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1、一.选择题21.东城第5题)“x 1”是“A充分而不必要条件log1x 0”的B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B2f (x) 2mx 2(4m)x1，g(x) mx，假设对于任意实数x，2.东城第8题已知函数f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A(0,2)B(0,8)C(2,8)D(,0)答案 B 3.西城第5题假设函数f (x)的定义域为R R，则“xR R，f (x 1) f (x)”是“函数f (x)为增函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B 4.顺义第5题.假设4 4 1，则x y的
2、取值范围是xyC.1,)答案 DA.0,1B.1,0 5.顺义第8题.已知f (x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f (x 1) f (x)，且当x0,1)时，给出以下命题f (2014) f (2015) 0；函数f (x)在定义域上是周期为2的函数；直线y x与函数f (x)的图象有2个交点；函数f (x)的值域为(1,1).其中正确的选项是f (x) log2(x1)A.，B.，C.，D.，答案 C2f (x) ax bx，则“f (2) 0”是“函数f (x)在（ 1， ） 6.房山第5题. 已知二次函数上为增函数”的( )A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必
3、要条件答案 B 7.房山第8题 一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时， 交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),假设汽车在时刻t的速度v(t) t米/秒，那么此人B不能追上汽车,但其间最近距离为16米A可在7秒内追上汽车C不能追上汽车,但其间最近距离为14米D不能追上汽车,但其间最近距离为7米答案 Dx 12cos,8.海淀第5题圆y 12sin为参数被直线y 0截得的劣弧长为2BA2C2 2D4答案 A 9.海淀第y8题某地区在六年内第x年的生y产总值单位：亿元与x之间的关系如下图，则以下四个时段中，生产总值的年平均增长率
4、最高的是O123456xA第一年到第三年B第二年到第四年C第三年到第五年D第四年到第六年答案 A 10.朝阳第4题.“xR,x2ax10成立”是“a 2”的A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A1211 log2(x11) log3x2x1,x2,x3 11.朝阳第6题.设均为实数，且3，3，xx1 log2x33则x3A.x1 x3 x2 B.x3 x2 x1 C.x3 x1 x2 D.x2 x1 x3答案 A(x , y ) x 12.朝阳第8题. 设集合M=0020 y02 20,x0Z Z, y0Z Z，则M中元素的个数为A.61 B.
5、 65 C. 69 D.84答案 C二.填空题1.东城第13题已知函数f (x)是R R上的减函数，且y f (x2)的图象关于点(2,0)成 f (u) f (v1) 0,22f (uv1) 0,u,v中心对称假设满足不等式组则u v的最小值为1答案22.东城第14题已知xR R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数如A( 3) 2，A(1.2) 1假设A(2x+1)3，则x的取值范围是；假设x 0且A(2x A(x) 5，则x的取值范围是15( ,1(1, 答案243.顺义第14题.已知函数f (x) 3sinx cosx( 0), xR.又f (x1) 2, f (x2) 0| x1x2
6、|且的最小值等于.则的值为1答案2 4.房山第14题 已知函数y f (x)是R R上的偶函数，对xR R，都有f (x1) f (x2) 0f (x4) f (x) f (2)成立当x1，x20,2，且x1 x2时，都有x1 x2，给出以下命题： 1f (2) 0； 2直线x 4是函数y f (x)图象的一条对称轴； 3函数y f (x)在4,4上有四个零点； 4_答案 1 2 43x ,x a,f (x) 2x ,x a.假设存在实数b，使得函数g(x) f (x)b有两个 5.海淀第14题设零点，则a的取值范围是 .f2015 f1.其中所有正确命题的序号为答案(,0)三.解答题(1,)
7、1.东城第18题 本小题共13分已知函数f (x) x a ln xx，aR R.假设f (x)在x 1处取得极值，求a的值；假设f (x)在区间(1,2)上单调递增, 求a的取值范围；讨论函数g(x) f (x) x的零点个数.a1x2 x af (x) 12xxx2答案解： 因为，由已知f (x)在x 1处取得极值，所以f (1) 0.解得a 2，经检验a 2时，f (x)在x 1处取得极小值.所以a 2.3分a1x2 x af (x) 12xxx2由知，x 0.因为f (x)在区间(1,2)上单调递增，所以f (x) 0在区间(1,2)上恒成立.2a x x在区间(1,2)上恒成立.即所
