值值函数函数S(x)S(x)在各个子区在各个子区间间 x xi i , x, xi+1i+1 上的表达式上的表达式S(S(x xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，。但是，这这种做法当种做法当n n较较大大时时，计计算工作算工作很大，不便于

15、很大，不便于实际应实际应用。因此我用。因此我们们希望找到一种希望找到一种简单简单的构造的构造方法。方法。 34a三次三次样样条插条插值值函数的求法函数的求法设设S(x)S(x)在在节节点点x xi i处处的二的二阶导阶导数数为为因因为为在子区在子区间间 x xi-1i-1,x,xi i 上上 是三次多是三次多项项式式, ,所以所以 在此小区在此小区间间上是上是x x的的线线性函数性函数, ,且因且因为为用用线线性插性插值值, ,可知其表达式可知其表达式为为记记 ，则则有有35a其中其中,A,Ai i,B,Bi i为积为积分常数分常数, ,可利用插可利用插值值条件条件 确定确定, ,即要求即要求

16、A Ai i,B,Bi i满满足足并并记记 ，则则得得连续连续两次两次积积分得分得36a由上由上讨论讨论可知可知, ,只要确定只要确定 这这n+1n+1个个值值, , 就可定出三就可定出三样样条条插插值值函数函数S(x)S(x)。为为了求出了求出 , ,利用一利用一阶导阶导数在子区数在子区间连间连接点上接点上连续连续的条件的条件 ，求，求导导一次一次, ,得在区得在区间间 x xi-1i-1,x,xi i 上的表达式上的表达式为为 37a也就是在右端点也就是在右端点x xi i上有上有 在左端点在左端点x xi-1i-1上有上有 将上式中的将上式中的i-1i-1改改为为i,i,即得在子区即得在

17、子区间间 x xi i,x,xi+1i+1 上的表上的表达式达式 , ,并由此得并由此得 利用利用 在内接点的在内接点的连续连续性性, ,即即就可得到关于参数就可得到关于参数 的一个方程的一个方程38a上式两上式两边边同乘以同乘以 , ,即得方程即得方程 若若记记 39a则则所得方程可所得方程可简简写成写成 即即 这这是一个含有是一个含有n+1n+1个未知数、个未知数、n-1n-1个方程的个方程的线线性方程性方程组组. .要完全要完全确定确定 的的值还值还需要需要补补充两个条件充两个条件, ,这这两个条件通常根两个条件通常根据据实际问题实际问题的需要，根据插的需要，根据插值值区区间间 a,ba

18、,b 的两个端点的两个端点处处的的边边界界条件来条件来补补充。充。边边界条件的种界条件的种类类很多，常很多，常见见的有以下的有以下3 3种：种： 40a第一种第一种边边界条件：即已知插界条件：即已知插值值区区间间两端的一两端的一阶导阶导数数值值： 则则可得到包含可得到包含M Mi i的两个的两个线线性方程性方程,S(x),S(x)在子区在子区间间 上的上的导导数数为为由条件由条件 得得 即即 同理同理, ,由条件由条件 得得 41a即得确定即得确定 的的线线性方程性方程组组 其中其中42a第二种第二种边边界条件界条件: :即已知插即已知插值值区区间间两端的二两端的二阶导阶导数数值值: : ,

19、,由于在区由于在区间间端点端点处处二二阶导阶导数数 ，所以方程中，所以方程中实际实际上只包含有上只包含有n-1n-1个未知数个未知数 ，从而得，从而得方程方程组组 43a第三种第三种边边界条件界条件: :由由 与与 ，可得，可得 和和 其中其中44a得关于得关于 的的线线性方程性方程组组。 利用利用线线性代数知性代数知识识, ,可以可以证证明方程明方程组组的系数矩的系数矩阵阵都是非奇都是非奇异的，因此有惟一解。异的，因此有惟一解。 45a 用三次用三次样样条条绘绘制的曲制的曲线线不不仅仅有很好的光滑度，而且当有很好的光滑度，而且当节节点逐点逐渐渐加密加密时时，其函数，其函数值值在整体上能很好地

20、逼近被插函数，在整体上能很好地逼近被插函数，相相应应的的导导数数值值也收也收敛敛于被插函数的于被插函数的导导数，不会数，不会发发生生龙龙格格现现象。象。因此三次因此三次样样条在条在计计算机算机辅辅助助设计设计中有广泛的中有广泛的应应用。用。46a用用MATLABMATLAB作插作插值计值计算算一一维插插值函数：函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插插值值方法方法被插被插值值点点插插值节值节点点xixi处处的插的插值结值结果果nearest ：最：最邻邻近插近插值值linear ： 线线性插性插值值；spline ： 三次三次样样条插条插值值；cubic ： 立方插立方插值值

