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1、第六（第六（七七）章）章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子第第1 1节节 电子自旋电子自旋 已经知道，微观粒子都具有自旋，前面介绍的薛定谔方程没有包括这种纯量子效应。已经知道，微观粒子都具有自旋，前面介绍的薛定谔方程没有包括这种纯量子效应。同时，单个粒子的薛定谔方程容易推广到多粒子情况。但是，在考虑全同粒子的多粒子同时，单个粒子的薛定谔方程容易推广到多粒子情况。但是，在考虑全同粒子的多粒子系统时，我们还需要额外的假设才能符合实际情况。系统时，我们还需要额外的假设才能符合实际情况。1925年，年，Uhlenbeck和和Goudsmit为了解释实验结果，提出了电子自旋的假设：为了解释实验结果，提出了电
2、子自旋的假设：1 1）电子具有自旋角动量）电子具有自旋角动量 ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 电子自旋最初是作为假设。但是，电子自旋最初是作为假设。但是，相对论性量子力学中电子自旋不是假设！相对论性量子力学中电子自旋不是假设！1928年年, Dirac根据相对论的一般要求得到根据相对论的一般要求得到Dirac方程方程电子相对论性量子动力学方程电子相对论性量子动力学方程, 电子自旋自然出现。电子自旋自然出现。2 2）电子具有自旋磁矩）电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的关系是，它与自旋角动量的关系是 历史上，电子自旋是为解释碱金属原子光谱的历史上
3、，电子自旋是为解释碱金属原子光谱的双线结构双线结构（例如钠黄线在高分辨率光（例如钠黄线在高分辨率光谱仪下发现是由谱仪下发现是由D1线线589.6nm 和和D2线线589.0nm 组成）和组成）和复杂塞曼效应复杂塞曼效应（弱磁场中光谱线（弱磁场中光谱线分裂成偶数条谱线的现象分裂成偶数条谱线的现象钠钠D1=2条条, D2=6条）提出来的。条）提出来的。 说明电子自旋的典型实验是说明电子自旋的典型实验是SternGerlach实验：银原子束通过非均匀磁场分裂成两束实验：银原子束通过非均匀磁场分裂成两束注意注意 自旋回磁比自旋回磁比轨道回磁比轨道回磁比第第2 2节节 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋
4、算符和自旋函数 电子自旋是纯量子特性，不能用经典力学解释。它与电子的坐标和动量无关，是电子内电子自旋是纯量子特性，不能用经典力学解释。它与电子的坐标和动量无关，是电子内部自由度的表征。电子自旋也由算符表示。由于它是角动量，因此部自由度的表征。电子自旋也由算符表示。由于它是角动量，因此电子自旋算符电子自旋算符满足满足或或写成分量形式写成分量形式 由于电子自旋在空间任意方向上都只能取两个数值由于电子自旋在空间任意方向上都只能取两个数值 ，因此，因此 为方便起见，通常引入无量纲算符为方便起见，通常引入无量纲算符Pauli算符算符 来描述电子自旋角动量来描述电子自旋角动量Pauli算符算符 满足的对易
5、关系满足的对易关系Pauli算符算符 满足的反对易关系满足的反对易关系 证明证明例题例题(p240 7.1题）证明题）证明第第2 2节节 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数电子自旋与电子的坐标和动量无关。我们可以考虑自旋空间。取电子自旋与电子的坐标和动量无关。我们可以考虑自旋空间。取 表象表象Pauli矩阵矩阵矩阵的本征矢矩阵的本征矢 完整描述电子状态需包括电子自旋量子数。因此完整描述电子状态需包括电子自旋量子数。因此电子的波函数电子的波函数的一般形式为的一般形式为表示电子自旋向上（下）并出现在位型空间表示电子自旋向上（下）并出现在位型空间dV体积中的概率体积中的概率考虑了电子自
