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1、周期函数的傅里叶级数傅里叶级数展开：2021/6/162021/6/161 1周期函数的傅里叶级数傅里叶级数展开：l l奇函数奇函数奇函数奇函数的傅里叶展开：只含的傅里叶展开：只含正弦项正弦项正弦项正弦项l l偶函数偶函数偶函数偶函数的傅里叶展开：只含的傅里叶展开：只含余弦项余弦项余弦项余弦项l l定义在定义在有限有限有限有限区间区间(0,(0,l l) )：延拓延拓延拓延拓成周期函数成周期函数2021/6/162021/6/162 2必备的必备的高等数学高等数学知识：知识：l l微积分：与微积分：与微积分：与微积分：与三角函数三角函数三角函数三角函数有关的积分有关的积分有关的积分有关的积分
2、三角函数自身：三角函数自身：三角函数自身：三角函数自身： 三角函数之积：三角函数之积：三角函数之积：三角函数之积：积化和差积化和差积化和差积化和差2021/6/162021/6/163 3必备的必备的高等数学高等数学知识：知识：l l微积分：与微积分：与微积分：与微积分：与三角函数三角函数三角函数三角函数有关的积分有关的积分有关的积分有关的积分 多项式与三角函数之积：多项式与三角函数之积：多项式与三角函数之积：多项式与三角函数之积：分部积分分部积分分部积分分部积分2021/6/162021/6/164 4周期函数的傅里叶级数傅里叶级数展开：l l例：例：P.92, 5.(1)P.92, 5.(
3、1)题题 有限区间有限区间 需要延拓需要延拓 奇的周期函数：奇的周期函数：T T=2=2 应展开为傅里叶应展开为傅里叶正弦正弦正弦正弦级数：级数：2021/6/162021/6/165 5周期函数的傅里叶级数傅里叶级数展开：l l续上页：续上页： 故：故： 2021/6/162021/6/166 6数学物理定解问题的“翻译翻译”：l l泛定方程的导出：泛定方程的导出： 确定研究物理量确定研究物理量 微元分析微元分析 偏微分方程偏微分方程l l常见的三类泛定方程常见的三类泛定方程常见的三类泛定方程常见的三类泛定方程： 双曲型双曲型 抛物型抛物型 椭圆型椭圆型l l“ “二阶二阶二阶二阶 线性线性
4、线性线性 偏微分方程偏微分方程” ”？“ “齐次齐次齐次齐次 方程方程” ”？2021/6/162021/6/167 7数学物理定解问题的“翻译翻译”：l l常见的三类边界条件常见的三类边界条件常见的三类边界条件常见的三类边界条件：l l“ “齐次齐次齐次齐次 边界条件边界条件” ”？l l初始条件：初始条件：2021/6/162021/6/168 8数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】弦的振动【例】弦的振动【例】弦的振动【例】弦的振动 1. 1. P179P179，第，第1 1题：无限长、自由振动题：无限长、自由振动 2. P201 2. P201，第，第1 1题：有限长、自由振动题：有限
5、长、自由振动2021/6/162021/6/169 92021/6/162021/6/161010数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】弦的振动【例】弦的振动【例】弦的振动【例】弦的振动 3. 3. 振动的几种常见边界条件：振动的几种常见边界条件：2021/6/162021/6/161111数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动 1. 1. P161P161，第，第2 2题：端点受力，第二类边界条件题：端点受力，第二类边界条件 2. 2. P179P179，第，第6 6题：半无限长、延拓题：半无限长、延拓2021/6/162021/6/
6、161212数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动 3. P201 3. P201，第，第4 4题：初始长度收缩题：初始长度收缩2021/6/162021/6/161313数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动【例】杆的纵振动 4. 4. 边界条件边界条件 or or 初始条件初始条件：2021/6/162021/6/161414数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】热传导【例】热传导【例】热传导【例】热传导 1. P161 1. P161，第，第3 3题：端点有热流，第二类边界条件题：端点有热
7、流，第二类边界条件 2. P201 2. P201，第，第2 2题：输运方程、一个初始条件题：输运方程、一个初始条件2021/6/162021/6/161515数学物理定解问题数学物理定解问题数学物理定解问题数学物理定解问题的的“翻译翻译翻译翻译”：P P15152 2，第，第5 5题：题：热传导热传导方程、方程、非齐次非齐次热传导热传导热传导热传导，温度，温度，温度，温度u(x,t)u(x,t)，热量守恒定律、热传导定律，热量守恒定律、热传导定律，热量守恒定律、热传导定律，热量守恒定律、热传导定律x x+dxS2021/6/162021/6/161616数学物理定解问题的“翻译翻译”：【例】
