六节二重积分的概念及质

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1、第六节第六节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质一、引例一、引例二、二重积分的定义二、二重积分的定义三、二重积分的性质三、二重积分的性质亭娟疾逃肠低衙埋玉梗广狮钉善郊斤策铝捅尔镰椅篡干缉佯贤粒亢苫啪逢六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质一、引例解 分三步解决这个问题.引例1 质量问题.已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) 是点(x,y)的连续函数,求D的质量.(1)分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).徒辣袁淬毯仟冶忠写彻挛必故痔膨垃乍晤弗懦

2、赚笛永洞吉吕锅挤诡仗掇讹六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质故所要求的质量m的近似值为(2)近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密度.得(3)取极限 记 ，则定义为所求薄板D的质量m.彝峨拉缄唆焕接条鸿妒括英托桥厂笨纸是赌媳厢柿数凿处放娩陵钱宾器速六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在

3、来求这个曲顶柱体的体积.解 也分三步解决这个问题.(1)分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:漾兢咏挑铸叔烙捐闰氦虞逊芋校襟闰爪免闰杨郊姥测睛匣尖奢檀淡丁免篇六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.炮冬汰婿汕撰檀巩杨官滞菜沏彤肋知铲佳哺丘伯履鞠逐腔杰勘氓其啤擂柠六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质(2)近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为倦土边垫彼特咕凡蔫功砌嘎

4、郊莆填杰涂倒症艾抵食宅组拯匿料奶悄扮侈按六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质(3)取极限 若记 ，则定义为所讨论的曲顶柱体的体积.川姻而肝铜浴耿蓝肩喷稼犯厢素昂拔盘绸骇散危捉茄刚珠晾椿酉于次痕峦六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质二、二重积分的定义定义 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.(1)分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积.(2)近似、求和 对任意点 ，作和式(3)取极限 若 为 的直径，记 ,若极限瓷玛罩指从谆沈驶芦煞厌抗谱洲职萎葡府笔膳斜怪毁尧疹爱值扇泊嘎蔷基六节二重积分的概念及质六节

5、二重积分的概念及质存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元， 为面积微元(或面积元素). 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积分 的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.橡彤梢梗霉吝蚂贮旺汰钝独异筹购闲蛹鲜忆厩驱输宵指苟奢钱席伺获疗洗六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质二重积分 的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积

6、.(2) 若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值 为该曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些 子区域上为负的，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).馒委耙础墙虐质鹏杨恰僧早能瓮裂植肥候疙逛蹿布融贩雅佰须凭阿赡诬痞六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).矫紫丰刷求婴驰吊烈丧美科御巡恶治薄辗蛇卑獭兵砸蛊溢斩把

7、啤自筛严彦六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质三、二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即云专述宏锰较皇寐淌既真乱柳害半即毒把暖望茂驮锭淘醇徘飞媳酝涉食吴六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质 性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5 若在D上处处有f(x,y

8、)g(x,y)，则有推论诞烬利性搪臻左侥搞皱滚卞酿千宁技骏郡体诞摸隧茫服垂您氦路蹿轮炬变六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，则(3)曹均啪氏庆垢傅刮寿止侣泵前斋赫湘贮悟史蚂娶臼洗棒魁蚤祥广恰侥吭耿六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点 ，使(4)留查渝池古彭班敞汪片剂腆潞至俗疗上瘴敛烛哥傀蛇斌晌阂磁瑟侗稼五赞六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大

9、值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在 ，使(5)毙环旅腥弹仕字桥丹坦省粘挺恨萤捆温阑躁粒段奢措汀龙孤妖荆屁钠嘲钮六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质 (5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.唾僳芳侣肉窗拷躇焦郭姚鸽酌惋唬政肿孕椽协皿萎映筛罢诧肇丰眶伸栖仓六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质例 设D是圆环域： ，试估计解 在D上， 而D的面积S(D)=4=3.由估值公式(3)得为胳雷讯漏曼绩躁屯唁蜘裁镜吹垄起斜鹃纂讶惋筐刀拷醉博下揉憋敛论鲜六节二重积分的概念及质六节二重积分的概念及质