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1、画家、仆人与小偷画家、仆人与小偷抽象的价值：类与对象抽象的价值：类与对象小故事小故事第六讲：随机过程的均方微积分第六讲：随机过程的均方微积分主讲人：张有光主讲人：张有光 概概 述述l信号与系统信号与系统信号描述、线性系统信号描述、线性系统线性系统线性系统 = 常系数微分方程常系数微分方程l随机信号、线性系统随机信号、线性系统需要建立微分、积分的概念需要建立微分、积分的概念主要内容主要内容l一、随机过程一、随机过程均方收敛均方收敛l二、随机过程二、随机过程均方连续均方连续l三、随机过程三、随机过程均方微分均方微分l四、随机过程四、随机过程均方积分均方积分一、随机过程的均方收敛一、随机过程的均方收
2、敛l1、概率收敛、概率收敛l2、均方收敛、均方收敛l3、均方收敛的主要性质、均方收敛的主要性质l4、随机过程的极限、随机过程的极限1、依概率收敛、依概率收敛 回顾回顾l l定义定义设设设设 为一随机变量序列，为一随机变量序列，为一随机变量序列，为一随机变量序列， 为一为一为一为一个随机变量，若对任意小的正数个随机变量，若对任意小的正数个随机变量，若对任意小的正数个随机变量，若对任意小的正数 ，恒有：，恒有：，恒有：，恒有：则称则称则称则称 依概率收敛于随机变量依概率收敛于随机变量依概率收敛于随机变量依概率收敛于随机变量X X。2、均方收敛、均方收敛设设 为一随机变量序列，为一随机变量序列， 为
3、一个随为一个随机变量，若机变量，若,且且记为记为均方收敛均方收敛则称则称 均方收敛于均方收敛于 ，或者说，或者说 是是 的均方极限，记为：的均方极限，记为：或简记为：或简记为：由于由于则均方收敛一定依概率收敛！则均方收敛一定依概率收敛！3、均方收敛的主要性质、均方收敛的主要性质均方收敛的主要性质均方收敛的主要性质4、随机过程的极限、随机过程的极限l定义定义设设 为一随机过程，为一随机过程， 为为一个随机变量，若对任意小的正数一个随机变量，若对任意小的正数 ，恒有：，恒有：则称则称 依概率收敛于随机变依概率收敛于随机变量量4、随机过程的极限、随机过程的极限l l均方极限定义：均方极限定义：设随机
4、过程设随机过程 和变量和变量X都有二阶矩，若都有二阶矩，若或或则称则称 均方收敛于均方收敛于X 或者说或者说X是是 的均方极限，记为：的均方极限，记为：二、随机过程的均方连续性二、随机过程的均方连续性l1、均方连续的定义、均方连续的定义l2、均方连续性定理、均方连续性定理l3、均值连续性、均值连续性1、均方连续、均方连续l定义：定义： 设设X(t)为随机过程，若对于为随机过程，若对于t T,则称随机过程则称随机过程X(t)在在t点均方连续，如点均方连续，如果对果对 于任意的于任意的t T，X(t)都是均方连都是均方连续，则称续，则称X(t)在在T域上均方连续。域上均方连续。2、均方连续性条件、
5、均方连续性条件lX(t)在时刻在时刻t均方连续的充要条件是：均方连续的充要条件是：相关函数相关函数在在(t,t)处连续。处连续。特别的对特别的对平稳过程平稳过程 证明：证明：3、均值连续性、均值连续性l若随机过程若随机过程 均方连续，则其均均方连续，则其均值函数值函数 必定连续，即必定连续，即证明：证明：4、均值连续性说明、均值连续性说明 左边为普通函数极限，右边为随机左边为普通函数极限，右边为随机过程极限，该定理表明：过程极限，该定理表明： 均值运算与极限运算交换顺序均值运算与极限运算交换顺序 三、随机过程的均方微分三、随机过程的均方微分l1、均方微分、均方微分l2、均方可微的充要条件、均方
6、可微的充要条件l3、均方导数的均值、均方导数的均值l4、含有微分的相关函数、含有微分的相关函数1、均方导数的定义、均方导数的定义l设设X(t)为一随机过程，若存在随机过为一随机过程，若存在随机过程程,使得对于使得对于 ,有有 则称则称X(t)在在t点均方可微，点均方可微，且称且称 为为 点在点在t点的均方导数。点的均方导数。l若对于每一若对于每一t T，X(t)都均方可微，都均方可微，则称则称X(t)在在T域上均方可微。域上均方可微。2、均方微分（导数）变换、均方微分（导数）变换l对于区域对于区域T上处处可导的随机过程上处处可导的随机过程对应就有导数随机过程对应就有导数随机过程 ，那，那么我们
