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1、鸽巢问题（一）教学设计教学内容教科书第6768页例1、例2及相关内容。 教学目标1经历猜想、尝试、验证、比较、归纳等数学活动，理解“鸽巢问题”的基本形式。2能初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。3经历将具体问题数学化的过程，感受数学的魅力和价值，体会逻辑推理和模型思想。教学重点理解“鸽巢问题”的基本形式。教学难点理解鸽巢问题，掌握先“平均分”，再调整的方法。教学准备一副扑克牌、每组3个笔筒、4支铅笔、多媒体课件。教学过程一、新课引入师：同学们喜欢魔术吗？今天老师给大家带来一个“魔术”，这里有一副扑克牌（出示），我把大王和小王抽取出来（当众抽取），现在只剩下52张牌，如果请1
2、位同学上来随意抽5张，不管怎么抽，我都可以肯定至少有2张牌是同花色的。你们相信吗？请有疑问的学生上台抽牌，大家统计结果。师：谁能用一句简单的话来表述这个结果？预设：不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。师：为什么会有这样的现象呢？你觉得真的是因为老师会魔术吗？其实，这跟我们今天要学习的新内容“鸽巢问题”有关。师：看着这个课题，你有什么想法？（学生各抒己见）师：大家对我们这节课要学习的内容提出了一些疑问，现在我们就带着这些问题，一起来学习这节课，看看“鸽巢问题”到底能为我们解决哪些问题。师：由于52张扑克牌数量较大，研究起来不太方便，为了方便，我们先来研究一些数量较小的同类问题。二、探究新知（一）
3、教学鸽巢问题（一）师：每个小组桌子上都放了4支铅笔和3个笔筒，现在请大家来摆一摆，试一试。1小组合作，猜想验证。出示【学习任务一】。学生小组合作，动手尝试，教师巡视指导。学生动手尝试时可能会出现多种方法，如枚举法、数的分解法等。教师可以请小组成员上台边展示边说自己小组的思路（引导学生适当分工，有人负责说，有人负责展示）。一个小组汇报完毕，其他小组补充、评价。需要注意的是尽管题目要求中已经说明“不考虑笔筒的摆放顺序”，但学生实际操作中可能还会出现类似情况，教师需要重点关注，并纠正。集体汇报交流。预设1：枚举法。我们把4支铅笔分别放进3个笔筒，出现了4种情况。教师追问：能说说你们摆的具体过程吗？你
4、们怎么确定只有4种情况？预设：我们是按照从多到少有序摆放的，第一种情况是把4支铅笔全部放进一个笔筒，只有这一种情况。可能有学生提出质疑：你是把4支铅笔都放进了号笔筒里，如果都放进号笔筒里，号笔筒里呢？不应该是一共有3种情况吗？预设：你所说的这3种情况其实可以归结为1种，因为题目已经说明“不考虑笔筒的摆放顺序”，也就是说不管我把这4支铅笔全部放在哪个笔筒，结果都是一个笔筒里有4支铅笔，另两个笔筒里没有铅笔。学生继续讲解。第二种情况是把3支铅笔放进1个笔筒，剩下的1支铅笔放进另一个笔筒。这也只有一种情况；然后把2支铅笔放进1个笔筒，剩下的2支铅笔有两种放法，一种是分别放进两个笔筒，另一种是全部放进
5、一个笔筒，这样就又出现了两种情况。接着我把1支铅笔放进1个笔筒，剩下的3支要么全部放进其中一个笔筒，要么一个笔筒放2支，另一个笔筒放1支，这两种情况前面都有了，所以我确定只有这4种情况。这是我们用图示记录的结果：根据学生的回答，教师强调：我们在放的时候不考虑具体哪个笔筒放了几支铅笔，只要3个笔筒里铅笔的数量情况相同就属于同一种情况，这个小组做得非常好。这4种情况还可以这样用数字表示：4（4，0，0）；4（3，1，0）；4（2，1，1）；4（2，2，0）。预设2：数的分解法。其实这种方法很简单，就是脱离实物，把4分解成3个和为4的数，分的思路与上面的思路一样。请看，这是我们记录的结果。同样也可以
6、用数字表示，4（4，0，0）；4（3，1，0）；4（2，1，1）；4（2，2，0）。师：观察这两个小组的结果，你有什么发现？多人汇报，逐渐归纳总结：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。师：谁能结合这道题解释一下这句话里的“总有”和“至少”是什么意思？预设：“总有”就是一定有。“至少”就是最少，最低限度，可能比已知情况多，也可能与已知情况相等。就这道题来说，4种放法，无论哪种放法，都有1个笔筒里有2支或2支以上的铅笔。师：现在我们已经达成共识，把4支铅笔放进3个笔筒里，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。接下来请你想一想，如果我们不想把所有的情况都找出来观察，有什么办法能快速得出这个结论？预设3
7、：假设法。我认为可以用假设法，题目中有4支铅笔，要求放进3个笔筒里，我先假设平均每个笔筒里放1支铅笔，这样还剩下1支，这一支铅笔无论放进哪个笔筒，都会使这个笔筒里有2支铅笔。师：为什么要假设每个笔筒里放1支铅笔？引导学生明白，只有尽量平均分，才可以使每个笔筒里的铅笔数最少，如果这样符合要求，那么其他情况也是符合要求的。师：你能用算式表示这种分法吗？引导学生理出4311，112，并明确两个“1”表示的意思不同。商1指的是每个笔筒里放1支铅笔，余数1表示还剩下1支铅笔，因为剩下的这支铅笔可以放进任意一个笔筒，那么这个笔筒原有的1支，加上余下的这1支就是2支。2加深感悟，建立模型。师：现在我要改变笔
