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1、兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 第五节第五节 数值微分数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数在实际问题中，往往会遇到某函数f f( (x x) ) 是是用表格用表格表示的表示的, ,用通常的导数定义无法求导用通常的导数定义无法求导, ,因此要寻求其他因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有方法近似求导。常用的数值微分方法有: :一、运用差商求数值微分一、运用差商求数值微分二、运用插值函数求数值微分二、运用插值函数求数值微分 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 一一. . 运用差商求数值微分运用差商求数值微分最最简单直接的数值微分
2、方法就是用差商代替微商简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商. . 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 利用利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差展开可导出数值微分公式并估计误差. 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 一阶一阶导数的三点公式：导数的三点公式：证明证明: :同样的方法可以得到其它的三点公式是：同样的方法可以得到其它的三点公式是： 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院
3、二、运用插值函数求数值微分二、运用插值函数求数值微分设设Ln(x)是是f(x)的的过点过点x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的的 n 次插值多项式，由次插值多项式，由Lagrange插值余项插值余项,有对任意有对任意给给定的定的x a，b，总存在总存在如下关系式如下关系式:若取数值微分公式若取数值微分公式误差为误差为: : 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值称为称为n+1点求导公式点求导公式。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 常用的数值微分公式是常用的数值
4、微分公式是 n n = 1 ,2 = 1 ,2 的插值型微分公式的插值型微分公式. .当当n n=1=1时时, ,有有 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 例例1 设设f(x)=lnx，x0=1.8，用用2点公式计算点公式计算f(x0)。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 当当n=2时时,有有当节点等距时，即有当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h0,上述公式可简化为上述公式可简化为 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 有时，也将有时，也将xi统一表为统一表为x0,将上述公式写成如下形式将上
5、述公式写成如下形式n=2时，计算时，计算f(x0)的误差是的误差是O(h2),且（且（4）的误差最小。的误差最小。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 例例2 设设f(x)=xex，x0=2，用用3点公式计算点公式计算f(x0)。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 由（由（6），）， f(2) 22.166996，误差为：误差为：1.6910-4公式公式(4)计算计算f(2)较准确。较准确。用用5点公式计算点公式计算f(2) ：当当n=4时时,可得到可得到5点公式点公式： 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 在构
6、造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断误差，而且还要考虑公式的舍入误差。误差，而且还要考虑公式的舍入误差。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 计算计算 的总误差是：的总误差是：从截断误差从截断误差 ( (h h2 2/6) /6) 的角度看，的角度看，h h 越小误差越小。越小误差越小。但从舍入误差的角度看，但从舍入误差的角度看，h h不能太小。不能太小。例例3 设设 f(x)=sin x ，计算，计算f(0.900)=cos0.900的近似值。的近似值。 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 解：利用公式解：利用公式 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 三三. . 运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值的一阶导数和二阶导数的近似值. 兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院 试导出以下数值微分公式试导出以下数值微分公式, ,并估计截断误差并估计截断误差.
