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1、第七章第七章第七章第七章 微分方程微分方程微分方程微分方程 1 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念1详细课资例例 一曲线通过点一曲线通过点(1, 2)，且，且曲线上任意点切曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的线的斜率均等于切点横坐标的2倍倍 ，求这曲线求这曲线的方程。的方程。例例 列车在平直线路上以列车在平直线路上以 20m / /s 的速度行驶，的速度行驶，制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度 0.4m / /s2 。问开始制。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？多远？2详细课资微分方程的
2、定义微分方程的定义定义定义 含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分、偏导数或微分、偏导数)的函数的函数方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分常微分方程方程，未知函数是多元函数叫做，未知函数是多元函数叫做偏微分方程偏微分方程；其中出；其中出现的未知函数的导数现的未知函数的导数(或微分、偏导数或微分、偏导数)的最高阶数叫的最高阶数叫做该做该微分方程的阶微分方程的阶。 n阶微分方程的一般形式：阶微分方程的一般形式：3详细课资(2) n阶阶微分方程的含有微分方程的含有n个独立的个独立的任意常数的解称为任意常数的解称为它的它的通解通解；通解中确定了任
3、意常数的解称为；通解中确定了任意常数的解称为特解特解。微分方程的解微分方程的解定义定义 (1)对于微分方程对于微分方程设函数设函数 y (x)在区间在区间I 上有上有n阶连续导数，阶连续导数，如果如果在区间在区间I 上满足上满足则称则称y (x)是方程在区间是方程在区间I 上的一个上的一个解解，其图形称，其图形称为为积分曲线积分曲线。4详细课资说明：说明：(1) n阶微分阶微分方程的解中最多只能方程的解中最多只能含有含有n个独立的个独立的任意任意常数常数。(2) 微分微分方程的通解不一定包方程的通解不一定包含它含它的全部解的全部解。如方程。如方程不包含特解不包含特解 y 0。(3) y(x0)
4、= y0， y (x0)= y1 ， 称为称为初始条件初始条件(或初值或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。5详细课资微分方程解决实际问题的步骤微分方程解决实际问题的步骤(1)分析问题，建立分析问题，建立微分方程并提出定解条件。微分方程并提出定解条件。(2)求求微分方程的通解。微分方程的通解。(3)由由定解条件定出任意常数，即求出特解。定解条件定出任意常数，即求出特解。(4)讨论所得解的性质和意义。讨论所得解的性质和意义。6详细课资例例 证明证明 x C1coskt C2sinkt 是方程是方程的通解的通解(k 0),并求满足初始条件并求满足
5、初始条件的特解的特解7详细课资求曲线所满足的微分方程 .例例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 8详细课资作业作业(P298)：3(2)，5(2)，6。9详细课资 2 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程10详细课资 一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：F(x, y, y) 0, 或或 y f(x, y),或写成对称或写成对称形式：形式： P(x, y)dx Q(x, y)dy。 11
6、详细课资 一个一阶微分方程称为一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程，如果能把它写成形式如果能把它写成形式 g(y)dy f(x)dx。若若G(y)、F(x)分别是分别是g(y)、 f(x)的原函数，得的原函数，得12详细课资例例 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。例例 解方程解方程13详细课资例例 已知铀的衰变速度与含量已知铀的衰变速度与含量M成正比成正比(比例系数比例系数 )。若若t 0时铀的含量为时铀的含量为M0，求时刻，求时刻t 时铀的含量时铀的含量M(t)。解解 由题设条件得微分方程由题设条件得微分方程由条件由条件 M(0) M0 得得 C M0，所以，所以