8、筒和铅笔的支数，请你先想一想，再独立列式算一算吧。出示【学习任务二】。学生独立完成，然后小组汇报交流。预设：学生能轻松填表，但是对于发现可能说得不太完整，教师可以加以关注、引导。根据学生回答补全表格，并让学生结合表格中的算式，用假设法进行解释。预设：我发现当铅笔数比笔筒数多1时，就总有一个笔筒里至少放2支铅笔。师：没错，把铅笔放进笔筒里的问题我们会解释了，那么如果我们把铅笔换成苹果，把笔筒换成抽屉，你能得出什么结论？课件出示：6只鸽子飞回5个鸽巢，把8个苹果放进7个抽屉中。通过前面的学习，学生可以轻易说出：总有一个鸽巢中至少飞回2只鸽子，总有一个抽屉中至少放2个苹果。师：像这样的数学问题，我们
9、就叫作“鸽巢问题”或“抽屉问题”。它们里面蕴含的数学原理，我们就叫作“鸽巢原理”或者“抽屉原理”。教师补充：“鸽巢问题”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”。在我们刚刚解决的把铅笔放进笔筒里的问题中，铅笔相当于鸽子，而笔筒相当于鸽巢。当鸽子数比鸽巢数多1时，总有一个鸽巢里至少会有2只鸽子。即鸽子数鸽巢数商1，至少数商1。当然生活中“鸽子”可以是任意需要放进的物体，“鸽巢”可以是任意存放“鸽子”的物体。师：现在我们回过头来看本节课开头的魔术，你能说一说这个魔术的原理吗？什么相当于鸽子？什么相当于鸽巢？用算式怎么表示呢？预设：把抽出的5张牌看作5只鸽子，把4种花色
10、看作4个鸽巢。用算式表示就是：5411，112，所以第5张牌不管抽出的是什么花色，都至少会有2张牌是同一种花色。3巩固练习。师：下面咱们再看一组练习。出示【学习任务三】。学生独立完成后同桌讨论。部分学生可以独立完成，得到正确答案，但还有一部分学生可能不太熟练，可以引导学生说一说，或实际操作操作。集体汇报交流。预设1：第1题，因为5312，112，所以总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。我是这样想的，假设每个鸽笼里飞进1只鸽子，还剩下2只鸽子，因为要求总有一个鸽笼里至少有几只鸽子，所以我想的是剩下的2只鸽子，也尽量平均分，所以让剩下的2只鸽子分别飞进任意一个鸽笼里，有112（只）。师：非常正确，大家
11、是这样做的吗？预设2：我写的是5312，123，现在我发现这样做不对，因为没有把剩下的2只鸽子也平均分，而是直接放进了1个鸽笼里，这样有一个鸽笼里是3只，不符合“至少”的情况。预设3：我写的是5312，213，我的方法错在没考虑情境，直接套用公式，但是把公式套错了，用的是余数加1，现在明白了应该是商加1。师：你能解释一下为什么是商加1，而不是余数加1吗？预设：商指的是先平均分配的结果，余数是剩下的，只要有余数，余数就要再尽量平均分，所以鸽巢里的结果就至少要比商多1，而与余数无关。师：非常好，再看第2题。预设：10614，112，所以总有一个杯中至少有2根吸管。我是这样想的，假设每个杯中放1根吸
12、管，就会剩下4根吸管，再把剩下的这4根吸管采用尽量平均分的原则，每根吸管放进1个杯中，这样就会有4个杯中有2根吸管。师：想一想，如果把多于n个物体任意放进n个“鸽巢”中（n是非0自然数），结果会怎么样？预设：总有一个“鸽巢”中至少放进2个物体。（二） 教学鸽巢问题（二）师：下面咱们继续变化数据探究。课件出示例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？师：你能用假设法快速找到答案吗？试一试。学生有了前面用假设法处理问题的经验，此题相对来说比较简单，学生一般能够独立写出答案。预设：我是这样想的，7321，也就是说先在每个抽屉放2本书，剩下1本书，任意放进一个抽屉，
13、213，所以总有一个抽屉里至少放进3本书。师：你的方法还是先尽量平均分，再处理剩下的，思路非常好。如果有8本书呢？想一想，做一做。预设：8322，213，总有一个抽屉里至少放进3本书。教师质疑：你能说说为什么也是21吗？预设：8322，也就是先在每个抽屉放2本书，剩下2本书，分别放进任意两个抽屉，所以每个抽屉还是3本书。师：那如果有10本书呢？预设：10331，也就是先在每个抽屉放3本书，剩下1本书，放进任意一个抽屉，314，所以总有一个抽屉里至少放进4本书。师：观察上面的式子，你发现了什么规律？预设：至少数平均数1。师：非常好，你能用鸽巢问题的模型总结一下这种题的解题思路吗？引导学生表达：先把鸽子平均分配到每个鸽巢中，用鸽子数鸽巢数，商就是现在每个鸽巢中的鸽子数；再把剩下的尽量平均分到每个鸽巢中，就会出现有1个或几个鸽巢中增加1只鸽子的情况，所以说总有一个鸽巢里会有“商1”只鸽子。总结：解决鸽巢问题的关键是什么？找准物体是什么，抽屉是什么。怎么计算？物体数抽屉数平均数余数，至少数平均数1。三、课堂小结师：通过本节课的学习，你有什么收获？（引导学生对本节课学习的内容，以及用到的思维及方法进行总结）四、课后任务完成教科书第68页做一做第12题，第70页练习十三第13题。板书设计鸽巢问题教学反思_8
