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1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议会议2002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数学家大会如届国际数学家大会如图就是大会的会徽的图案图就是大会的会徽的图案你见过这个图案吗？你见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？它由哪些基本图形组成？ 下面就让我们通过时光隧道，和古希下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。吧。毕达哥拉斯毕达哥拉斯( (公元前公元前572-572-前前492492年年),),古希古希腊著名的哲学家、数学腊著名
2、的哲学家、数学家、天文学家。相传有家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的发现朋友家用砖铺成的地面中反映了地面中反映了A A、B B、C C三者面积之间的数量关三者面积之间的数量关系，系，进而发现进而发现直角三角直角三角形三边的某种数量关系形三边的某种数量关系A AB B C C 由这三个正方形由这三个正方形A，B，C的边长构成的等的边长构成的等腰直角三角形三条边长度腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系之间有怎样的特殊关系？探究一、探究一、三个正方形三个正方形A，B，C 的面积有什么关系的面积有什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC C
3、（图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）1.A1.A中含有中含有_个小方格，个小方格，即即A A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积9 99 918189 9实验实验A AB BC C图图1 1结论：结论：图图1 1中三个正方形中三个正方形A A，B B，C C的面积的面积之间的数之间的数量关系是量关系是: :S SA A+S+SB B=S=SC C探究一、探究一、三个正方形三个正方形A，B，C 的面积有什么关系的面积有什么关系？探究二探究二：S SA A+S+SB B=S=SC
4、 C在图在图2 2中还成立吗？中还成立吗？A AB BC C图图2 2结论：结论：仍然成立。仍然成立。A A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积252516169 9 你是怎样得到你是怎样得到正方形正方形C C的面积的的面积的？与同伴交流交流？与同伴交流交流（图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）A AB BC C问题问题2:2:式子式子S SA A+S+SB B=S=SC C能用直角三能用直角三角形的三边角形的三边a a、b b、c c来表示吗来表示吗? ?问题问题4:4:那么
5、直角三角形三边那么直角三角形三边a a、b b、c c之间的关系式是之间的关系式是: :a ab bc c 至此，我们在网格中验证了至此，我们在网格中验证了: :直角三角形直角三角形两条直角边上的两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S SA A+S+SB B=S=SC Ca a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2问题问题1:1:去掉网格结论会改变吗？去掉网格结论会改变吗？问题问题3:3:去掉正方形结论会改变吗？去掉正方形结论会改变吗？命题命题1 1：如果直角三角形的两
6、直角边长分如果直角三角形的两直角边长分别为别为a a，b,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .a ab bc c我们猜想：我们猜想： 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵赵爽爽是怎样证明这个命题的是怎样证明这个命题的探究三、拼图证明探究三、拼图证明 以直角三角形的
7、两条直角边以直角三角形的两条直角边a a、b b为边作两个正方为边作两个正方形，把两个正方形如图形，把两个正方形如图1 1连在一起，通过连在一起，通过剪、拼剪、拼把它把它拼成图拼成图2 2的样子。的样子。你能做到吗？试试看。你能做到吗？试试看。赵爽拼图证明法：赵爽拼图证明法：c c 小组活动小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形将两个连体正方形，拼成一个新的正方形. . 图图1 1黄实黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实图图2 2c c黄实黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实
8、朱实朱实朱实朱实b a M MN NP P剪、拼过程展示：剪、拼过程展示：“赵爽弦图赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实c ca ab b“赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当因此，当 20022002年第年第2424届国际数学家大会在北届国际数学家大会在北京召开时，京召开时， “赵爽弦图赵爽弦图”被选作大会会徽。被选作大会会徽。 现在，我们已经证明了命题现在，我们已经证明了命题1 1的正确性，在数的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所学上，经过证
9、明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题以命题1 1在我国叫做在我国叫做勾股定理勾股定理。勾股定理：勾股定理：如果直角三角形两直角如果直角三角形两直角边长分别为边长分别为a a、b,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么 a a2 2 + b + b2 2 = = c c2 2即：即：直角三角形两直角边的平方和等于斜直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。边的平方。 为什么叫勾股定理这个名称呢？为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。于是我国古代学者就把直。
10、于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为角三角形中较短直角边称为“勾勾”，较长直角边称为，较长直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”. .由于命题由于命题1 1反映的正好是直反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾勾股股国外又叫毕达哥拉斯定理国外又叫毕达哥拉斯定理其他证明方法其他证明方法用四个全等三角形拼图证明。用四个全等三角形拼图证明。 勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家
11、，也有业余数学爱好者，有普通的名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500500余种。余种。补例：补例：求出下列直角三角形中未知边的长度求出下列直角三角形中未知边的长度. .解：（解：（1 1）在）在RtABCRtABC中中, ,由勾由勾股定理得：股定理得：ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =100x x2 2=6=62 2+8+82 2x0x0
12、y y2 2+5+52 2=13=132 2 y y2 2=13=132 2-5-52 2y y2 2=144=144 y=12y=12（2 2）在）在RtABCRtABC中中, ,由勾股由勾股定理得定理得:AC:AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2y0y0A A6 68 8x xC CB B5 5y y1313C CA AB BX=10X=10探究四、实践应用探究四、实践应用方法总结：利用勾股定理建立方程方法总结：利用勾股定理建立方程. .1 1、图中已知数据表示面积，求表示边的未、图中已知数据表示面积，求表示边的未知数知数x x、y y的值的值. .9 91616x xy y14
13、4144169169看谁算得快看谁算得快2 2、已知已知S S1 1=1=1，S S2 2=3=3， S S3 3=2=2，S S4 4=4 , =4 , 求求S S5 5 、S S6 6 、S S7 7的值的值. .s s3 3看谁算得快看谁算得快11美丽的勾股树美丽的勾股树1 1、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过学习通过学习, ,我们知道了著名的勾股定理，掌我们知道了著名的勾股定理，掌握了握了从特殊到一般的探索方法，从特殊到一般的探索方法，还学会到了还学会到了拼拼图证明图证明的方法。的方法。1 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积、求下列图中字母所表示的正方形的面积. .=625=625225225400400A A2252258181B B=144=1442 2、如图，受台风影响，一棵树在离地面、如图，受台风影响，一棵树在离地面4 4米米处断裂，树的顶部落在离树跟底部处断裂，树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这米处，这棵树折断前有多高？棵树折断前有多高？4 4米米3 3米米3 3、求下列直角三角形中未知边的长、求下列直角三角形中未知边的长. .6 6x x101012121313x x
