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1、1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用引入引入1 1 求平面图形的面积求平面图形的面积: :A AA A引入引入2 2 求运动物体的位移求运动物体的位移 我们已经看到，定积分可以用来计算平面我们已经看到，定积分可以用来计算平面图形的面积，求运动物体的位移，事实上，图形的面积，求运动物体的位移，事实上，定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习定积分的简单应用吧！定积分的简单应用吧！1.1.理解定理解定积分的几何意分的几何意义以及微以及微积分的基本定理分的基本定理. .2.2.初步掌握利用定初步掌握利用定积分求曲分求曲边梯形的几种常梯形的
2、几种常见题型型及方法及方法. . （重点、（重点、难点）点）类型型1 1：求由一条曲求由一条曲线y=y=f(xf(x) )和直和直线x=x=a,xa,x= =b(ab(ab)b)及及x x轴所所围成平面成平面图形的面形的面积S S(2)xyoabc(3)(1)xyo探究点探究点1 1 定定积分在几何中的分在几何中的应用用A2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）曲边梯形（三条直边，一条曲边）abXA0y曲边形曲边形面面积 A=A1-A2ab1曲边形面积的求解思路曲边形面积的求解思路类型型2 2：由两条曲由两条曲线y=y=f(xf(x) )和和y=y=g(xg(x) )，直，直线x=x=a,xa,x
3、=b=b(ab)(ab)所所围成平面成平面图形的面形的面积S Syxoba(2)(1)解解:作出作出y2=x,y=x2的图象如图所示的图象如图所示:得交点横坐标为得交点横坐标为x=0x=0及及x=1.x=1.因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为oxyABCDO【总结提升总结提升】求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围( (积分的上限积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)写出平面图形的定积分表达式；写出平
4、面图形的定积分表达式；(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积运用微积分基本定理计算定积分，求出面积. .直线直线y=x-4y=x-4与与x x轴交点为轴交点为(4,0).(4,0).因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为解解: :作出直线作出直线y=x-4,y=x-4,曲线曲线 的图象如图所示，所求面积为图的图象如图所示，所求面积为图中阴影部分面积中阴影部分面积. .S1S2将所求平面图形的面积分割成左右两个部分将所求平面图形的面积分割成左右两个部分. .S1S2本题还有其他解法吗？本题还有其他解法吗？另解另解1 1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分将所求平面图形的面积
5、分割成左右两个部分. .S1S2还需要把函数还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数，函数 变形为变形为另解另解2 2：将所求平面图形的面积看成位于将所求平面图形的面积看成位于y y轴右边轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y y为积分变量为积分变量例例3 求两抛物求两抛物线y8x2，yx2所所围成的成的图形的面形的面积解解析析 作作出出曲曲线y8x2，yx2的的草草图，所求面所求面积为图中阴影部分的面中阴影部分的面积解方程解方程组，(1)求不分割求不分割图形面形面积的步的步骤为：画：画图形；形；求求交交点点(
6、以以确确定定积分分上上下下限限)；用用定定积分分表表示再示再计算算(2)一般原一般原则上函数下函数作被上函数下函数作被积函数函数【总结提升总结提升】C4.求抛物求抛物线y=x2-1，直，直线x=2，y=0所所围成的成的图形的形的面面积.yx解：解：如图，由如图，由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所示：所求面积如图阴影所示：所以：所以：5.如如图，求曲，求曲线yx2与直与直线y2x所所围图形的面形的面积S.1.思想方法思想方法:数形数形结合及合及转化化.2.求两曲求两曲线围成的平面成的平面图形的面形的面积的一般步的一般步骤:(1)作出示意作出示意图;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)求交点坐求交点坐标，确定，确定图形范形范围；(积分的上限积分的上限,下限下限)(3)写出平面写出平面图形的定形的定积分表达式；分表达式；(4)运用微运用微积分基本定理分基本定理计算定算定积分，求出面分，求出面积. 不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之不若行之，学至于行而止矣. 荀况