7、tMM0铀的衰变规律铀的衰变规律14详细课资例例. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为15详细课资练习16详细课资(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作业17详细课资 3 3 齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程18详细课资在一阶微分方程在一阶微分方程 y f(x, y)中，中，如果如果 f(x, y)可以化为可以化为则该方程称为则该方程称为齐次方程齐次方程。如何求解？如何求解？19详细课资例例 解方程解方程例例. 解微分方程例例. 解微分方程20详细课资作业P309：1(1)(6)，2(3),3；21详细
8、课资 4 4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程22详细课资 本节讨论本节讨论一阶线性一阶线性微分微分方程方程(1)(2)叫做对应于非叫做对应于非齐次线性方程齐次线性方程(1)的的齐齐次线性方程。次线性方程。Q(x) 0时时称为称为一阶一阶非齐次线性微分方程，非齐次线性微分方程，Q(x) 0时时称为称为一阶一阶齐次线性微分方程。齐次线性微分方程。23详细课资分离变量法分离变量法这里这里 表示表示P(x)的任一原函数。的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程(2)的解法的解法得方程得方程(2)的通解的通解注：注：通解通解(3)包含了包含了方程方程(2)的
9、全部解。的全部解。24详细课资常数变易法，令常数变易法，令一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程(1)的解法的解法25详细课资用常数变易法解非齐次方程用常数变易法解非齐次方程的的步骤：步骤：1. 求出相应的齐次方程的通解；求出相应的齐次方程的通解；2. 将通解中的任意常数将通解中的任意常数C 变为函数变为函数C(x)，然后，然后代入代入非齐次方程求出非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程非齐次方程的通解等于对应的通解等于对应齐次齐次方程方程的的通解与通解与方程方程的任意一个的任意一个特解之和。特解之和。26详细课资例例 解方程解方程27详细课资习题习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7
10、 (3) 。作业作业28详细课资 5 5 可降阶的可降阶的可降阶的可降阶的高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程29详细课资三种可降阶的高阶微分方程三种可降阶的高阶微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 30详细课资y(n) f(x) 型型积分一次积分一次再积分一次再积分一次共积分共积分n次，便得到含次，便得到含n个任意常数的通解：个任意常数的通解：可逐次积分求得通解可逐次积分求得通解31详细课资例例 求求 y e2x cosx 的通解。的通解。解解32详细课资 y f(x, y ) 型型令令 y p ，方程
11、变为，方程变为 p f(x, p)，设其通解为设其通解为 p (x, C1) ，不显含不显含y即即 y (x, C1) ，说明：说明：对于方程对于方程 y(n) f(x, y(n 1)，可令，可令y(n 1) p 而化为而化为 一阶微分方程一阶微分方程 p f(x, p)。33详细课资例例 求微分方程求微分方程 (1 x2)y 2xy 的通解及满足的通解及满足初始条件初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解。的特解。y x3 3x 1。例例 解方程解方程34详细课资这时仍令这时仍令 y p 作为新未知函数，作为新未知函数，方程变为方程变为 ，设其通解为，设其通解为 p ( y, C1)，
12、则，则 y f(y, y )型型不显含不显含x35详细课资例例 解方程解方程例例. 解初值问题36详细课资习题习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)， 3作业作业37详细课资 6 6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程38详细课资一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例例例1 求弹簧振子的运动规律求弹簧振子的运动规律x(t)。xOx自由振动的微分方程自由振动的微分方程强迫振动的微分方程强迫振动的微分方程39详细课资这就是这就是串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程，其中，其中例例2 设由电阻设由电阻R、电感、电感L、电容、电容C和电源
