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1、第九章第九章电子科技大学应用电子科技大学应用数学学院数学学院2014.022014.021解解第一节第一节 基本概念基本概念2凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例 若未知函数是一元函数，称若未知函数是一元函数，称常微分方程常微分方程，否，否则称则称偏微分方程偏微分方程. . 本章只讨论前者本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微称为微分方程的分方程的阶阶 .一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( (n阶阶) )微分方程微分方程3使方程成立的函数称微分方程的使方程成立的函数称微分方程的解解.
2、.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .4过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题
3、. .5第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程. . 称称则则6解解例例1 17解解例例2 28第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的. .上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. .例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.一、线性方程一、线性方程9齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法102.2. 线性非
4、齐次方程线性非齐次方程常数变易法把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换11积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解12解解例例1 113解法解法2 2例例1 114Review一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.1. 线性齐次方程线性齐次方程15ReviewReview
5、常数变易法常数变易法2.2. 线性非齐次方程线性非齐次方程16(3)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构先讨论先讨论二阶二阶齐次线性方程齐次线性方程也是也是(3)的解的解. .定理定理1 1(4)进一步，进一步，则则(4)就就是是(3)的的通解通解. .1. 1. 齐次线性方程解的结构齐次线性方程解的结构17(2)推论推论(齐次线性方程的叠加原理齐次线性方程的叠加原理) 的的n个个线性无关的解性无关的解, , 则它们的任意线性组合则它们的任意线性组合即为方程即为方程(2)的通解的通解. .182. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构回顾：回顾：一阶线性微分方程一阶线性微
6、分方程对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解192. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构定理定理2 2(5)的一个特解的一个特解, ,(3)的通解的通解, , 那么那么(5)的通解的通解为为20(1)为二阶为二阶常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程, , 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 于是方程通解于是方程通解为 其中其中a, ,b, ,c是常数是常数. .称称21(1)(2) 代数方程代数方程(2)称称为微分方程微分方程(1)的的特征方程特征方程, ,它的根称它的根称为特征根特征根. . 22(3)232425小结小结 特征根的
7、情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根26解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为27解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例3 3例例4 4解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为28解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例5 5P205P20529n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项30二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结
8、构f(x)常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？ 方法方法：待定系数法待定系数法.* *常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 31则则3233综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中代入原方程代入原方程, ,或利用下式或利用下式来确定来确定Q(x). .34解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例1 135解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入代入原方程通解为原方程通解为例例2 2得得36解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入代入得得例例3 3373839共轭共轭40解解于是于是例例4 44142解解例例5 54344解解例例6 64546
