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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修2 2 2 2 2 22.1.1直线的斜率直线的斜率情境创设情境创设现实世界中，到处有美妙的曲线现实世界中，到处有美妙的曲线从飞逝的流星到雨后彩虹，从飞逝的流星到雨后彩虹，从古代的石拱桥到现代的立交桥从古代的石拱桥到现代的立交桥这些曲线都和方程息息相关这些曲线都和方程息息相关 情境问题情境问题问题问题1 如何将这些曲线与方程联系起来呢？如何将这些曲线与方程联系起来呢？ 引进平面直角坐标系，用有序数对引进平面直角坐标系，用有序数对(x，y)表示平面内的点根据曲线的表示平面内的点根据曲线的几何性质，可以得到关于几何性质，可以
2、得到关于x，y的一个代数方程的一个代数方程f(x，y)0反过来，把代数反过来，把代数方程方程f(x，y)0的解的解(x，y)看做平面上点的坐标，这些点的集合是一条曲线看做平面上点的坐标，这些点的集合是一条曲线 如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用将十分缓慢，而且应用范围也很有限但若两互相结合而共同发展，则就者会相互加强，并以快范围也很有限但若两互相结合而共同发展，则就者会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进速的步伐向着完美化的方向猛进拉格朗日拉格朗日解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角解析几何的本质
3、是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题解析几何的基本思想是数形结代数问题，从而用代数方法研究几何问题解析几何的基本思想是数形结合合 情境问题情境问题问题问题2 解析几何与几何的本质区别是什么呢？解析几何与几何的本质区别是什么呢？ 本章研究的基本几何图形本章研究的基本几何图形直线与圆直线与圆 本章研究的基本问题：本章研究的基本问题： 1如何建立它们的方程？如何建立它们的方程？ 2如何通过方程来研究它们的性质？如何通过方程来研究
4、它们的性质？位置关系（平行、相交、位置关系（平行、相交、） 本节课研究的问题：本节课研究的问题： 1如何确定直线？如何确定直线？2如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？ 两个要素（两点、点与方向）两个要素（两点、点与方向） 如图，如图，O是入山口，是入山口，E是出山口，半山腰是出山口，半山腰A(相对于相对于O)的高度为的高度为100米，米，B(相对于相对于O)的高度为的高度为250米，米，OA与与AB的水平距离都为的水平距离都为300米，试比较米，试比较OA、AB两段山坡爬坡的难易程度两段山坡爬坡的难易程度情境问题情境问题OABCDEA
5、1B1100250300300F问题：如何用一个量来描述、刻画山坡的陡峭程度？问题：如何用一个量来描述、刻画山坡的陡峭程度？FAB“坡度坡度”就是坡面的竖直高度与水平宽度的就是坡面的竖直高度与水平宽度的比，比，如上图，山坡如上图，山坡PQ的坡度即为的坡度即为用用坡度坡度来刻画直线的来刻画直线的倾斜程度倾斜程度. .OABA1B1100250300300Fxy如图，建立直角坐标系，则如图，建立直角坐标系，则O(0，0)， A(300，100)， B(600，250)直线直线OA的斜率的斜率k直线直线AB的斜率的斜率k数学建构数学建构直线直线AB的斜率的斜率kA(x1， y1)OxyB(x2，y2
6、)yA(x1，y1)OxB(x2，y2)(x1x2) 数学建构数学建构斜率斜率k的几点说明：的几点说明：3. 直线直线AB的斜率与所选择直线上两点的位置无的斜率与所选择直线上两点的位置无关定直线的斜率是确定的关定直线的斜率是确定的 OA(x1, y1)xB(x2, y2)y2. 直线直线AB的斜率与的斜率与A，B两点的顺序无关两点的顺序无关.xA(x1, y1)OyB(x2, y2)A1B1FF11x1x2，若，若 x1x2 ，即直线垂直于，即直线垂直于x轴，此轴，此时，斜率不存在时，斜率不存在. 数学建构数学建构例例1如图，直线如图，直线l1 ，l2 ， l3都经过点都经过点P(3，2)，又
7、分别过点，又分别过点Q1(2，1)、Q2(2，6) ， Q3(3，2)， 试计算直线试计算直线 l1 ， l2 ， l3的斜率的斜率.xyOl1PQ1l2Q2Q3l3解：解： 设设k1、k2、k3分别表示直线分别表示直线l1 、l2、l3的斜率，的斜率，则则 k24， k30， (1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(l1)；由图可以看出由图可以看出(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(l2)；(3)当直线的斜率为当直线的斜率为0时，直线与时，直线与x轴平行或重合轴平行或重合(l3
8、)反之也成立反之也成立. 数学应用数学应用 解：解： 故故A ， B ， C 三点共线三点共线.已知三点已知三点A(1，4)、B(2，1)、 C(2，5)，判断这三点是否共线？，判断这三点是否共线？数学应用数学应用变式：若三点变式：若三点A(4，5) ， B(2a，3) ， C(1，a)共线，则共线，则a_.小结：若三点小结：若三点A(4，5) ， B(2a，3) ， C(1，a)共线，则共线，则a_.例例2 经过点经过点P(3，2)画直线，且使直线的斜率分别为：画直线，且使直线的斜率分别为： (1) (2)l1l2解：（解：（1）直线）直线l1即为所求即为所求.（2）直线）直线l2即为所求即
9、为所求.xyOQP数学应用数学应用与与x轴相交的直线；轴相交的直线；绕交点按绕交点按逆逆时针方向旋转；时针方向旋转；最小正最小正角；角；规定：与规定：与x轴轴平行平行或或重合重合的直线倾斜角为的直线倾斜角为0 ； 0 180 直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率数学建构数学建构直线的倾斜角直线的倾斜角与与x轴垂直的直线斜率不存
10、在，倾斜角为轴垂直的直线斜率不存在，倾斜角为90 ；一条与一条与x轴不垂直的定直线斜率为定值；轴不垂直的定直线斜率为定值；ktan xOyxOy数学建构数学建构直线的倾斜角与斜率的关系：直线的倾斜角与斜率的关系： tan tan(180 )； 0 时，时，k0； 0 90 时，时，k0，且，且k随着随着 的的增大增大而而增大增大； 90 时，时，k不存在；不存在； 90 180 时，时，k0，且，且k随着随着 的的增大增大而而增大增大例例3根据下列条件，分别画出经过点根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为，且斜率为k的直线，并写出倾斜的直线，并写出倾斜角角 ： 数学应用数学应用（1）P(1，2)，k1； （2）P(1，3)，k0；（3）P(0，2)，k ；（；（4）P(1，2)，斜率不存在，斜率不存在 作业：P80练习练习1，2，3，5
