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1、高等代数高等代数3 3 3 3 线性相关性线性相关性线性相关性线性相关性重点与难点：重点与难点： 1. 1. 线性组合线性组合 2. 2. 向量组等价向量组等价 3. 3. 线性相关性线性相关性4. 4. 极大无关组极大无关组1;.高等代数高等代数一、线性组合一、线性组合1.1.定义定义若向量若向量 可表成向量组可表成向量组 的一个线性组的一个线性组合，则称向量可由向量组合，则称向量可由向量组 线性表出线性表出. 若若 ，也称向量，也称向量 与与 成比例成比例.注注: : 则称向量称向量为向量向量组的一个的一个线性性组合，合，中的数中的数使使其中其中叫做叫做这个个线性性组合的系数合的系数. .
2、如果有数域如果有数域P2;.高等代数高等代数零零向量向量0可由可由任一向量组线性表出任一向量组线性表出. . 一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. . 任一任一 维向量维向量 都是向量组都是向量组也称为也称为n 维单位向量组维单位向量组 的一个线性组合的一个线性组合事实上，事实上， 对任意都有对任意都有3;.高等代数高等代数若能，写出它的一个线性表示式若能，写出它的一个线性表示式解：设解：设 ，即有方程组，即有方程组 （1）例例1 1判断向量能否由向量组线性表出判断向量能否由向量组线性表出.4;.高等代数高等代数对方程组对方程组(1)的增广矩阵作初
3、等行变换化阶梯阵的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组所以方程组(1)有解它的一般解为有解它的一般解为 得得(1)的一个解的一个解 ，令令从而有从而有5;.高等代数高等代数1 1、定义、定义二、向量组的等价二、向量组的等价向量组等价向量组等价. . 若向量组若向量组 中每一个向量中每一个向量 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个可以经向量组可以经向量组 线性表出；线性表出； 皆可经向量组皆可经向量组 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组6;.高等代数高等代数向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有：1) 反身性反身性2) 对称性对称性
4、 3) 传递性传递性2 2、等价的性质、等价的性质注注: : 每一个向量组都可以经它自身线性表出；每一个向量组都可以经它自身线性表出；线性表出具有传递性，但不具对称性。线性表出具有传递性，但不具对称性。证证反例反例7;.高等代数高等代数8;.高等代数高等代数三、线性相关性三、线性相关性1 1、线性相关、线性相关 特殊情形特殊情形 2）任意一个含零向量的向量组必线性相关任意一个含零向量的向量组必线性相关. . 定义定义1 1：如果向量组如果向量组 中有一向量中有一向量称为线性相关的称为线性相关的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组1）向量组）向量组 线性相关线性相关 成
5、比例成比例. 注注: : 9;.高等代数高等代数 1 l3 3 2 k210;.高等代数高等代数定义定义11：向量组向量组 称为线性相关称为线性相关如果存在如果存在P 上上不全为零的数不全为零的数 的的,在在 时，时，定义定义1 1与与定义定义1 1是一致的是一致的. . 例例2 2判断下列向量组是否线性相关判断下列向量组是否线性相关.使使注注: : 证证11;.高等代数高等代数例例3 3判断向量组判断向量组 是否线性相关？若线性相关，求一组非零数是否线性相关？若线性相关，求一组非零数使使解：解：设设即有方程组即有方程组解之得解之得为任意数为任意数所以线性相关所以线性相关. .令令则有则有使使
6、12;.高等代数高等代数定义定义2 2：若向量组若向量组 不线性相关，则称不线性相关，则称若不存在若不存在P 中不中不全为零的数全为零的数 ，使使向量组向量组 为线性无关的为线性无关的.2 2、线性无关、线性无关 即即则称向量组则称向量组 为线性无关的为线性无关的.可推出可推出换句话说，换句话说，则称向量组则称向量组 为线性无关的为线性无关的.对于一个向量组对于一个向量组若由若由注注: : 13;.高等代数高等代数3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量个向量可由其余向量(若有的话若有的话)线性表出线性表出. 3 3、线性相关性的