13、和电源E Emsin t串联组成的电路中，串联组成的电路中，电容电容C两极板间的电压为两极板间的电压为uC ，则有则有40详细课资二、函数的线性相关与线性无关二、函数的线性相关与线性无关定义定义 设设 y1, y2 , , yn 是定义在区间是定义在区间I上的上的n个函数，个函数，如如果果存在存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数 k1, k2 , kn ，使在使在 I上上就称这就称这n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关，否则称为否则称为线性无关线性无关。41详细课资 例如：例如：1 , cos2x , sin2x 在在( )线性相关；线性相关； 1 , x , x2 在任何区间上
14、线性无关。在任何区间上线性无关。说明：说明：1) 线性相关线性相关 其中至少有一个函数可由其其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；它函数线性表出；2) y1, y2 , yn 线性无关线性无关若若 k1 y1 k2 y2 kn yn 0, 则则 k1 k2 kn 0。3) y1与与y2 线性相关线性相关 常数。常数。 42详细课资 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式：的一般形式：二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程对应的齐次线性方程对应的齐次线性方程 f(x) 0 齐次，齐次， f(x) 0 非齐次。非齐次。43详细课资证证 直接将直接将y C1 y1 C2 y2 代入代入(2)得：
15、得：定理定理 如果如果 y1 , y2 是齐次方程的两个解，那么是齐次方程的两个解，那么y C1 y1 C2 y2也是解，其中也是解，其中C1 , C2是任意常数。是任意常数。三、齐次线性方程解的结构三、齐次线性方程解的结构44详细课资定理定理 设设 y1 , y2 是齐次方程是齐次方程(2)的两个线性无关的的两个线性无关的特解特解( (称为称为(2)的一个的一个基本解组基本解组) )，则，则 y C1 y1 C2 y2( (C1 , C2是任意常数是任意常数) )是它的通解，是它的通解，且此通解含有全部解。且此通解含有全部解。例例 y1 x , y2 e x 是齐次线性方程是齐次线性方程的一
16、个基本解组，故其通解是的一个基本解组，故其通解是45详细课资定理定理(解的叠加原理解的叠加原理) 设设y1(x) , y2(x)分别是方程分别是方程的解，则的解，则 y y1(x) y2(x) 是如下方程的解：是如下方程的解：证证非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构46详细课资定理定理 设设 y*(x)是非齐次方程是非齐次方程(1)的一个特解，的一个特解，Y(x)是是对对应的齐次方程应的齐次方程(2)的通解，则的通解，则 y Y(x) y*(x) 是方程是方程(1)的的通解，且此通解含有全部解。通解，且此通解含有全部解。证证 由定理由定理3，y Y(x) y*(x) C1 y1 C2
17、y2 y*(x)是是(1)的的解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。设设 y0(x) 是是(1)的任一解，则的任一解，则 y0(x) y*(x) 是齐次方程是齐次方程(2)的解，故存在常数的解，故存在常数C10与与C20 ，使得，使得y0(x) y*(x) C10 y1 C20 y2 ,于是于是 y0(x) C10 y1 C20 y2 y*(x) 。例例 y x2 是方程是方程的一个特解，故其通解是的一个特解，故其通解是47详细课资n 阶线性微分方程阶线性微分方程上面关于二阶线性方程的结论可推广到上面关于二阶线性方程的结论可推广到 n 阶线性方程阶
18、线性方程1. 线性微分方程线性微分方程解的叠加原理：解的叠加原理： 设设 y1(x) , y2(x) 分别是分别是方程方程L y f1(x)与与L y f2(x)的解，则的解，则y y1(x) y2(x) 是方程是方程 L y f1(x) f2(x) 的解。的解。L y f(x) , 其中其中2. 齐次线性方程解的结构齐次线性方程解的结构：设：设 y1, y2 , , yn 是齐次线是齐次线性方程性方程 L y 0 的的n 个线性个线性无关的解无关的解(称为它的一个称为它的一个基本基本解组解组)，则，则 y C1 y1 C2 y2 Cn yn(C1 , C2 , , Cn是是任意常数任意常数)
19、是它的通解，且此通解含有全部解。是它的通解，且此通解含有全部解。48详细课资常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )49详细课资解解:故原方程通解为代入初始条件故所求特解为例例已知微分方程个解求此方程满足初的特解 .有三 始条件50详细课资非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构： 设设 y*(x) 是非齐次方程是非齐次方程 Ly f(x)的特解，的特解，Y(x)是对应的齐次方程是对应的齐次方程Ly 0的通的通解，则解，则 y Y(x) y*(x) 是非齐次