7、称该变换为微分（导数）变么我们称该变换为微分（导数）变换，很容易验证该变换是线性时不换，很容易验证该变换是线性时不变的。变的。2、均方可微的充要条件、均方可微的充要条件随机过程随机过程X(t)在在T上均方可微的充要上均方可微的充要条件是：其相关函数条件是：其相关函数 的二阶的二阶导数导数 对于对角线上的每对于对角线上的每 一点一点 上存在。上存在。对于平稳过程有：对于平稳过程有：举例：举例：l已知随机过程已知随机过程 的相关函数为的相关函数为 问问 是否均方连续，均是否均方连续，均方可微？方可微？3、均方导数的均值、均方导数的均值l若随机过程若随机过程X(t)，t T是均方可微的，是均方可微的
8、，则则X(t)的这些均方导数的均值存在，的这些均方导数的均值存在，且为且为均值运算与导数运算可以交换顺序均值运算与导数运算可以交换顺序4、含有微分的相关函数、含有微分的相关函数l若对于每个若对于每个t T，在，在(t,t)上二阶广义上二阶广义导数存在，则在导数存在，则在 上偏导数上偏导数 存在且有界存在且有界(a) (b) l同理，同理，对于平稳过程对于平稳过程这说明在同一时刻是互不相关。这说明在同一时刻是互不相关。(c)对于平稳过程对于平稳过程(d) n阶导数阶导数如果随机过程如果随机过程是平稳的，且是平稳的，且 存在，则其存在，则其n阶阶微分过程微分过程 也是平稳的，且也是平稳的，且如果随
9、机过程如果随机过程X(t)和和Y(t)是联合平稳的，则有是联合平稳的，则有5、导数过程、导数过程Y(t)的功率谱的功率谱类似地类似地四、随机过程的均方积分四、随机过程的均方积分l1、均方积分、均方积分l2、均方可积的充要条件、均方可积的充要条件l3、均方积分的均值、均方积分的均值l4、均方积分的相关函数、均方积分的相关函数1、均方积分的定义、均方积分的定义l定义：定义： 设设X(t)为一个随机过程，为一个随机过程，a,b T,且且 均方积分的定义均方积分的定义l若和式若和式具有均方极限，则称随机过程在区间具有均方极限，则称随机过程在区间a,b上均方可积（黎曼可积）。其极限上均方可积（黎曼可积）
10、。其极限称为称为X(t)在区间在区间a,b上的均方积分。上的均方积分。l记为：记为：l即：即：2、均方可积的充要条件、均方可积的充要条件l随机过程随机过程X(t)在在a,b上均方可积的充上均方可积的充要条件是：要条件是： 在矩形域在矩形域 上均方黎曼可积。上均方黎曼可积。l随机过程均方黎曼积分的性质取决随机过程均方黎曼积分的性质取决于它的自相关函数的普通黎曼积分于它的自相关函数的普通黎曼积分的性质。的性质。3、均方积分的均值、均方积分的均值l若随机过程若随机过程X(t)在在a,b及及c,d上均上均方可积，则有方可积，则有4、均方积分的相关函数、均方积分的相关函数l同样条件下同样条件下5、随机过
11、程的积分变换、随机过程的积分变换l若随机过程若随机过程 在域在域a,b上上均方可积，且输出过程为均方可积，且输出过程为1）输出过程的均值）输出过程的均值若若 为平稳过程，均值为常数为平稳过程，均值为常数c，则输出过程均值函数为则输出过程均值函数为c(t-a)5、随机过程的积分变换、随机过程的积分变换2）输出过程的自相关函数）输出过程的自相关函数5、随机过程的积分变换、随机过程的积分变换3）输出过程的协方差函数）输出过程的协方差函数对于对于X(t)平稳过程，其协方差函数：平稳过程，其协方差函数：小结小结 如何理解均方微积分？如何理解均方微积分？l从普通微积分平移到均方微积分从普通微积分平移到均方微积分l自相关函数描述连续、导数和积分自相关函数描述连续、导数和积分l微分与积分作为线性变换，来看输出微分与积分作为线性变换，来看输出自相关、输入与输出互相关自相关、输入与输出互相关l作为平稳随机过程，以上作为平稳随机过程，以上2、3有更进有更进一步的结论一步的结论习题习题lP124 第第2、3、4、5
