《抛物线的简单几何性质》第一课时

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1、2024/7/22基础回顾基础回顾1.1.定义定义: :2.2.标准方程标准方程: : 在平面内与一个定点和一条定直线的距离相在平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹等的点的轨迹叫做叫做抛物线抛物线. 其中定点叫做抛物线其中定点叫做抛物线的的焦点焦点,定直线叫做抛物线的定直线叫做抛物线的准线准线.Xyoy2=2px (p0)y2=-2px (p0)x2=-2py (p0)x2=2py (p0)四种形式四种形式FL抛物线抛物线焦点焦点准线准线基础回顾基础回顾xyoMFL焦半径焦半径: :焦点弦焦点弦: :|MF|= + x12pN|MN|=p+(x1+x2)(x1,y1)(x2,y2)

2、y2=2px (p0)3.3.相关概念相关概念: :1.1.定义定义2.2.标准方程标准方程基础回顾基础回顾通通 径径: :|AB|=2pxyoMFLNAB焦半径焦半径: :焦点弦焦点弦: :|MF|= + x12p|MN|=p+(x1+x2)y2=2px (p0)3.3.相关概念相关概念: :1.1.定义定义2.2.标准方程标准方程思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？2024/7/22xyo抛物线抛物线y2=2px (p0)探索新知探索新知(1)(1)范范 围围: :(2)(2)对称性对称性: :(3)(3)顶顶 点点: :(4)(4)离心率离心率: :x x00( (y yRR)

3、)关于关于X轴对称轴对称(0,0)e=1MFLN观观察察与与探探索索2024/7/22图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0xRy 0xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点特点1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准

4、线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔例例1.已知一抛物线关于已知一抛物线关于X轴对称轴对称,它的顶点在原点它的顶点在原点,且经且经过点过点M(2,-2 2),求它的标准方程并用描点法作图求它的标准方程并用描点法作图.例题分析例题分析解解:依题意依题意,可设抛物线的可设抛物线的标准方程为标准方程为y2=2px(p0)xyo11232-1-2因为点因为点M在抛物线上在抛物线上,所以所以 8=4p, 即即 p=2故所求方程为故

5、所求方程为 y2=4x 2024/7/22变式变式: 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.典型例题：典型例题：例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标顶点在坐标原点原点,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与

6、抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法二解法二:由题意可知由题意可知,分析：运用分析：运用抛物线的定抛物线的定义和平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷比较简捷 变式：变式： 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交

7、这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切（以以CD为为直直径径的的圆圆过过焦焦点点，三三角角形形CFD是是直直角角三三角角形形）练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径上，那么抛物线通径长是长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求

8、直线AB的方程的方程. y2 = 8xX=32024/7/22例例3.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xOyFABD2024/7/22例例3 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过两点，通过点点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：，求证：直线直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。xyOFABD实际应用实际

9、应用2米米 下图是一座抛物线形拱桥，此时水面宽下图是一座抛物线形拱桥，此时水面宽4米，拱顶米，拱顶离水面离水面2米，问米，问:水下降水下降1米后水面宽多少？米后水面宽多少？xyo-22(2,-2)4 米米?x2=-2py (p0)-3AB答案答案: : 米米2024/7/22小结小结:1.掌握抛物线的几何性质掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;2024/7/22图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶

10、点离心率离心率关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1分析分析:直线与抛物直线与抛物线有一个公共点线有一个公共点的情况有两种情的情况有两种情形：一种是直线形：一种是直线平行于抛物线的平行于抛物线的对称轴；对称轴；另一种是直线与另一种是直线与抛物线相切抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方

11、程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 分析分析:直线与抛物线没有公直线与抛物线没有公共点时共点时 0 注注:在方程中在方程中,二次项系数含有二次项系数含有k,所以要对所以要对k进行讨论进行讨论作图要点作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形形,观察直线绕点观察直线绕点P转动的情形转动的情形变式一变式一:已知抛物线方程已知抛物线方程y2=4x,当当b为何值时为何值时,直线直线l:y=x+b与抛物线与抛物线(1)只有一个公共点只有一个公共点(2)两个公共两