6、旋的归一化条件变成考虑了电子自旋的归一化条件变成算符的一般形式变成矩阵形式的算符算符的一般形式变成矩阵形式的算符平均值的一般形式变成平均值的一般形式变成第第2 2节节 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数例题例题(p241 7.5题）氢原子处于状态题）氢原子处于状态求求 的平均值的平均值波函数已归一化了波函数已归一化了方法方法1：状态函数已按这些算符的本征态展开：状态函数已按这些算符的本征态展开方法方法2：第第3 3节节 简单（正常）塞曼效应简单（正常）塞曼效应考虑氢原子或类氢原子处于外磁场（不失一般，假设磁场沿考虑氢原子或类氢原子处于外磁场（不失一般，假设磁场沿z方向）方向）电子
7、磁矩在外磁场中的能量电子磁矩在外磁场中的能量如果磁场足够强（如果磁场足够强（ ），外磁场引起谱线分裂现象就称为），外磁场引起谱线分裂现象就称为简单（正常）塞曼效应简单（正常）塞曼效应否则就称为否则就称为复杂（反常）塞曼效应复杂（反常）塞曼效应电子轨道电子轨道-自旋相互作用能量自旋相互作用能量氢原子或类氢原子处于氢原子或类氢原子处于z方向强外磁场（忽略轨道方向强外磁场（忽略轨道-自旋相互作用）时的哈密顿量为自旋相互作用）时的哈密顿量为能级分裂能级分裂由由有多少不同值决定有多少不同值决定即即nl固定（固定（l=1)的一个能级变成的一个能级变成5个子能级个子能级光谱线分裂总是光谱线分裂总是1-31-
8、3原子原子（偶极）偶极）选择定则选择定则第第4 4节节 两个角动量的耦合两个角动量的耦合电子既有轨道角动量又有自旋角动量，需要考虑角动量相加（耦合）。下面考虑两个角电子既有轨道角动量又有自旋角动量，需要考虑角动量相加（耦合）。下面考虑两个角动量相加的问题。这两个角动量可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也可以是动量相加的问题。这两个角动量可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也可以是两个粒子的轨道（或自旋）角动量，等等。两个粒子的轨道（或自旋）角动量，等等。两个独立角动量之和两个独立角动量之和也是角动量，即满足也是角动量，即满足还可证明还可证明彼此对易彼此对易=这四个算符有构成完全集的共
9、同本征矢集这四个算符有构成完全集的共同本征矢集已知已知彼此对易彼此对易=它们有构成完全集的共同本征矢集它们有构成完全集的共同本征矢集展开式展开式Clebsch-Gordon系数系数的个数的个数第第4 4节节 两个角动量的耦合两个角动量的耦合两个独立角动量之和两个独立角动量之和也是角动量也是角动量是是耦合表象耦合表象的基矢的基矢两者联系两者联系Clebsch-Gordon系数系数是是无耦合表象无耦合表象的基矢的基矢例题例题1：电子的轨道角动量和自旋角动量的耦合：电子的轨道角动量和自旋角动量的耦合例题例题2：两个电子的自旋角动量之和：两个电子的自旋角动量之和容易推广到多个独立角动量之和的情况容易推
10、广到多个独立角动量之和的情况例题例题3：两个电子的轨道角动量之和：两个电子的轨道角动量之和L-SL-S耦合耦合J-JJ-J耦合耦合第第5 5节节 光谱的精细结构光谱的精细结构由相对论效应产生的电子轨道由相对论效应产生的电子轨道-自旋相互作用自旋相互作用氢原子或类氢原子氢原子或类氢原子利用微扰理论考虑它对能级的修正利用微扰理论考虑它对能级的修正导致能级和光谱的精细结构导致能级和光谱的精细结构零级结果零级结果无耦合表象无耦合表象由于由于用用耦合表象耦合表象可避免简并微扰理论中的矩阵对角化过程可避免简并微扰理论中的矩阵对角化过程用用耦合表象耦合表象表示零级结果表示零级结果简并微扰简并微扰一级能量修正
