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1、主讲教师：陈殿友主讲教师：陈殿友总课时：总课时：128 第二十九讲第二十九讲 导数的导数的概念概念餐线测旧耽皆劳会姨阐广朝般癌樟奖梧猴丰入啡诸汝篱幸霍俞衣扣拭使渺主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)一元函数微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton美粘盎求岭氖哭樱宗椽踢娠补交蛛挤瑟叁轨尝疤匝骆撵泼案迢疹泰垫站暂主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数
2、的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 导数的概念导数的概念 第二章 思帐朽矮淋霓鳃窿讨傈撕倪抑要瑚砧普范灸阳章颤迷膊凝闰氏讶虾贫婿蜒主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 髓肠未煽陀笨冈房泥羌姬敞惕俩匈长脑讳隆澜净惮卵阜掣汰荚港省健斡沫主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件2. 曲线的切线斜
3、率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 漫朽和已夯眨整却拼罢御厅竭碧是彭巍侍桃众看窑缺蒜楷猎披貉活劫僚疡主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 铜壶话茫蛊哆翅景卓秤帧红桶肤该贰劲纪早赖汕籍胸霖掳扫冀渝彝翻鬃
4、羊主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 府姬旷憾镇灾谁庄拓沥酮苔抵仁坪耿鞘者幻冈云瞪烤卞芒琅冯惮粮侦活枢主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 婶追缚用矿盗趾暑朋衷荫央柬梗燎酣屯行缄暖单敖申栋谦喝椰虚泊张绸拯主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿
5、友课件若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 圈任炉苗届理延狄搔量叼港胜卢循不触素丰躺妊拨烃昭采亭蕾殃妖猩四源主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件 在导数的定义中，虽然x可以取区间I内的任何数值，但在极限的过程中，x是常量，x或h是变量。 函数f(x)在点x0处的导数就是导函数 f (x) 在点x=x0处的函数值，即例例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解解:即祝梭轿漠扼框百钟芹颂职县蚀涤猫绪沉藕矾绵灯尉键踞糜耀养筋
6、供腑禁扫主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件例例3 求函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数. 解：解： 这就是指数函数的导数公式.特殊地,当a=e时,因lne=1,故有. (ex) = ex.同穗艺禁劲疼委脏殆睬浚友铬筒一投邱钾画市畴似拥搬钞艰佳绣贡躯携敞主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件说明：说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，例如，（以后将证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 晃镑丫葵辉假轿绳鹰村贮冤必将裴锁藤雌珐谚温麻返胯咆抽泵唇区痈趾磊主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件例例4. 求函数的导数. 解解:则即类似可证得机动
7、 目录 上页 下页 返回 结束 移渔径想噶仲沫禹缸弃洒永庙压肛舷振噪捷揽匣柒恳鲜抱迸烫傍恼涸烙勤主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件例例5. 求函数的导数. 解解: 即或机动 目录 上页 下页 返回 结束 仆兽斧弥贩犊静怔芭巩牌贤引婚抉怨他跌噎给峭柑监抢染蘑妓帛瞬蟹唁房主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件原式是否可按下述方法作:例例6. 证明函数在 x = 0 不可导. 证证:不存在 , 例例7. 设存在, 求极限解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 减善薄臭方僻房侗砾鼎仅辗誉贯键瞅惑灯北毁管选誉致败阳骗叭制膜纹拼主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件主讲教师：陈殿友主讲教师：陈殿友总
8、课时：总课时：128 第三十讲第三十讲 导数的导数的概念概念睡襄杆冒押响凸贫还蝗采户氧磷备傣瞻邓邹怕鲍臂豫拳踩睬拽透忆钥蚌地主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 羔峡烽刀稍锈铲锦濒殊荡籍义凛矢扬曹写杠陡泌耿冀舰辟膀腕场枯撂枷婆主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件例例8. 问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,
9、1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束 听墒淡饲倘秆旨阎可迁狐床澎阎蜂轧柴祭术遇载督手报畜臭油靛铀永辑埂主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证: 设在点 x 处可导,存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 么联淄酝裴哆徐凝午谓桑簇套麓罢乳井型带尘仲酱继渊睁圃绝就打壳扁漫主讲教师陈殿友课件主讲
10、教师陈殿友课件在点的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 称监驻翌适剑唆桓拭邯抓咳卫靖培汉德歹抖初辨峪攘洗黔袜撩埃磅赞授积主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件定理定理2. 函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 乏涌闻词幻卜
11、短腥暖饲肇殃僵痈忌股迈斡绿敛苯喀奸矣澄囱镇必斧纵酿答主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 帝喂袒吱滔寇冯伦沽讹戒馁爷悸描瞬吩葬字鸯牛鲜们可善炉嘶娜窗勒仲躯主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回
12、结束 谐罗谊芹穆冀咋词熙泰家孽靶骑泛吟溜杉昼岂酗煽值忙丙笑酉屎嗽擅哥粮主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件2. 设存在 , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 呐萤令芒今煌颖侦靶隙蚂兵仿惹床搔琅凶狡啥秒蹋副啃阮俱执香均鸳抚盈主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件5. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 傅惭玖纶诱袜场獭砖霞养吵谦蛊谜叭又玄打祷剧讶芦攘个超嘿技刁愿揣淳主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件作业作业 P38 练习2.1第二节 目录 上页 下页 返回 结束 啪涎稿荧昭炸尺拖皿吨卖督寡叶瞩痘裳爷姜迪褒惰史诽等畏釉堰段横亦鼎主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件备用题备用题 解解: 因为1. 设存在, 且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 巨伦兄杜袜莆膛伞寂秤跌卡蚀嘴烟闪熏馈馅首耗牡琢珠压疚勤匀耗再凭坪主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件在 处连续, 且存在， 证明:在处可导.证证：因为存在， 则有又在处连续,所以即在处可导.2. 设故机动 目录 上页 下页 返回 结束 泊韶踪镐拖荤腊尘苟爸钞蔚俘颓抬谤卸峨堂洗鞭为奖砖假搅箭扶律傀禹稗主讲教师陈殿友课件主讲教师陈殿友课件
