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1、长安教育中心全等三角形复习全等三角形复习 知识要点知识要点 一、全等三角形一、全等三角形1 1判定和性质判定和性质判定判定性质性质一般三角形一般三角形边角边（边角边（SASSAS） 、角边角（、角边角（ASAASA）角角边（角角边（AASAAS） 、边边边（、边边边（SSSSSS）对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等直角三角形直角三角形具备一般三角形的判定方法具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（斜边和一条直角边对应相等（HLHL）注：注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；判定两个三
2、角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等全等三角形面积相等2 2证题的思路：证题的思路：性质性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角
3、三角形全等。(HL)运用运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边及对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS 找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我
4、们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件第 1 页另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）形全等。（二）实例点拨（二）实例点拨例例 1 1（2010 淮安） 已知：如图，点 C 是线段 AB 的中点，ACD=BCE。求证：AE=BD。解析：解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：DE证明证明：点 C 是线段 AB 的中点AC=BCACD=BCEACD+DCE=BCE+DCE即ACE=BCD AC=BCACE=BCD CE=CDACEBCD（SAS）AE=BDAC在ACE 和BCD 中，
5、B有关信息。证明三角CE=CD ， 反思：反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。例例 2 2已知：AB=AC，EB=EC，AE 的延长线交 BC 于 D，试证明：BD=CD解析：解析： 此题若直接证 BD、 CD 所在的三角形全等， 条件不够， 所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明 BD、CD 所在的三角形全等。证明如下：证明：证明：在ABE 和ACE 中 AB=AC， EB=EC， AE=AE ABEACE (SSS)BAECAE在ABD
6、和ACD 中 AB=ACBAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD反思：反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。例例 3 3.（2009洛江中考）如图，点 C、E、B、F 在同一直线上，ACDF，ACDF，BCEF，求证：AB=DE.【证明】ACDF，C在ACB和DFE中第 2 页 FAC DFC F，AB=DE. ACBACB 和 和 DFEDFE 中BC EF17、 （2010潼南中考）如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点G
7、是 BC 延长线上一点，连结AG，点E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，1=2 ， 3=4.(1)证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求 EF 的长.【解析】 （1）四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，2 1在ABE 和DAF 中，AB DA，4 3ABEDAF.（2）四边形 ABCD 是正方形，1+4=90o3=4,1+3=90oAFD=90o在正方形 ABCD 中， ADBC,1=AGB=30o在 RtADF 中，AFD=90 AD=2 ,oAF=3 , DF =1,由(1)得ABEADF,AE=DF=1,EF=AF-AE=3 1.例例 4 4、 （2009吉林中考）如图
8、，AB AC, AD BC于点D，AD AE，AB平分DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明【解析】 （1）ADBADC、ABDABE、AFDAFE、BFDBFE、ABEACD（写出其中的三对即可）.第 3 页（2）以ADBADC为例证明证明：AD BC,ADB ADC 90.在 RtADB和 RtADC中， RtADBRtADC.要点二、角平分线的性质及应用要点二、角平分线的性质及应用例例 5 5、 （2009温州中考）如图，OP平分AOB，PAOA，PB OB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）A.PA PB B.PO平分APB【解析】 选 D.由
9、OP平分AOB，RtAOPRtBOP，所以可得PO平分APB，OAOB.例例 6 6、 （2009厦门中考）如图，在 ABC 中，C=90,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。【解析】过点 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,由勾股定理得CDBD2BC2 102826,由角平分线性质得DE CD 6答案：6.【实弹射击实弹射击】1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。2、如图：AC 及 BD 相交于 O，ACBD，ABCD，求证：CBAC.OAOB D.AB垂直平分OPHL 可得
10、PAOA，PB OB，可得PA PB，由3、如图，已知 AB=CD，AD=CB，E、F 分别是 AB，CD 的中点，DBOFE第 2 题图ADCC且 DE=BF，说出下列判断成立的理由.ADECBFA=C4、已知：BECF 在同一直线上， AB DE，ACDF，并且 BE=CF。求证： ABC DEFDCBA第 1 题图E第 3 题图BA AD D5、如图, 已知：ABBC 于 B , EFAC 于 G , DFBC 于 D , BC=DF求证：AC=EF6、如图，ABC 的两条高 AD、BE 相交于 H，且 AD=BD，试说明下列结论成立的理由。B B（1）DBH=DAC；（2）BDHADC
11、。A A第 4 页F FE E第 4 题图C CF FG GB BE ED DC C7、如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形i.除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；ii.你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程8、已知等边三角形中，及相交于点，求的大小。9、如图所示，P 为AOB 的平分线上一点，PCOA 于 C，OAP+OBP=180，若 OC=4cm，求 AO+BO 的值10、如图：四边形 ABCD 中，ADBC ，AB=AD+BC，E 是 CD 的中点，求证：AEBE 。11.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F求证：AF BF EFADEFBCG第 5 页