7、有关结论、线性相关性的有关结论 2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关组一定线性相关.14;.高等代数高等代数5）如果向量组）如果向量组 线性无关线性无关，而向量组而向量组线性相关，则线性相关，则 可经向量组可经向量组线性表出线性表出，且表示式唯一。且表示式唯一。( (习题习题3)3) 都线性无关都线性无关.4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组任何一个部分组15;.高等代数高等代数有
8、无非零解有无非零解，故故是否线性相关就是看方程是否线性相关就是看方程判断向量组判断向量组 有无非零解，即齐次线性方程组有无非零解，即齐次线性方程组3 3、线性相关性的重要性质、线性相关性的重要性质 1 1）充要条件）充要条件16;.高等代数高等代数特别地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量17;.高等代数高等代数的缩短组的缩短组. .线性无关，则向量组线性无关，则向量组 也线性无关也线性无关 。向量组向量组 常称为向量组常称为向量组 的延伸组；的延伸组；称为称为而而相关相关，则向量组则向量组 也线性相关也线性相关.反之，若向量组反之，若向量组 线性线性证证2 2）结论）结论注注: : 18;
9、.高等代数高等代数简证：两向量组相对应的齐次线性方程组分别为简证：两向量组相对应的齐次线性方程组分别为19;.高等代数高等代数3). 3). 基本性质定理基本性质定理 定理定理2设设 与与 为两个为两个i) 向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.ii)向量组，若向量组，若20;.高等代数高等代数要证要证 线性相关线性相关，即证有不全为零的数即证有不全为零的数使使 证：证： 由由i)，有，有 作线性组合作线性组合 若能找到不全为若能找到不全为0的的 ，使使 21;.高等代数高等代数中，方程的个数中，方程的个数 s 未知量的个数未知量的个数r，在方程组在
10、方程组 （）从而有不全为零的数从而有不全为零的数 ，使使所以所以（）有非零解有非零解. 所以所以 线性相关线性相关。则也使则也使 22;.高等代数高等代数推论推论2任意任意 n1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. . 推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 线性表出，且线性表出，且 线线性无关性无关，则则 的向量的向量.（任意（任意 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关. .） 23;.高等代数高等代数(一一)、极大线性无关组极大线性无关组 i) 线性无关；线性无关； 极大线性无关组，简称极大
11、无关组极大线性无关组，简称极大无关组. 一个部分组一个部分组若满足若满足 1.1.定义定义为为中的一个向量组，它的中的一个向量组，它的设设线性表出线性表出；ii) 对任意的对任意的 , 可经可经四、极大线性无关组与向量组的秩四、极大线性无关组与向量组的秩则称则称 为向量组为向量组 的一个的一个24;.高等代数高等代数定义定义另定义另定义25;.高等代数高等代数总结：总结：极大线性无关组的定义极大线性无关组的定义为为中的一个向量组，它的中的一个向量组，它的设设I： 则称则称II为向量组为向量组I的一个的一个极大线性无关组，简称极大无关组极大线性无关组，简称极大无关组. 26;.高等代数高等代数一
12、个向量组的极大无关组不一定是唯一的一个向量组的极大无关组不一定是唯一的.一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身. .一个向量组的任意两个极大无关组都等价一个向量组的任意两个极大无关组都等价. . Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量. . 向量组和它的任一极大无关组等价向量组和它的任一极大无关组等价. .（根据定理（根据定理2的推论的推论1即得）即得）注注 27;.高等代数高等代数1.1.定义定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数向量组的极大线性无关组所含向量个数2.2.性质：性
