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1、n1理解平面向量数量理解平面向量数量积积的含的含义义及其物理意及其物理意义义n2了解平面向量的数量了解平面向量的数量积积与向量投影的关系与向量投影的关系n3掌握数量掌握数量积积的坐的坐标标表达式，会表达式，会进进行平面向量数量行平面向量数量积积的运算的运算n4能能运运用用数数量量积积表表示示两两个个向向量量的的夹夹角角，会会用用数数量量积积判判断断两两个个平平面面向向量量的的垂直关系垂直关系n5会用向量方法解决某些会用向量方法解决某些简单简单的平面几何的平面几何问题问题n6会用向量方法解决会用向量方法解决简单简单的力学的力学问题问题与其他一些与其他一些实际问题实际问题第第3 3课时课时 向量的
2、数量积、向量的应用向量的数量积、向量的应用n【命题预测命题预测】 n向向量量的的数数量量积积是是高高考考命命题题的的重重点点，主主要要考考查查平平面面向向量量数数量量积积的的性性质质在在向向量量运运算算、化化简简、求求值值、证证明明中中的的应应用用，考考查查平平面面向向量量平平行行、垂垂直直的的充充要要条条件件的的应应用用，以以及及用用向向量量的的数数量量积积解解平平面面几几何何问问题题多多出出现现在在填填空空题题与与选选择择题题中中，难难度度不不会会太太大大在在解解答答题题中中，常常常常与与其其他他章章节节的的内内容容，例例如如三三角角函函数数、数数列列、函函数数等等相相结结合合，考考查查平
3、平面面向向量量数数量量积积的的综综合合运运用用，综综合合性性较较强强，属属于于中中等等偏偏难的题难的题n【应试对策应试对策】 n1在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量的夹角在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量的夹角n两两向向量量的的夹夹角角描描述述了了两两向向量量的的方方向向差差异异，求求两两向向量量的的夹夹角角时时一一定定要要注意向量注意向量n的方向例如在的方向例如在ABC中，向量中，向量 的夹角是的夹角是B，不是，不是B.n(1)当当a0时时，由由ab0不不能能推推出出b0，这这是是因因为为任任一一与与a垂垂直直的的非非零零向量向量b都都n有有ab0.n(2)当当a0时时，由，
4、由abac也不能推出也不能推出bc.只要只要b，c在在a方向上的投影相等方向上的投影相等(|b|cosb，a|c|cosc，a)，都有，都有abac(如如图图所示，所示，对对于直于直线线l上任意点上任意点P， n 的的值值都相等都相等) n(3)数量数量积积运算不运算不满满足足结结合律，即合律，即(ab)c不一定等于不一定等于a(bc)这这是因是因为为(ab)c表示一个与表示一个与c共共线线的向量，而的向量，而a(bc)表示一个与表示一个与a共共线线的向量，而的向量，而a与与c不一定共不一定共线线n2数量数量积积公式公式ab|a|b|cos (其中其中为为a，b的的夹夹角角)的一些的一些简单应
5、简单应用：用：n(1)当当0时时，ab|a|b|，所所以以求求两两向向量量的的模模的的乘乘积积可可转转化化为为求求向量的向量的n数量数量积积n(2)当当90时时，ab0ab，所所以以判判定定两两向向量量垂垂直直常常可可转转化化为为证证明数明数n量量积为积为零零n(3) 0点点O在以在以AB为为直径的直径的圆圆上；上；n 0点点O在以在以AB为为直径的直径的圆圆外外AOB90.n【知识拓展知识拓展】 n向量积向量积n由两向量由两向量a和和b作一个新向量作一个新向量c，若，若c满足下列三个条件：满足下列三个条件：n(1)向向量量c的的模模等等于于|a|b|sina，b；(2)c同同时时垂垂直直于于
6、a和和b；(3)c的的方向按方向按“右手法则右手法则”确定则称确定则称c为为a与与b的向量积，记作的向量积，记作cab.n1两个向量的夹角两个向量的夹角n(1)定义：对于定义：对于 向量向量a与与b，作，作 ，则则AOB=，n(0180)叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角n(2)特特殊殊情情形形：当当= 时时，a与与b同同向向；当当= 时时，a与与b反向；反向；n当当= 时，则称向量时，则称向量a与与b垂直，记作垂直，记作ab.两个非零两个非零180090n2平面向量的数量积平面向量的数量积n(1)平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义n已已知知两两个个非非零零向向量量a和和b，它它们们的