20、方程是非齐次方程 Ly f(x)的通解，的通解，且此通解含有全部解。且此通解含有全部解。51详细课资作业习题习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1)52详细课资 7 7 常系数齐常系数齐常系数齐常系数齐次次次次线性线性线性线性微分方程微分方程微分方程微分方程53详细课资一、特征方程与特征根一、特征方程与特征根二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0 . 定义定义 称称代数方程代数方程 r2 pr q 0 .为为微分方程的微分方程的特征方程特征方程，它的根叫做微分方程的它的根叫做微分方程的特征根特征根。54详细课资1) p2 4q 0 , r1 , r2 是两个
21、不相等的实根，则是两个不相等的实根，则是方程是方程(1)的两个线性无关的解，的两个线性无关的解，方程的通解是方程的通解是微分方程的通解微分方程的通解55详细课资取取 u x , 得得 ，这时方程，这时方程(1)的通解为：的通解为： 代入得：代入得：2) p2 4q 0 , 得到得到方程的一个解方程的一个解设另一个线性无关的解设另一个线性无关的解56详细课资得到两个线性无关的实解，所以通解是：得到两个线性无关的实解，所以通解是：根据解的叠加原理根据解的叠加原理3) p2 4q 0 , 得到得到一对共轭复根一对共轭复根 r1 i , r2 i ,这样得到两个线性无关的复数形式的解这样得到两个线性无
22、关的复数形式的解57详细课资 r1 , r2是不等二实根，是不等二实根， r1 , r2是相等二实根，是相等二实根，其中其中 r1 , r2是一对共轭复根，是一对共轭复根， 求二阶常系数齐次线性方程求二阶常系数齐次线性方程(1)的通解的步骤如下：的通解的步骤如下：1)写出特征方程写出特征方程 r2 pr q 0；2)求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根 r1 , r2；3)根据根据 r1 , r2 的不同情况写出通解：的不同情况写出通解：58详细课资例例 求求 y 2y 3y 0 的通解。的通解。例例 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件s(0) 4 , s (0) 2 的特解。的特解。
23、例例 求方程求方程 y 2y 5y 0 的通解。的通解。59详细课资n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程 求解步骤如下：求解步骤如下：1) 写出特征方程写出特征方程2) 求出特征方程的求出特征方程的 n 个根个根( (特征根特征根) )，3) 根据特征根写出根据特征根写出 n 个线性无关的解个线性无关的解(基本解组基本解组)，4) 写出微分方程的通解。写出微分方程的通解。60详细课资 一对单共轭复根一对单共轭复根 i ： k 重实根重实根 r ： 一对一对 k 重共轭复根重共轭复根 i ： 单实根单实根 r ：说明：说明：n 次方程共有次方程共有 n 个根，对应每个特征根可写出个根，对
24、应每个特征根可写出一个基本解组中的解。方法如下：一个基本解组中的解。方法如下：61详细课资特征根是特征根是 r1 r2 0 , r3, 4 1 2i ,因此微分方程的通解为：因此微分方程的通解为：y C1+C2x +ex(C3cos2x+C4sin2x) .例例 求方程求方程 的通解。的通解。解解 特征方程特征方程62详细课资特征根是特征根是 r1 r2 1 , r3, 4 微分方程的通解为：微分方程的通解为：例例 解解方程方程解解 特征方程特征方程 r 4 2r3 3r2 4r 2 0,r 4 2r3 3r2 4r 2 (r 1)(r3 r2 2r 2 ) (r 1)2(r2 2)。63详细
25、课资 解整系数高次代数方程解整系数高次代数方程一般用一般用分解因式法分解因式法和和试根法试根法，应注意以下特殊情形：，应注意以下特殊情形：(1)系数之和为零时，有根系数之和为零时，有根 x 1；(2)奇偶项系数之和相等时，有根奇偶项系数之和相等时，有根 x 1；(3)如果方程有有理根如果方程有有理根则则 p 是是a0 的因数，的因数，q 是是an 的因数。的因数。习题习题(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)64详细课资 8 8 常系数非齐常系数非齐常系数非齐常系数非齐次次次次线性线性线性线性微分方程微分方程微分方程微分方程65详细课资 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：二
26、阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：求方程求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程的通解，归结为求对应的齐次方程 本节只介绍当方程本节只介绍当方程(1)中的中的 f(x)取两种常见形式时用取两种常见形式时用待定系数法待定系数法求出特解求出特解 y* 的方法。的方法。y p y q y f(x) , p, q 是常数是常数 (1)y p y q y 0的通解和的通解和(1)的一个特解。的一个特解。66详细课资 f(x)是多项式是多项式Pm(x)与与指数函数指数函数 e x 的乘积，其导数仍的乘积，其导数仍然是同一类型，因此我们推测，特解具有形式然是同一类型，因此我们推测，特解具有形式 y*