8、以a 2.8分因为g(x) f (x) x，g(x) 1所以a1 xx2x，x 0.32g(x) 0a x x x，令得32h(x) x x x，x 0.令2 h (x) 3x 2x 1 (3x 1)(x 1).当x(0,1)时，h (x) 0，h(x)在(0,1)上单调递增，x(1,)时，h (x) 0，h(x)在(1,)上单调递减.所以h(x)max h(1)1.综上：当a 1时，函数g(x)无零点，当a 1或a 0时，函数g(x)有一个零点，当0 a 1时，函数g(x)有两个零点.13分 2.西城第15题 本小题总分值13分f (x) 4cos xsin(x)33设函数，xR R. .x
9、0, 2时，求函数f (x)的值域；当已知函数y f (x)的图象与直线y 1有交点，求相邻两个交点间的最短距离. .13f (x) 4cos x(sin x cos x) 322答案 解： 因为 1分 2sin xcosx 2 3cos2x 3 sin2x 3cos2x 3分2sin(2x)3， 5分=0x2，因为22x33， 6所以3分所以即3sin(2x)123， 3f (x)2512时，f (x)取到最大值2；当x 0时，f (x)取到最小值3，其中当所以函数f (x)的值域为 3,2. 9x 分12sin(2x) 1sin(2x) 332， 10依题意，得，分所以分所以2x52x2k
10、2k3636或， 12x 7kx k(kZ Z)，412或所以函数y f (x)的图象与直线y 1的两个相邻交点间的最短距离为3. 13分 3.西城第18题 本小题总分值13分lnxexf (x) ng(x) n*nN Nxx，x(0,).设，函数，函数当n 1时，写出函数y f (x) 1零点个数，并说明理由；l： y 1的两侧，求n的所有可能假设曲线y f (x)与曲线y g(x)分别位于直线取值.答案证明：结论：函数y f (x)1不存在零点.1分ln x1lnxf (x) x，求导得x2，2分当n 1时，令f (x) 0，解得x e.3f (x) 分当x变化时，f (x)与f (x)的
11、变化如下表所示：xf (x)f (x)(0,e)e0(e,)所以函数f (x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，则当x e时，函数f (x)有最大值分f (e) 1e.41f (e)110e所以函数y f (x)1的最大值为，所以函数y f (x)1不存在零点.5分解：由函数f (x) ln x1nlnx f (x) xn求导，得xn1，1n令f (x) 0，解得x e.当x变化时，f (x)与f (x)的变化如下表所示：xf (x)f (x)分(0,e )1ne01n(e ,)1n7所以函数f (x)在(0,e )上单调递增，在(e ,)上单调递减，则当x e时，函数f (x)有
12、最大值1n1n1nf (e ) 1n1ne；8分exex(xn)g(x) ng(x) n1x(0,)xx由函数，求导，得，9分令g (x) 0，解得xn.当x变化时，g (x)与g(x)的变化如下表所示：xg(x)g(x)(0,n)n0(n,)所以函数g(x)在(0,n)上单调递减，在(n,)上单调递增，eg(n) ( )nn.11则当x n时，函数g(x)有最小值分*因为nN，函数f (x)有最大值f (e ) 1n11ne，exln xy ny nl： y 1y 1的上方，x在直线l：x在直线所以曲线的下方，而曲线e( )n1所以n，12分解得ne.所以n的取值集合为1,2.13分 4.顺
13、义第18题.本小题总分值13分22f (x) a x ax ln x.已知函数I当a 0时，求函数f (x)的单调区间；22g(x) a x f (x)，且函数g(x)在点x 1处的切线为l，直线l/l，且l在II设y轴上的截距为1.求证：无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l的下方.22f (x) a x axlnx答案I解：12a2x2ax 1f (x) 2a xa xx(ax1)(2ax1)(x 0)x2. .2分所以，a 0时，f (x)与f (x)的变化情况如下：1,)f (x)2a因此，函数的单调递增区间为；(单调递减区间位. .6分g(x) a2x2 f (x) ln x
14、axII证明：(0,1).2a1ax所以g (1)1 ag(x) 所以l的斜率为. .7分因为l/l，且l在y轴上的截距为1所以直线l的方程为y (1a)x 1. .8分令h(x) g(x)(1a)x1 ln x x1(x 0)则无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l的下方，等价于h(x) 0. .9分而kl1a(aR,x 0)h(x) 11 x1xx. .10分当x(0,1)时，h (x) 0，当x(1,)时，h (x) 0所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减从而当x 1时，h(x)取得最大值h(1) 2即在(0,)上，h(x)取得最大值h(1) 2. .12