7、的夹夹角角为为，则则数数量量 叫做叫做a与与nb的的数数量量积积(或或内内积积)，记记作作ab，即即 ，并并规规定零向量与任定零向量与任n一向量的数量积为一向量的数量积为 .|a|b|cos 0ab|a|b|cos n(2)b在在a方向上的投影方向上的投影n定定义义：设设是是a与与b的的夹夹角角，则则 叫叫做做a在在b的的方方向向上上的的投投影影， 叫叫n做做b在在a的的方方向向上上的的投投影影，一一向向量量在在另另一一向向量量的的方方向向上上的的投投影影是是一一个个实实数数，而不是而不是n向量，当向量，当090时时，n它是它是 ，当，当900.n(1)试用试用k k表示表示ab，并求出并求出
8、ab的最大值及此时的最大值及此时a与与b的夹角的夹角的值的值；n(2)当当ab取得最大值时，求实数取得最大值时，求实数，使使|ab|的值最小，并对这的值最小，并对这一结果作出几何解释一结果作出几何解释. . n本本题题可以通可以通过对过对已知条件两端平方解决，容易出已知条件两端平方解决，容易出现现的的问题问题是是对对向量模与数量向量模与数量积积的关系不清的关系不清导导致致错误错误，如，如认为认为|ak kb|a|k kb|或或|ak kb|2|a|22k k|a|b|k k2|b|2等都会得出等都会得出错误错误的的结结果第果第二个易二个易错错之之处处就是在得到就是在得到ab 后，忽后，忽视视了
9、了k k0的限制的限制条件，求条件，求错错最最值值 【错因分析错因分析】n解解：(1)|ak kb| |k kab|(ak kb)23(k kab)2ab (k k0)nab ，ab的的最大值为最大值为 n此时此时cos ， .nab (k k0)，ab的最大值为的最大值为 n此时此时a与与b的的夹角夹角的值为的值为 .【答题模板答题模板】n(2)由由题题意，意，ab ，故，故|ab|221 n当当 时时，|ab|的的值值最小，最小，n此此时时 b0，这这表明表明 b.n向量的运算法则有相同的，也有不同的，在命题中千万向量的运算法则有相同的，也有不同的，在命题中千万不要进行盲目类比，特别是关于
10、向量的数量积的运算法则不要进行盲目类比，特别是关于向量的数量积的运算法则和实数的乘法运算法则完全不同，一定要把这些运算法则和实数的乘法运算法则完全不同，一定要把这些运算法则分清楚分清楚. 【状元笔记状元笔记】n1 设设向量向量a，b，c满满足足abc0，(ab)c，ab，n 若若|a|1，求，求|a|2|b|2|c|2.n 分分析析：把把条条件件化化简简整整理理，根根据据“向向量量垂垂直直等等价价于于向向量量的的数数量量积积为零为零”，n 寻找向量寻找向量a，b，c的内在联系的内在联系n解：解：abc0，c(ab)n(ab)c，(ab)c(ab)(ab)0，na2b2，|b|1.ab，ab0，
11、n|c|2c2(ab)2a2b22ab2，n|a|2|b|2|c|21124.n2已知两个向量已知两个向量e1，e2满满足足|e1|2，|e2|1，e1，e2的的夹夹角角为为60.n(1)若向量若向量2te17e2与向量与向量e1te2的方向相反，求的方向相反，求实实数数t的的值值；n(2)若若向向量量2te17e2与与向向量量e1te2的的夹夹角角为为钝钝角角，求求实实数数t的的取取值值范范围围n分分析析：两两个个非非零零向向量量a，b反反向向，等等价价于于ab(0)；两两个个非非零零向向量量a，b所成的夹角为钝角，等价于所成的夹角为钝角，等价于cos 0且且cos 1，n 即等即等 价于价
12、于 “ab0且且a，b不反向不反向”n解：解：(1)由题意设由题意设2te17e2(e1te2)(0，则则t 不合题意，舍去不合题意，舍去n当当t 时时，2te17e2与向量与向量e1te2的夹角为的夹角为，n即这两个向量方向相反即这两个向量方向相反n(2)因因为为e4，e1，e1e221 cos 601，n所所以以(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.n因因为这为这两个向量两个向量夹夹角角为钝为钝角，角，设夹设夹角角为为，n则则有有 cos n所所以以有有(2te17e2)(e1te2)0，且且2te17e2与与向向量量e1te2不不反反向向n当当2t215t70时时，解得，解得7t n又由又由(1)知知t 时时，这这两个向量的两个向量的夹夹角角为为，n t的取的取值值范范围围是是