12、个公共点点(3)没有公共点没有公共点.当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的的最大值是多少最大值是多少?分析分析:本题与例本题与例1类型相似类型相似,方法一样方法一样,通过通过联立方程组求得联立方程组求得.(1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的的最大值当直线与抛物线相切时取得最大值当直线与抛物线相切时取得.其值其值为为12024/7/22变式二变式二:已知实数已知实数x、y满足方程满足方程y2=4x,求函数求函数 的最值的最值变式三变式三:点点(x,y)在抛物线在抛物线y2=4x上运动上运动,求函数求函数z=x-y的最值的最值.本题转化

13、为过定点本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题斜率的最值问题.本题转化为直线本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时与抛物线有公共点时z的最值的最值问题问题.无最大值无最大值2024/7/22xyBAFO解：因为直线解：因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为xyBAFOxyBAFOxyBAFO抛物线的焦点弦的特征抛物线的焦点弦的特征1、已知、已知AB是抛物线是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）1）求证：）求证：y1y2P2，x1x2p

14、2/4。2）设）设为直线为直线AB的倾斜角，求证：当的倾斜角，求证：当90o时，取得时，取得AB的最小值的最小值2p。3）若弦）若弦AB过焦点，以过焦点，以AB为直径的圆与准线相切。为直径的圆与准线相切。例例2 2、已已知知直直线线l l：x=2px=2p与与抛抛物物线线 =2px(p0)=2px(p0)交交于于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.证明：由题意得，证明：由题意得，(2p,2p),(2p,2p),B(2p,-2p)B(2p,-2p)所以所以 =1=1， =-1=-1因此因此OAOBOAOB推推广广1 1 若若直直线线l l过过定定点点(2p,0)(2p,0)

15、且且与与抛抛物物线线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.xyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明：证明：设设l 的方程为的方程为y=k(x-2p) 或或x=2p 所以所以OAOB.OAOB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)推推广广2 2： 若若直直线线l l与与抛抛物物线线 =2px(p0)=2px(p0)交交于于A A、B B两两点点，且且OAOB OAOB ，

16、则，则_ xyOy2=2pxABlC(2p,0)验证：由验证：由 得得 所以所以直线直线l l的方程为的方程为 即即而因为而因为OAOB OAOB ，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直线得到直线l l 的方程为的方程为所以直线过定点（所以直线过定点（2p,0).2p,0).高考链接：过定点高考链接：过定点Q Q（2p,0)2p,0)的直线与的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两）交于相异两点点A、B，以线段，以线段AB为直径作圆为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点为圆心），试证明抛物线顶点在圆在圆H上。上。1.顶点在原点顶点在原点,焦点为焦点为F(0,5)的抛物线方程为的抛物

17、线方程为_.2.顶点在原点顶点在原点,对称轴为对称轴为X轴轴,且顶点与焦点的距且顶点与焦点的距离等于离等于6的抛物线方程为的抛物线方程为_.3.过抛物线过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交该抛物线的焦点作一条直线交该抛物线于于A(x1,y1)、B(x2,y2),若若x1+x2=6,则则|AB|=_.强化训练强化训练X2=20yy2=24x或或y2=-24x8答案答案:1232024/7/224.抛物线抛物线2x+3y2=0的准线方程为的准线方程为( ) A. x= B. y= C. x= D. y=383816165.抛物线抛物线y2= x关于直线关于直线x-y=0对称的抛物线的对称的抛物线的

18、焦点坐标是焦点坐标是 ( ) A. (1,0) B. (0,1) C. ( ,0) D. (0, )6. 过点过点(0,1)作直线作直线, 使它与抛物线使它与抛物线y2=4x仅有一仅有一个公共点个公共点,这样的直线有这样的直线有( )条条 A 1 B 2 C 3 D 414116116强化训练强化训练CCD答案答案:4562024/7/22例例2.已知定点已知定点P(3,1),点点M在抛物线在抛物线y2=4x上运动上运动,F为此为此抛物线焦点抛物线焦点,则则|MP|+|MF|的最小值是的最小值是( ) A 3 B 4 C 5 D 6走进高考走进高考FPxyo11232-1-2-1N则使则使|MP|+|MF|取得最小值的取得最小值的点点M的坐标是的坐标是_(变式题变式题) ( ,1)14MN |MP|+|MF| = |MP|+|MN| |PN|2024/7/22