11、一级能量修正一级能量修正一级能量修正显式结果显式结果第第6 6节节 全同粒子的特性全同粒子的特性前面主要讨论的是单个粒子情况，也涉及到了多粒子系统，例如氢原子或类氢原子。前面主要讨论的是单个粒子情况，也涉及到了多粒子系统，例如氢原子或类氢原子。经典物理经典物理：全同粒子可以通过它们的不同轨道来区分：全同粒子可以通过它们的不同轨道来区分编号在演化时保持不混淆编号在演化时保持不混淆现在讨论一种特殊的多粒子系统现在讨论一种特殊的多粒子系统全同粒子系统全同粒子系统全同粒子全同粒子质量、电荷、自旋等内秉（或称固有）性质相同的粒子。质量、电荷、自旋等内秉（或称固有）性质相同的粒子。 例如，所有的电子，所有
12、的质子，所有的中子，等等例如，所有的电子，所有的质子，所有的中子，等等量子物理量子物理：无轨道概念：无轨道概念,区分全同粒子有困难区分全同粒子有困难编号在演化时可能混淆编号在演化时可能混淆(玻函数重叠时玻函数重叠时)它的推论它的推论再互换一次再互换一次全同性原理全同性原理(量子力学基本假定量子力学基本假定): 交换任意两个全同粒子不改变全同粒子系统的状态交换任意两个全同粒子不改变全同粒子系统的状态全同性原理导致状态必须是全同性原理导致状态必须是对称对称或或反对称反对称波函数描述波函数描述第第6 6节节 全同粒子的特性全同粒子的特性全同粒子系统必须是全同粒子系统必须是对称对称或或反对称反对称波函
13、数描述波函数描述这种对称性不随时间演化而变化这种对称性不随时间演化而变化注意全同粒子系统的哈密顿量在经典和量子物理中都具有下列不变性注意全同粒子系统的哈密顿量在经典和量子物理中都具有下列不变性显然，某时刻是对称（反对称）的波函数在任何时刻都是对称（反对称）波函数显然，某时刻是对称（反对称）的波函数在任何时刻都是对称（反对称）波函数实验发现（实际上在相对论性量子场论可证明由于因果率要求导致下列结论）实验发现（实际上在相对论性量子场论可证明由于因果率要求导致下列结论）全同全同玻色子玻色子( (自旋为整数的粒子自旋为整数的粒子) )系统由系统由对称波函数对称波函数描述；它们遵从描述；它们遵从玻色玻色
14、爱因斯坦统计爱因斯坦统计全同全同费米子费米子( (自旋为半整数的粒子自旋为半整数的粒子) )系统由系统由反对称波函数反对称波函数描述；它们遵从描述；它们遵从费米费米狄拉克统计狄拉克统计自旋为整数（半整数）是指自旋量子数自旋为整数（半整数）是指自旋量子数s s的取值的取值为为整数整数（半整数半整数）电子、质子、中子都是自旋电子、质子、中子都是自旋1/2的费米子的费米子光子是自旋光子是自旋1的玻色子的玻色子第第7 7节节 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数下面讨论全同粒子体系的波函数怎样用单个粒子的波函数来构成下面讨论全同粒子体系的波函数怎样用单个粒子的波函数来构成先考虑无相互作用情况并以两
15、个粒子为例说明先考虑无相互作用情况并以两个粒子为例说明记记归一化对称波函数归一化对称波函数归一化反对称波函数归一化反对称波函数对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数注意注意表明此时不能有合理的反对称函数表明此时不能有合理的反对称函数=PauliPauli不相容原理不相容原理：不能有两个不能有两个( (或以更多的或以更多的) )费米子处于相同的状态费米子处于相同的状态归一化条件归一化条件例如例如无相互作用时它们是能量本征态无相互作用时它们是能量本征态第第7 7节节 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数N个全同粒子的波函数个全同粒子的波函数归一化对称波函数归一化对称波函数归一化反对称波函
16、数归一化反对称波函数注意：注意：1）行列式转置后的值不变）行列式转置后的值不变 2）行列式交换）行列式交换2列或行反号列或行反号=上式是反对称函数上式是反对称函数显然，当态指标中有两个或两个以上相同时，上述反对称函数变为零。因此仍有显然，当态指标中有两个或两个以上相同时，上述反对称函数变为零。因此仍有PauliPauli不相容原理不相容原理：不能有两个不能有两个( (或以更多的或以更多的) )费米子处于相同的状态费米子处于相同的状态无相互作用时它们是能量本征态无相互作用时它们是能量本征态存在相互作用时，它们不是能量本征态，但是可作为对称（反对称）空间的基矢存在相互作用时，它们不是能量本征态，但