27、e xQ(x)，其中其中Q(x)是待定的是待定的多项式。多项式。 将将 y* e xQ(x) ， y* e x Q(x) Q(x) ，y* e x 2 Q(x) 2 Q(x) Q(x)代入方程代入方程(1)并消去并消去e x 得：得：Q(x) (2 +p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x) (2)一、f(x) e xPm(x)其中其中 是常数，是常数， Pm(x)是一个是一个m次多项式。次多项式。67详细课资Qm(x) b0 x m b1x m 1 bm 1x + bm ，代入代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以式，比较同次幂系数，得到一个以 b0 , b1 , , bm 为未
28、知数的为未知数的 m 1 个方程的方程组，从而可求出特解个方程的方程组，从而可求出特解 y* Qm(x)e x .2) 是特征方程是特征方程 r2 pr q 0 的单根，即的单根，即 2+p +q 0，但但 2 p 0 ，(2)式变为式变为 Q(x)+(2 +p)Q(x) Pm(x) ， 可见可见 Q(x) 应是应是m次多项式且次多项式且Q(x)的常数项可任取的常数项可任取( (不不妨取为零妨取为零) )，令，令 Q(x) xQm(x)，用同样的方法可求出用同样的方法可求出 Qm(x)的系数的系数b0 , b1 , , bm .1) 不是特征方程不是特征方程 r2 pr q 0 的根，的根，
29、2+p +q 0 ，要使要使(2)式两端相等，式两端相等，Q(x)必须是必须是m次多项式次多项式68详细课资3) 是特征方程是特征方程 r2 pr q 0的重根，即的重根，即 2 p q 0,且且 2 p 0 ，(2) 式变为式变为 Q(x) Pm(x) ，可见可见 Q(x) 应应是是 m 次多项式且次多项式且 Q(x)的常数项和一次项系数可任取，的常数项和一次项系数可任取，因而可令因而可令 Q(x) x2Qm(x)，然后用同样的方法求出然后用同样的方法求出Qm(x)的系数的系数 b0 , b1 , , bm 。结论：结论： f(x) e xPm(x)时方程时方程(1)有有 y* xkQm(x
30、)e x 形式形式的特解：当的特解：当 不是特征根时取不是特征根时取 k 0，当当 是单特征根时是单特征根时取取 k 1，当当 是重特征根时取是重特征根时取 k 2。69详细课资例例 求微分方程求微分方程 y 2y 3y 3x 1 的通解。的通解。解解 特征方程特征方程 r2 2r 3 0 有不等二实根有不等二实根 1 , 3。令令y* b0 x b1 , 代入方程得代入方程得 3 b0x 2b0 3b1 3x+1， 0不是特征根，不是特征根，Pm(x) 3x+1 , m 1。比较系数得比较系数得 b0 1 , b1 , 特解特解 y* x .方程的通解是方程的通解是70详细课资 2是单特征根
31、，是单特征根，Pm(x) x , m 1。比较系数得比较系数得特解特解 y* 通解通解例例 求求 的通解。的通解。解解 特征方程特征方程 r2 5r +6 0 有不等二实根有不等二实根 2 , 3 ，令令 y* 代入方程得代入方程得 2 b0x+2b0 b1 x，71详细课资齐次方程的通解为齐次方程的通解为 Y (C1 C2x)ex。 1是重特征根，是重特征根，Pm(x) 1 , m 0。令令 y* bx2ex , 代入方程得：代入方程得：例例 解方程解方程解解 特征方程特征方程 r2 2r 1 0 有重根有重根 r 1。特解特解 y* 通解通解 y 72详细课资二、二、这里这里 , 是常数，
32、是常数，Pl(x) , Pn(x)分别是分别是l 次与次与n 次多项次多项式，可有一个为零。式，可有一个为零。结论：结论： f(x) e x (Pl (x)cos x +Pn(x)sin x) 时，方程时，方程(1)有有 y* xke x(Qm(x)cos x +Rm(x)sin x) 形式的特解，形式的特解，其其中中 m max(l , n)，Qm(x) , Rm(x) 都都是是 m 次多项式，若次多项式，若 i 不不是特征根取是特征根取k 0 , 若若 i 是单特征是单特征根取根取k 1。73详细课资代入方程得代入方程得 +i 2i 不是特征方程不是特征方程 r2+1 0 的根。设特解为的根。设特解为例例 求方程求方程 y y xcos2x 的一个特解。的一个特解。解解 这里这里 0 , Pl (x) x , Pn(x) 0 , m 1 , 2，74详细课资比较系数得比较系数得75详细课资 求微分方程的通解练习：习题习题(P347)：1(5)(9)，2(4)，6作业：作业：76详细课资