21、。缺省缺省时时： 分段分段线线性插性插值值。 注意：所有的插注意：所有的插值值方法都要求方法都要求x x是是单调单调的，并且的，并且xi不不能能够够超超过过x的范的范围围。47a 例：在例：在1-121-12的的1111小小时时内，每隔内，每隔1 1小小时测时测量一次温量一次温度，度，测测得的温度依次得的温度依次为为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。试试估估计计每隔每隔1/101/10小小时时的温的温度度值值。x=1:12;y=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;xi=1:0.1:1

22、2;yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(x,y,+,xi,yi,r)48a49a 三次三次样样条插条插值值的的Matlab实现实现 如果三次如果三次样样条插条插值值没有没有边边界条件，最常用的方法，就是界条件，最常用的方法，就是采用非扭采用非扭结结（not-a-knot）条件。）条件。这这个条件个条件强强迫第迫第1个和第个和第2个三次多个三次多项项式的三式的三阶导阶导数相等。数相等。对对最后一个和倒数第最后一个和倒数第2个个三次多三次多项项式也做同式也做同样样地地处处理。理。Matlab中三次中三次样样条插条插值值也有也有现现成的函数：成的函数：y=interp1(

23、x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0是已知数据点，是已知数据点，x是插是插值值点，点，y是插是插值值点的函数点的函数值值。50a对对于三次于三次样样条插条插值值，我，我们们提倡使用函数提倡使用函数csape，csape的返的返回回值值是是pp形式，要求插形式，要求插值值点的函数点的函数值值，必，必须调须调用函数用函数ppval。pp=csape(x0,y0)：使用默：使用默认认的的边边界条件，即界条件，即Lagrange边边界条件。界条件。pp=csape

24、(x0,y0,conds,valconds)中的中的conds指定插指定插值值的的边边界条件，其界条件，其值值可可为为：complete 边边界界为为一一阶导阶导数，一数，一阶导阶导数的数的值值在在valconds参参数中数中给给出，若忽略出，若忽略valconds参数，参数，则则按缺省情况按缺省情况处处理。理。not-a-knot 非扭非扭结结条件条件periodic 周期条件周期条件second 边边界界为为二二阶导阶导数，二数，二阶导阶导数的数的值值在在valconds参数参数中中给给出，若忽略出，若忽略valconds参数，二参数，二阶导阶导数的缺省数的缺省值为值为0, 0。varia

25、tional 设设置置边边界的二界的二阶导阶导数数值为值为0,0。51a对对于一些特殊的于一些特殊的边边界条件，可以通界条件，可以通过过conds的一个的一个12矩矩阵阵来表示，来表示，conds元素的取元素的取值为值为0，1，2。conds(i)=j的含的含义义是是给给定端点定端点i的的j 阶导阶导数，即数，即conds的第一的第一个元素表示左个元素表示左边边界的条件，第二个元素表示右界的条件，第二个元素表示右边边界的条件界的条件conds=2,1表示左表示左边边界是二界是二阶导阶导数，右数，右边边界是一界是一阶导阶导数，数，对应对应的的值值由由valconds给给出。出。52a最小二乘法最

26、小二乘法拟拟合合 已知一批离散数据已知一批离散数据 ( (x xi i, , y yi i), ), i i=0,1,.,=0,1,.,n n，且，且 x x0 0 x x1 1x xn n, , 寻寻找一个函数找一个函数 f(x)，使使达到最小达到最小. . 这这个个过过程称程称为为最小二乘最小二乘拟拟合合, , f(x) 称称为拟为拟合函数合函数. . 拟拟合部分合部分53a一、一、线线性性拟拟合合 若设拟合函数f(x)=b+ax，则有令54a即即这这是一个关于是一个关于a a, , b b的的2 2元元线线性方程性方程组组. . 求解即可得到求解即可得到f f( (x x) )的表达式的

27、表达式. .55a二、多二、多项项式式拟拟合合 有有时时所所给给数数据据点点的的分分布布并并不不一一定定近近似似地地呈呈一一条条直直线线, ,这这时时仍仍用用直直线线拟拟合合显显然然是是不不合合适适的的, ,可可用用多多项项式式拟拟合合。对对于于给给定定的的一一组组数数据据 寻寻求求次次数数不不超超过过m m (mN (mN ) ) 的的多多项项式，式， 来来拟拟合所合所给给定的数据，与定的数据，与线线性性拟拟合合类类似，使偏差的似，使偏差的平方和平方和为为最小最小56a由由于于 可可以以看看作作是是关关于于 ( ( j=0,1,2, j=0,1,2, m)m)的的多多元元函函数数, , 故故