17、是可作为对称（反对称）空间的基矢无自旋无自旋-轨道相互作用时，波函数可写成形式轨道相互作用时，波函数可写成形式第第8 8节节 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数也适用于质子和中子等其它自旋也适用于质子和中子等其它自旋1/2粒子粒子单电子自旋函数单电子自旋函数归一化对称波函数归一化对称波函数归一化反对称波函数归一化反对称波函数注意注意还可证明还可证明两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数和和以及上述公式，可证明以及上述公式，可证明例题例题：证明：证明组成正交归一系组成正交归一系正交是显然的，厄米算符属不同本征函数正交正交是显然的，厄米算符属不同本征函数正交两个自旋两个自旋1/2粒子交换能的概念粒
18、子交换能的概念两个两个自旋自旋1/21/2的全同粒子的全同粒子的自旋函数的自旋函数1）粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出）粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出3个最低能态的波函数个最低能态的波函数 两个质量为两个质量为，自旋自旋1/2的全同粒子处于一维无限深势阱的全同粒子处于一维无限深势阱 中，忽略自旋相关力。中，忽略自旋相关力。2）粒子间有相互作用势能）粒子间有相互作用势能 这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2 2和第和第3 3个个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。 一维无限深势阱的定态能量和定态波函数
19、是一维无限深势阱的定态能量和定态波函数是1 1）粒子间无相互作用，两个自旋）粒子间无相互作用，两个自旋1/21/2的全同费米子体系的波函数是的全同费米子体系的波函数是两个两个自旋自旋1/21/2的全同粒子的全同粒子的位型空间对称和反对称函数是的位型空间对称和反对称函数是自旋三重态自旋三重态自旋单态自旋单态3个最低能态的波函数个最低能态的波函数基态基态- -自旋单态自旋单态自旋三重态自旋三重态自旋单态自旋单态第一激发态第一激发态第第2 2激发态激发态- -自旋单态自旋单态相应相应能量能量两个自旋两个自旋1/2粒子交换能的概念粒子交换能的概念两个质量为两个质量为，自旋自旋1/2的全同粒子处于一维无
20、限深势阱的全同粒子处于一维无限深势阱 中，忽略自旋相关力。中，忽略自旋相关力。2）粒子间有相互作用势能）粒子间有相互作用势能 这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2 2和第和第3 3个个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。 自旋三重态自旋三重态自旋单态自旋单态第一激发态第一激发态第第2 2激发态激发态- -自旋单态自旋单态交换能交换能第第2 2最低的能态在零级近似中是四度简并，用简并微扰理论。由于相互作用能量与自旋无最低的能态在零级近似中是四度简并，用简并微扰理论。由于相互作用能量与自旋无关，微扰矩阵是对角矩阵。因此可直接写出一级能量修正关，微扰矩阵是对角矩阵。因此可直接写出一级能量修正第第3 3最低的能态在零级近似中是非简并，直接用非简并微扰写出一级能量修正最低的能态在零级近似中是非简并，直接用非简并微扰写出一级能量修正KK有经典对应有经典对应JJ无经典对应无经典对应氢原子处于状态氢原子处于状态例题例题1 1）计算）计算 和和 的平均值的平均值2 2）计算测不准关系）计算测不准关系解：解：1 1）因为）因为状态已归一化了，所以状态已归一化了，所以
