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1、1.2 条件期望和矩母函数条件期望和矩母函数对于离散型随机变量X和Y.一般,对所有使PY=y0的y,定义给定Y=y时X取x的条件概率为而给定Y=y, X的条件分布函数为给定Y=y, X的条件期望为对于一般的连续型随机变量Y.由于PY=y往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为:若对任何包含y的小区间y总有P(Yy)=0,则 定义为P(XA|Y=y)=0;若P(Yy)0,则定义为这里y0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0.除了个别例外的y值这一极限总是存在的.而给定Y=y, X的条件分布函数条件分布函数为如果存在一非负函数f(x|y)使得对任何集合A恒有 且则f(x|y)称为在给定Y=y时
2、X的条件密度条件密度.显然有条件期望通常统一记为注注: E(X|Y=y) 表示一个数值;E(X|Y) 表示随机变量.例例1.8 袋子中有3个相同的球,分别标号为1, 2, 3. 现从中随机地取出一个球, 记下标号(假设标号为k)后放回, 同时从袋子中去掉标号为1, k-1的球. 然后再随机地取一球记下标号. 分别用X和Y表示两次取球记下的标号,则E(Y|X)2 2.5 3Pr1/3 1/3 1/3例例1.9 扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验. 记S为n次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第T次试验.求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布,也即P(T=k|S=
3、1).解解: 所以命题命题1.1 若X与Y独立,则 E(X|Y=y)=E(X); 条件期望的平滑性 对随机变量X, Y的函数(X,Y), 有证明证明: 假设(X,Y)为离散型随机变量,则 矩母函数及生成函数矩母函数及生成函数定义定义1.5 随机变量X的矩母函数矩母函数定义为随机变量exptX的期望,记作g(t), 即: 矩母函数的性质矩母函数的性质: 当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布; EXn = g(n)(0), n 1; 对于相互独立的随机变量X与Y, 则gX+Y(t) = gX(t)gY(t).注注: 由于随机变量的矩母函数不一定存在, 因此现在常用特征函数EeitX代替矩母函数.
4、 关于特征函数内容以及性质1, 可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材:1 丁万鼎等, 概率论与数理统计, 上海: 上海科学 技术出版社, 1988. 常见分布的矩母函数常见分布的矩母函数:分布名称分布名称概率分布或密度概率分布或密度矩母函数矩母函数二项分布 B(n,p)Poisson分布 ()正态分布 N(,2)指数分布 P()均匀分布 Ua,b解解: 先算条件期望例例1.10 (随机和的矩母函数) 记X1, X2, 为一串独立同分布的随机变量, N为取值为非负整数的随机变量, 且N与X序列相互独立. 求Y的矩母函数.于是有进一步,因此, 注意: g(0)=1定义定义1.5 若X为离散随机变量, 则期望E(sX)为其概率生成函数, 记作X(s), 即: 生成函数的性质生成函数的性质: 生成函数与离散随机变量是一一对应的; 对于相互独立的随机变量X与Y, 则X+Y(s) = X(s)Y(s).性质性质: 若离散随机变量分布为 则证明证明: 事实上,课外作业：课外作业：Page 13 Ex13，14，15，17