28、上上述述拟拟合合多多项项式式的的构构造造问问题题可可归归结结为为多多元元函函数数的的极极值值问问题题。令令得得 即有即有 57a这这是关于系数是关于系数 的的线线性方程性方程组组，通常称，通常称为为正正规规方方程程组组。可以。可以证证明，正明，正规规方程方程组组有惟一解。有惟一解。 58a三、可化三、可化为线为线性性拟拟合的非合的非线线性性拟拟合合 有些非有些非线线性性拟拟合曲合曲线线可以通可以通过过适当的适当的变变量替量替换转换转化化为为线线性曲性曲线线，从而用，从而用线线性性拟拟合合进进行行处处理，理，对对于一个于一个实际实际的曲的曲线拟线拟合合问题问题，一般先按，一般先按观测值观测值在直

29、角坐在直角坐标标平面上描出散点平面上描出散点图图，看一看散点的分布同哪，看一看散点的分布同哪类类曲曲线图线图形接近，然后形接近，然后选选用相用相接近的曲接近的曲线拟线拟合方程。再通合方程。再通过过适当的适当的变变量替量替换转换转化化为线为线性性拟拟合合问题问题，按，按线线性性拟拟合解出后再合解出后再还还原原为为原原变变量所表示的曲量所表示的曲线拟线拟合方程。合方程。 下表列下表列举举了几了几类经类经适当适当变换变换后化后化为线为线性性拟拟合求解的曲合求解的曲线拟线拟合方程及合方程及变换变换关系关系 59a 曲曲线拟线拟合方程合方程 变换变换关系关系 变换变换后后线线性性拟拟合方程合方程60a多

30、多项项式曲式曲线拟线拟合函数合函数：polyfit( )polyfit( )调调用格式用格式：p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n) p,s= polyfit(x,y,n)p,s= polyfit(x,y,n)说说明：明：x,yx,y为为数据点，数据点，n n为为多多项项式式阶阶数，返回数，返回p p为幂为幂次从高到低次从高到低的多的多项项式系数向量式系数向量p p。矩。矩阵阵s s用于生成用于生成预测值预测值的的误误差估差估计计。 例例2 2：由离散数据x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.4 1.6 1.9 .6.4.81.5 2拟合出多项式。

31、 61ax=0:.1:1;x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2n=3;n=3;p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,1,100);xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi);z=polyval(p,xi); plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)62a63a二二维维插插值值 xyO O第一种（网格第一种（网格节节点）：点）：6

32、4a 注意：最注意：最邻邻近插近插值值一般不一般不连续连续。具有。具有连续连续性的最性的最简单简单的插的插值值是是分片分片线线性插性插值值。最最邻邻近插近插值值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二二维维或高或高维维情形的最情形的最邻邻近插近插值值，与被插，与被插值值点最点最邻邻近的近的节节点的函数点的函数值值即即为为所求。所求。65a 将四个插将四个插值值点（矩形的四个点（矩形的四个顶顶点）点）处处的函数的函数值值依次依次简记为简记为：分片分片线线性插性插值值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O O

33、f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f466a 双双线线性插性插值值是一片一片的空是一片一片的空间间二次曲面构成。二次曲面构成。双双线线性插性插值值函数的形式如下：函数的形式如下：其中有四个待定系数，利用其中有四个待定系数，利用该该函数在矩形的四个函数在矩形的四个顶顶点（插点（插值值节节点）的函数点）的函数值值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。，得到四个代数方程，正好确定四个系数。双双线线性插性插值值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O67a(3) 分片双三次分片双

34、三次样样条插条插值值68a第二种（散乱第二种（散乱节节点）：点）： yx0 069a 要求要求x0,y0x0,y0单调单调；x x，y y可取可取为矩矩阵，或，或x x取取行向量，行向量，y y取取为列向量，列向量，x,yx,y的的值分分别不能超出不能超出x0,y0x0,y0的范的范围。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作网格作网格节节点数据的插点数据的插值值插值节点被插值点的函数值nearest nearest 最最邻邻近插近插值值linear linear 双双线线性插性插值值cubic cubic 双三次插双三次插值值缺省缺省时时

35、, , 双双线线性插性插值值70a例：例：测测得平板表面得平板表面3*53*5网格点网格点处处的温度分的温度分别为别为： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 试试作出平板表面的温度分布曲面作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的的图图形。形。输输入以下命令：入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.1.先

36、在三先在三维维坐坐标标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图图. .2以平滑数据以平滑数据,在在x、y方向上每隔方向上每隔0.2个个单单位的地方位的地方进进行插行插值值.71a72a再再输输入以下命令入以下命令: :xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插画出插值值后的温度分布曲面后的温度分布曲面图图. 73a74a 插插值值函数函数griddata格式格式为为: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散点数据的插作散点数据的插值计值计算算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取取为为列向量列向量。被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值nearest nearest 最最邻邻近插近插值值linear linear 双双线线性插性插值值cubic cubic 双三次插双三次插值值v4- Matlab提供的插提供的插值值方法方法缺省缺省时时, , 双双线线性插性插值值75a