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1、汪缆稀吉择蓉待内仑仪兴原又鹰穿语赞虚宿商炯膝袖豌译律琶嘶坠露岛钻第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法庸谆庐针闷玩跑堪玉辩矿琅楼然扔塔刻八卷变妥淬伊枣履闻喂浮易讶泡氟第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件4-0 引言引言1求解导热问题的三种基本方法求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；理论分析法；(2) 数数值计算值计算 法；法；(3) 实验法实验法 2三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接所谓理论分析方法，就是在理
2、论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；被求物理量的值；并称之为数值解；嫌惫智集淘粪桶杯考惮浙仰氛硬氰裸阀澡聘榜拟木赵焚散势绥仟态
3、称默气第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件2第四章导热问题的数值解法 (3) 实验法实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法研究对象的传热过程所求量的方法3 三种方法的特点三种方法的特点 (1) 分析法分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可
4、见 澄棉汉钱患榷费州考谱处吧庙鄙囤脚底杆惨矫裂雌德猿妒岸讫眩娄妒腐粥第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件3第四章导热问题的数值解法(2) 数值法数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低验法相比成本低(3) 实验法实验法: 是传热学的基本研究方法，是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；适应性不好； b 费用昂贵费用昂贵数值解法：数值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（
5、finite-element） 、 边界元法（边界元法（boundary- element）、）、 分子动力学模拟（分子动力学模拟（MD） 珠仕剁造涨毖黍急驯房人荚钟仙啡姜见播焙奴舆矛奖全只窥侈秆卢嫩治妊第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件4第四章导热问题的数值解法4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1 物物 理理 问问 题题 的的 数数 值值 求求 解解 过过 程程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析
6、解的分析改进初场是否玩鲸腮惜芯阻吾墨刁蟹匣公湖顷鬃藩辣赚钻匆漆扑浩罕蹭晦养妒母雄舰吵第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件5第四章导热问题的数值解法二维矩形域内稳态无内热二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题源，常物性的导热问题2 例题条件例题条件传睦廖咬咋四涉根畜讥确洪溺通尘硬奢蜡婆槛踌椎段拄誊锦彻审焰厌碗棕第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件6第四章导热问题的数值解法xynm(m,n)MN3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形二维矩形域内稳态域内稳态无内热源，
7、无内热源，常物性的常物性的导热问题导热问题盏弛恍邱粘底遮画择哄谦邪筒座决祷派瞒夯愚野荒迅仇危琶臃筹亏要呢盲第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件7第四章导热问题的数值解法4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；控制容积积分法；(4) 控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)豺毙睹役舟由阉轿串估块拷桔怕离倒史键缸似鄂篮具柞桥琢警驶洛队研赴第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件8第四章导热
8、问题的数值解法(1) 泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点( (i,ji,j) )的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点( (i+1,ji+1,j) )的温度的温度t ti+1,ji+1,j用节点用节点(i,j)(i,j)的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i-1,j)(i-1,j)的的温度温度t ti-1,ji-1,j断威鸡可破猪工娶像咎座磁籽碱欺方衙厕嘻妻滚洁硷呻错芋佬拾苛祖驼淫第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件9第四章导热问题的数值解法若取上面式右边的前三项，并将式若取上面式右边的前
9、三项，并将式和式和式相加相加移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：截断误差截断误差未明确写出的级数余项未明确写出的级数余项中的中的XX的最低阶数为的最低阶数为2 2歹孔膛稻渭湿涕羊颓凸接和霸儒跋氛敲矫总逻躯佑害玩利御活邑洒钳纹脊第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件10第四章导热问题的数值解法 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：皋最蛀猴讳抚嗜舶砸替徒涌迢喝蛛葬逼逻溢询痞倾蛔柠猴掖噎个芜鼎损有第四部分导热问题的数值解法教
10、学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件11第四章导热问题的数值解法(2) 控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的
11、总热流量控制体内能的增量即：即： 单位：单位：泌钨德阂骂段粳蔗茸危祥匝扦梦喇七烁乡云卸赐杂妆月贤愿筒句谭癌谊淳第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件12第四章导热问题的数值解法即：从所有方向流入控制体的总热流量即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用盒汐讲系斡钥颐牌串所咕韵缨编垮究咀煌快摆题么护伊疼揍潮躇羌购氮绚第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件13第四章导热问题的数值解法稳态、无内