8、稳定分布：拉普拉斯方程【例】稳定分布：拉普拉斯方程【例】稳定分布：拉普拉斯方程【例】稳定分布：拉普拉斯方程 1. 1. P202P202，第，第1717题：圆域，极坐标题：圆域，极坐标 2. 2. 换成圆环？换成球壳？换成圆环？换成球壳？ 球坐标球坐标2021/6/162021/6/161717数学物理定解问题的数学物理定解问题的“翻译翻译”：l l学会学会学会学会“ “翻译翻译翻译翻译” ”： 定解问题定解问题定解问题定解问题 = = 泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程 + + 定解条件（边界、初始）定解条件（边界、初始）定解条件（边界、初始）定解条件（边界、初始） 物理分析：物理分析：物理分
9、析：物理分析：微元分析、受力平衡、守恒定律微元分析、受力平衡、守恒定律微元分析、受力平衡、守恒定律微元分析、受力平衡、守恒定律等等等等l l常见的常见的常见的常见的三类泛定方程三类泛定方程三类泛定方程三类泛定方程： 波动方程、输运方程、稳定场方程波动方程、输运方程、稳定场方程波动方程、输运方程、稳定场方程波动方程、输运方程、稳定场方程 特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次l l常见的常见的常见的常见的三类边界条件三类边界条件三类边界条件三类边界条件： 第一类、第二类、第三类第一类
10、、第二类、第三类第一类、第二类、第三类第一类、第二类、第三类 特征判断：是否齐次特征判断：是否齐次特征判断：是否齐次特征判断：是否齐次l l方程所需的方程所需的方程所需的方程所需的初始条件初始条件初始条件初始条件： 波动（波动（波动（波动（2 2）、输运（）、输运（）、输运（）、输运（1 1）、稳定场（）、稳定场（）、稳定场（）、稳定场（0 0）l l非直角坐标：非直角坐标：非直角坐标：非直角坐标： 极坐标、球坐标极坐标、球坐标极坐标、球坐标极坐标、球坐标 算符算符算符算符的表示的表示的表示的表示2021/6/162021/6/161818数学物理定解问题的数学物理定解问题的求解方法求解方法：
11、l l行波法（行波法（行波法（行波法（达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔公式）：公式）：公式）：公式）： 物理意义物理意义物理意义物理意义：分别沿正、反方向传播的行波：分别沿正、反方向传播的行波：分别沿正、反方向传播的行波：分别沿正、反方向传播的行波 适用：无界空间一维齐次波动方程适用：无界空间一维齐次波动方程适用：无界空间一维齐次波动方程适用：无界空间一维齐次波动方程 半无界情形：半无界情形：半无界情形：半无界情形：延拓延拓延拓延拓（满足初始条件）（满足初始条件）（满足初始条件）（满足初始条件）l l分离变数法：分离变数法：分离变数法：分离变数法： 基本思路：分解为几个常微分方程；基本思路：分
12、解为几个常微分方程；基本思路：分解为几个常微分方程；基本思路：分解为几个常微分方程；本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题 分两种情况：分两种情况：分两种情况：分两种情况：1. 1.本征解是本征解是本征解是本征解是三角函数三角函数三角函数三角函数的情形：的情形：的情形：的情形：直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标 主要步骤主要步骤主要步骤主要步骤：分离变数：分离变数：分离变数：分离变数 本征解本征解本征解本征解 叠加解叠加解叠加解叠加解 定系数定系数定系数定系数 非齐次问题的解决思路：非齐次问题的解决思路：非齐次问题的解决思路：非齐次问题的解决思路：齐次化齐次化齐
13、次化齐次化（特解、叠加）（特解、叠加）（特解、叠加）（特解、叠加） 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数展开（系数公式、常用积分）展开（系数公式、常用积分）展开（系数公式、常用积分）展开（系数公式、常用积分）2021/6/162021/6/161919必备的必备的高等数学高等数学知识：知识：l l常微分方程：常微分方程：常微分方程：常微分方程： 齐次方程：一元、二元；齐次方程：一元、二元；齐次方程：一元、二元；齐次方程：一元、二元；通解通解通解通解 非齐次方程：非齐次方程：非齐次方程：非齐次方程：特解特解特解特解 + + 通解通解通解通解2021/6/162021/6/162020达朗贝尔
14、达朗贝尔公式、行波法 ：l l一维齐次波动方程的一维齐次波动方程的通解通解通解通解：l l无界空间一维波动方程的无界空间一维波动方程的达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔公式：公式：l l物理意义物理意义物理意义物理意义：l l用途：解用途：解某些某些某些某些数理方程（行波法）数理方程（行波法） 2021/6/162021/6/162121达朗贝尔达朗贝尔公式、行波法 ：【例】【例】【例】【例】 1. 1. P179P179，第，第1 1题：无限长题：无限长 直接代入公式直接代入公式 2. 2. P179P179，第，第6 6题：半无限长题：半无限长 延拓延拓2021/6/162021/6/162