15、分所以h(x) 2 0(aR,x 0)因此，无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l的下方. .13分 5.顺义第20题.本小题总分值13分1(1, )a 3，已知二次函数y f (x)的图象的顶点坐标为且过坐标原点O.数列n的前n项(n,S )(n N )Sn和为n，点在二次函数y f (x)的图象上.I求数列n的通项公式；2bnbn anan1cos(n 1),(n N)T tnTn NnnnII 设， 数列的前项和为， 假设对恒成立，求实数t的取值范围；a ,a ,a ,ank,(1 n1 n2 n3a III在数列n中是否存在这样一些项：n1n2n3 nk,k N)aq(0q5,
16、qN )为公比的等1，这些项都能够构成以为首项，比数列a ank,kN？假设存在，写出nk关于k的表达式；假设不存在，说明理由.11f (x) (x1)2.33答案解I由题意可知所以1112Sn(n1)2n2n(nN).3333.1分. .12122n1an SnSn1n2n (n1)2(n1).n 233333当时，当n 1时a1 S11适合上式所以，数列an的通项公式为an分2n1(nN)3. .4bn anan1cos(n 1),(n N)II因为所以Tnb1b2bn (1)n1anan1 a1a2 a2a3 a3a4 a4a52a 由I可知，数列n是以1为首项，公差为3的等差数列.n2
17、m,mN 当时，Tn T2m a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 (1)2m1a2ma2m1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2m(a2m1a2m1)44a a2m (a2a4a2m) 2m33211 (8m212m) (2n26n).99 当n2m1,mN时，Tn T2m1 T2m(1)2m1a2ma2m111 (8m212m)(16m216m3)9911(8m24m3)(2n26n7).99 12(2n 6n),n 9Tn1(2n26n7),n9所以. .7分2T tnn要使对n N恒成立，1(2n26n) tn2(n只要使9为正偶数恒成立.16(2) tn即使9对n为正偶数恒成立，
18、故实数t的取值范围是5(, .9. .9分III由an2n13知，数列an中每一项都不可能是偶数.ka ,kNa aqn 如存在以1为首项， 公比为2或4的数列k， 此时n中每一项除第一项外a 都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列n.ka 当q 1时，显然不存在这样的数列nk.a ,kNa1,a当q 3时，假设存在以1为首项，公比为3的数列nk，则n12nk13k1k1n11,ank 3,nk.323k1n (k N ).kank2所以存在满足条件的数列，且. .13分5.房山第15题 本小题共13分f (x) sin(2x)2cos2x1(xR R )6已知函数.求f (x)的单
19、调递增区间； 在ABC中， 三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c， 已知外接圆的半径为3，求a的值.答案解： fA12， 且ABCf (x) sin(2x 6) 2cos2x 131sin 2x cos2x cos2x222分分 2k 2x 2k(k k x k(k626由2Z Z)得，3Z Z) 5分 k, k(k6f (x)的单调递增区间是3Z Z)7分f (A) sin(2A2AA31sin2x cos2xsin(2x)2263=6) 1 2A 22，0 A，6666于是分56310ABC外接圆的半径为3a 2Rsin A由正弦定理，得 6.房山第18题 本小题共13分a 2Rsin
20、 A 2 3332，13分1f (x) ax2 xln(1 x)2已知，其中a 0()假设函数f (x)在点(3, f (3)处切线斜率为0，求a的值；()求f (x)的单调区间；0,上的最大值是0，求a的取值范围()假设f (x)在答案解：()由题意得f(x)，x(1，)，由f(3)0a3分()令f(x)0x10，x21，当0a1时，x11时，1x20f(x)与f(x)的变化情况如下表xf(x)f(x)(1，1)10(1,0)00(0，)f(1)f(0)f(x)的单调递增区间是(1,0)，f(x)的单调递减区间是(1，1)和(0，)综上，当0a1，f(x)的单调递增区间是(1,0)f(x)的
21、单调递减区间是(1，1)，(0，)当a1时，f(x)的单调递减区间为(1，)9分()由()可知当0af(0)0，所以0a1不合题意，当a1时，f(x)在(0，)上单调递减，由f(x)f(0)可得f(x)在0，)上的最大值为f(0)0，符合题意，f(x)在0，)上的最大值为0时，a的取值范围是a113分7.海淀第15题 本小题总分值13分f (x) sin2(x)4.已知函数求f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；f (x)求3的单调递减区间.答案解： 因为1cos2(x)4f (x) 22分1sin2x2.2T 2所以.4分kx (kZ Z)2x k(kZ Z)242令，得：.6分kx