13、质：一向量组线性相关一向量组线性相关秩秩= =它所含向量个数；它所含向量个数；秩它所含向量个数秩它所含向量个数.称为这个向量组的秩称为这个向量组的秩. (二二)、向量组的秩、向量组的秩 一向量组线性无关一向量组线性无关等价向量组必有相同的秩等价向量组必有相同的秩. .注注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，规定其秩为全部由零向量组成的向量组无极大无关组，规定其秩为0.0.28;.高等代数高等代数若向量组若向量组可经向量组可经向量组 线性表出，则秩线性表出，则秩 秩秩 （习题（习题12） 例例4 4设设1）证明：）证明： 线性无关线性无关. .2）把）把扩充成一个极大无关组扩充成一个极大无关
14、组. .29;.高等代数高等代数1）证：）证：由于不成比例，由于不成比例，2）解：）解：线性无关线性无关. .由由即即为自由未知量为自由未知量. .解得解得线性相关线性相关. .即即可经线性表出可经线性表出.30;.高等代数高等代数由由解得解得线性无关线性无关. .即即不能由线性表出不能由线性表出.即即31;.高等代数高等代数再由行列式再由行列式线性相关线性相关. .故即为由故即为由扩充的一个极大无关组扩充的一个极大无关组.即即32;.高等代数高等代数例例5 5求向量组求向量组的极大线性无关组的极大线性无关组, ,并将其余向量用此极大线性无关组线性表出。并将其余向量用此极大线性无关组线性表出。
15、解：解：作矩阵作矩阵对矩阵对矩阵A作初等行变换化阶梯形作初等行变换化阶梯形33;.高等代数高等代数由矩阵由矩阵B知知线性无关且为极大线性无关组线性无关且为极大线性无关组.行行最最简简形形34;.高等代数高等代数附附求向量组的极大无关组的一般步骤：求向量组的极大无关组的一般步骤：则就是一个极大无关组则就是一个极大无关组.第一步第一步：作矩阵：作矩阵或或为列向量时为列向量时为行向量时为行向量时第二步第二步：用初等行变换化矩阵：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵为阶梯阵J.若若J 中有中有r 个非零行，则秩个非零行，则秩设设J 中第中第i个非零行第一个非零元所在列标号为个非零行第一个非零元所在列标号为用此
16、方法容易将其余向量用此极大无关组线性表出。用此方法容易将其余向量用此极大无关组线性表出。注注 35;.高等代数高等代数五、方程组的解五、方程组的解 现在把上面的概念与方程组的解的关系进联系，给定一个方程组现在把上面的概念与方程组的解的关系进联系，给定一个方程组各个方程所各个方程所对应的向量分的向量分别是是设有另一个方程有另一个方程36;.高等代数高等代数它对应的分量为它对应的分量为容易验证，方容易验证，方程组程组的解一定满足的解一定满足(B)37;.高等代数高等代数它的方程所它的方程所对应的向量的向量为若若可可经线性表出，性表出，则方程方程组的解是方程的解是方程组的解的解.38;.高等代数高等
17、代数小结小结小结小结 1、线性组合，线性表出；、线性组合，线性表出；2、向量组等价；、向量组等价；作业：作业：P1542.2)3，6，10，11，17.练习：练习：P1542-173、向量组的线性相关性；、向量组的线性相关性；4、极大线性无关组与秩；、极大线性无关组与秩；39;.高等代数高等代数40;.高等代数高等代数也也线性无关；性无关；对n个个线性无关向量性无关向量组命题是否成立？命题是否成立？命题是否成立？命题是否成立？也也线性无关；性无关；对n个个线性无关向量性无关向量组练习练习 41;.高等代数高等代数由于由于 线性无关，于是有线性无关，于是有 设设即即 (2).(2).已知向量组已知向量组 线性无关，向量线性无关，向量证明：证明： 线性无关线性无关. .解之得解之得 所以所以 线性无关线性无关 .证：证：42;.高等代数高等代数思考思考 43;.高等代数高等代数证明证明(1)、(2)略略(3)充分性充分性必要性必要性思考题解答思考题解答44;.