15、2222021/6/162021/6/1623232021/6/162021/6/162424分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件 1. P201 1. P201，第，第1 1题：波动方程题：波动方程2021/6/162021/6/1625252021/6/162021/6/1626262021/6/162021/6/162727数学物理方法数学物理方法分分离离变变量量法法流流程程图图初始条件边界条件泛定方程泛定方程定解问题定解问题2021/6/1628分离变数法分离变数法（傅里叶
16、级数法）：l l基本思路基本思路： 把偏微分方程分解为几个常微分方程来求解把偏微分方程分解为几个常微分方程来求解 其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题l l主要步骤主要步骤主要步骤主要步骤： 将未知函数写成不同变数函数的直积形式将未知函数写成不同变数函数的直积形式 代入泛定方程和齐次边界条件代入泛定方程和齐次边界条件 分离变数分离变数 求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题 本征值、本征函数本征值、本征函数本征值、本征函数本征值、本征函数 所求解可写成本征解的叠加形式所求解可写成本征解的叠加形式 根据初始条件确定叠加系数
17、根据初始条件确定叠加系数 傅里叶级数展开傅里叶级数展开傅里叶级数展开傅里叶级数展开l l适用于多种定解问题适用于多种定解问题 2021/6/162021/6/162929分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件 2. P201 2. P201，第，第2 2题：输运方程题：输运方程2021/6/162021/6/1630302021/6/162021/6/163131分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件【例】齐次方程、齐次边界条件
18、【例】齐次方程、齐次边界条件 3. P201 3. P201，第，第1111题：稳定场方程（拉普拉斯方程）题：稳定场方程（拉普拉斯方程）2021/6/162021/6/1632322021/6/162021/6/1633332021/6/162021/6/163434分离变数法分离变数法要求很熟练地要求很熟练地求解求解下列四个下列四个本征本征值问题值问题，能，能直接写出本征值和本征函数直接写出本征值和本征函数2021/6/162021/6/1635352021/6/162021/6/163636分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】非齐次波动方程、输运方程【例】非齐次波动方程、输运方程【
19、例】非齐次波动方程、输运方程【例】非齐次波动方程、输运方程 1. P215 1. P215，第，第4 4题：两种方法题：两种方法 方法一：傅里叶级数法方法一：傅里叶级数法方法一：傅里叶级数法方法一：傅里叶级数法2021/6/162021/6/1637372021/6/162021/6/163838分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】非齐次波动方程、输运方程【例】非齐次波动方程、输运方程【例】非齐次波动方程、输运方程【例】非齐次波动方程、输运方程 1. P215 1. P215，第，第4 4题：两种方法题：两种方法 方法二：冲量定理法方法二：冲量定理法2021/6/162021/6/16
20、3939l l两种方法应得到相同结果！（请自行验算）两种方法应得到相同结果！（请自行验算） 2. 2. 换成整体受谐变力换成整体受谐变力 f f(x,(x,t t) )= = A Asinsin t t？ （定解条件不变，（定解条件不变，请自行练习请自行练习）2021/6/162021/6/164040分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】非齐次稳定场方程（泊松方程）【例】非齐次稳定场方程（泊松方程）【例】非齐次稳定场方程（泊松方程）【例】非齐次稳定场方程（泊松方程） 1. P223 1. P223，第，第1 1题：题：找特解找特解找特解找特解 求解齐次方程求解齐次方程求解齐次方程求解齐
21、次方程2021/6/162021/6/1641412021/6/162021/6/1642422021/6/162021/6/164343分离变数法分离变数法（傅里叶级数法）：【例】非齐次边界条件【例】非齐次边界条件【例】非齐次边界条件【例】非齐次边界条件 1. P219 1. P219，第，第1 1题：题：找特解找特解找特解找特解 齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件2021/6/162021/6/164444l l求解求解 w w 与与P201P201第第2 2题完全相同！（请补充完整）题完全相同！（请补充完整）2021/6/162021/6/164545 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