22、(kZ Z)24所以f (x)的最小正周期为，对称轴的方程为.sin2( x)13f ( x) 23121 sin(2x)232.9分22k 2x 2k(kZ Z)232令，7k x k(kZ Z)1212得：.7f ( x)k,k(kZ Z)12123所以的单调递减区间为.13分 8.海淀第18题 本小题总分值13分1f (x) aln x(a 0)x已知函数.求函数f (x)的单调区间；假设x f (x) 0b,c其中b c ，求a的取值范围，并说明b,c (0,1).答案解： f (x) a1ax122(x 0)xxx.2分当a 0时，f (x) 0，则函数f (x)的单调递减区间是(0
23、,).3分当a 0时，令f (x) 0，得x 1a.当x变化时，f (x),f (x)的变化情况如下表xf (x)f (x)1(0, )a1a0极小值1( ,)a分由知：11( ,)(0, )a，单调递增区间是a所以f (x)的单调递减区间是. 5当a 0时，函数f (x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数f (x)至多存在一个零点，不符合题意.6分11( ,)(0, )a内是减函数，在a当a 0时，因为f (x)在内是增函数，所以 要使11alna 0f ( ) 0x f (x) 0b,ca，必须a，即.所以a e.7分1122) aln()a 2alnaa a(a2ln a)22a当a
24、e时，a.2x2g(x) 1(x e)g(x) x2ln x(x e)xx令，则.当x e时，g(x) 0，所以，g(x)在e,)上是增函数.f (所以 当a e时，g(a) a2ln a g(e) e2 0.所以分f (1) 0a2.91111f ( ) 02aaa因为，f (1)1 0，111(2,)( ,1)所以f (x)在aa内存在一个零点，不妨记为b，在a内存在一个零点，不妨记为c.11分11( ,)(0, )a内是减函数，在a因为f (x)在内是增函数，x f (x) 0b,c所以分.综上所述，a的取值范围是(e,+).12111,)c( ,1)2aaa因为，所以b,c(0,1).
25、13分b( 9.朝阳第15题 本小题总分值13分2已知函数f (x) cos x 3sin xcosx，xR R.求f(x)的最小正周期和单调递减区间；设x m(mR R)是函数y f (x)图象的对称轴，求sin 4m的值2f (x) cos x 3sin xcosx答案解： 由已知，函数31sin2x(1cos2x)22+1sin(2x)62.函数f(x)的最小正周期为T .当2k 32 2x 2k k+ x k+262时kZ Z63时，函数f(x)为减函数.即函，即2k +,k +63f(x)，kZ Z.9分数的单调减区间为12m=k m k62kZ Z26，由x m是函数y f (x)
26、图象的对称轴，则，即kZ Z.则4m 2k3sin4m 2.13分3.则 10.朝阳第18题 本小题总分值13分x2f (x) alnx(a1)x2已知函数，aR R 当a 1时，求函数f(x)的最小值； 当a 1时，讨论函数f(x)的零点个数.x x 0.答案解： 函数f(x)的定义域为x2f (x) lnx a 12.当时，1x21(x 1)(x 1)f (x) x xxx.(x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 0x0 0xx 1xx由解得；由0解得0 x 1.所以f(x)在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)单调递增.1f (1)2.5分所以x 1时,函数f(x)取得最小值1当a
27、 0时，x(0,1)时,f (x) 0,f(x)为减函数;x(1,)时，f (x) 0，f(x)为增函数.12.f (x) (x 1)(x a)x,x 0.所以f(x)在x 1时取得最小值x2f (x) xa 02当时，由于x 0，令f (x)0，x一个零点；1a 2时，即f (1) 0时，f(x)有一个零点；当1a 2时，即f (1) 0时，f(x)无零点.当1 a 0当2时，即f (1) 0时，f (1) a 2，则f(x)在(0,)上有由于x 0从右侧趋近0时，f (x)；x 时，f (x)，所以f(x)有两个零点.(2)当0 a 1时，x(0,a)时,f (x) 0,f(x)为增函数;
28、x(a,1)时，f (x) 0，f(x)为减函数；x(1,)时，f (x) 0，f(x)为增函数.所以f(x)在x a处取极大值，f(x)在x 1处取极小值.11f (a) alna a2(a 1)a alnaa2a22.当0 a 1时，f (a) 0,即在x(0,1)时，f (x)0.而f(x)在x(1,)时为增函数，且x 时，f (x)，所以此时f(x)有一个零点.(x1)2f (x) 00,a 1x(3)当时，在上恒成立，所以f(x)为增函数.且x 0从右侧趋近0时，f (x)；x 时，f (x).所以f(x)有一个零点.综上所述，0 a 1或f(x)有两个零点.a 111a a 02时f(x)有一个零点；2时，f(x)无零点；2.13分