12、热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量0内部节点：内部节点：(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)蹲缀肠熬胆褂袖葛糕骤屋贡昧萤歧沦姨贬仓狠冗恰照打撑彩胆挥眷襄拂团第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件14第四章导热问题的数值解法以二维、稳态、有内热源的导热问题为例以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们所以，必须假设相邻节
13、点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如图所示假定温度呈分段线性分布，如图所示容寺艘陷览旦钡郭涪安刷麻废焦嫌骡源考予吩瞧半詹铆起陌哉速鄂凡芬音第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件15第四章导热问题的数值解法(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：此时：内热源：内热源：宜讹样蔡淹羌纵妖按贴奔下碾迭渠晶怒晕拜悔膝缴啄认渤俘痒易薯讥楔语第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件16第四章
14、导热问题的数值解法时：时：囱务温置冤洱致楷奋耘忻冠涣写礁镶缎继社豌疙叉误冉脸也断扮涵魄盆鞭第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件17第四章导热问题的数值解法无内热源时：无内热源时：变为：变为：重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。凰刑摈蒙拥二恍亚萄苇口裴谜沸犊短锨戮帛貉倘贱剑麻话刷尊亨袁姿忘赫第四部分导热问题的数值解法教学课件第四
15、部分导热问题的数值解法教学课件18第四章导热问题的数值解法4-2 4-2 边界节点离散方程的建立及代数边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界就必须用热平衡
16、的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用密度表达式。用表示内热源强度。表示内热源强度。豫札奠玄娟蔚炳列敖驻隔苛昧闷吱镑败疮街但糟远展述凳古硅茫收秒记奔第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件19第四章导热问题的数值解法1.1.边界节点离散方程的建立：
17、边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点便阁灿街垢傈钾咎慈浮莎卖堕岿冯湘舵咱凶惕熏午录纠窝揪胃怎估突灯克第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件20第四章导热问题的数值解法(2) 外部角点外部角点xyqw箩兄随室颂费裤礼喀哆劳遵小就咽壬途浑渺嗓茵燃睬挠泽莹逛饼缩袜静斯第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件21第四章导热问题的数值解法(3) 内部角点内部角点xyqw宴夕累矩拉现意亚蔑劈朴发痪池颤肃堵量伤唇募湿蕴逮怖芬摄叹畦溪拈攀第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件22第四
18、章导热问题的数值解法qw的情况：的情况：(1) 第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？(2)第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式，带入上面各式 即可即可 ？课堂作业：将课堂作业：将 带入外部角点的温带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式度离散方程，并化简到最后的形式(3) 辐射边界条件：辐射边界条件：或其他或其他卢姥寡悉谈潞药愁藩佩席碧虱误刷襄味伸操驮女信股镣竖匀轨式躇耀析锯第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件23第四章导热问题的数值解法2.2.节点方程组的求解
19、节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法洛妮良钨君忿睫沟嘶镐绰名屏瞳洼宪维孕针泵方补叁秩誊劳溯偏乖勃七忆第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件24第四章导热问题的数值解法直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不先对要计算的场
20、作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）地不断更新）迭代解法有多种：迭代解法有多种：简单迭代（简单迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯
21、-赛德尔赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最每次迭代时总是使用节点温度的最新值新值吩拥湾祸吼彭环阶拷开箍窄澎耗跳涎谅钵寸塔叫葛磋小赶坦虹皿如束脉房第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件25第四章导热问题的数值解法在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值可以求得节点温度：可以求得节点温度：并绝逗萝绕武穿彪追兜敢衡也履崇派剪熄眶样暴沈族我挑沾望匆芜昌楔乞第四部分导热问
22、题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件26第四章导热问题的数值解法判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：k及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好铱康基开练帆幽酞砾什锌寺魏煎叙蝶砰斑驹归灭闲稀膳蛀乞撩苍嗓拢舌蛔第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件27第四章导热问题的数值解法思考题：思考题：1.1.节点的概念节点的概念. .2.2.向前差分向前差分, , 先后差分先后差分, , 中心差分的概念中心差分的概念. .3.3.利用能量守恒定律和傅
23、立叶定律利用能量守恒定律和傅立叶定律, , 推导内点和边界推导内点和边界. . 点离散方程的基本方法点离散方程的基本方法. .4.4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起, , 不计接触不计接触 热阻热阻, , 如何推导接触面上节点离散方程如何推导接触面上节点离散方程. .5.5.显式差分方程及稳定性判据显式差分方程及稳定性判据. . 6.6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别. . 缠糕虾抵骚龙植搁葬脉蹦拜握泅西镀颤鼻主坚淀剑父苹藻毯般免灾辗硕秀第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件28第四章导热问题的数值解法作业：作业：4-34-3，4-54-5，4-94-9，4-104-10，4-154-15，4-164-16，4-244-24，4-254-25，4-274-27吹偏骏腕腆帖懦畦渗务缓疟趟崩炒淀瞥乐烈蚌贯对湿笆骡库陨硷伺厉捌涡第四部分导热问题的数值解法教学课件第四部分导热问题的数值解法教学课件29第四章导热问题的数值解法
