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1、控制科学与工程 研究生专业基础课程-5线性系统理论与设计线性系统理论与设计第五章第五章 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器主要内容：主要内容： 状态反馈与输出状态反馈与输出 反馈反馈义义1 1 SISO状态反馈系状态反馈系统的极点配置法统的极点配置法2 2 状态重构问题状态重构问题3 3 状态观测器的极状态观测器的极 点配置点配置4 4 带观测器状态反带观测器状态反馈闭环系统馈闭环系统5 5 降维状态观测器降维状态观测器 的设计的设计6 611 状态反馈与输出反馈表达式状态反馈与输出反馈表达式12两种反馈形式比较两种反馈形式比较对其施加状态反馈律设受控系统模型为 1) 状态反馈51 ：状
2、态反馈与输出反馈表达式：状态反馈与输出反馈表达式11 状态反馈与输出反馈表达式状态反馈与输出反馈表达式1 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1则闭环系统的状态空间模型为闭环传递函数为 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1(5-1)对其施加状态反馈律设受控系统模型为 2) 输出反馈51 ：状态反馈与输出反馈表达式：状态反馈与输出反馈表达式11 状态反馈与输出反馈表达式状态反馈与输出反馈表达式1 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1则闭环系统的输出反馈系统方程为闭环传递函数为 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1(5-2) 2) 状态反馈后的闭环系统能保持原系统的能控性，不一定保持原系统的
3、能观性； 输出至状态微分反馈的闭环系统能保持原系统的能观性，不一定保持原系统的能控性； 12两种反馈形式比较两种反馈形式比较 1) 两种反馈引入后, 所得闭环系统和原开环系统具有相同的阶数。 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1 3) 状态反馈的实现需要系统状态的信息, 当系统的状态不能直接 得到时, 需要构造观测器(估计器)来对其进行估计. 4) 状态反馈与输出反馈相比,具有更好的特性.12两种反馈形式比较两种反馈形式比较 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈1 输出至参考输入反馈的闭环系统既能保持原系统的能观性，也能保持原系统的能控性。21极点配置法极点配置法22极点配置法的算法极点配置
4、法的算法21极点配置法极点配置法K所谓极点配置法极点配置法, 就是通过状态反馈阵的选取,使以上闭环系统的极点, 即特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上.采用上节的状态反馈律, 所得闭环系统为 SISO状态反馈系统的极点配置状态反馈系统的极点配置2(5-3) 该定理即： SISO系统可通过状态反馈任意配置极点的充要条件为该受控系统是状态完全能控的. 注1对状态完全能控的SISO系统, 引入状态反馈可以任意配置极点,但不改变原系统的零点 对于 n维SISO受控系统, 利用状态反馈配置极点时, 可以调节的参数有 n个, 但利用基本型的输出反馈配置极点时, 可供调节的参数只有一个. 注2 SISO状
5、态反馈系统的极点配置状态反馈系统的极点配置222极点配置法的算法极点配置法的算法 SISO状态反馈系统的极点配置状态反馈系统的极点配置21. 判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。2. 求状态反馈后闭环系统的特征多项式：3. 根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。 1) 当 时, 采用能控规范型法即先将原系统化为能控规范型, 然后在此基础上配置极点.22极点配置法的算法极点配置法的算法 SISO状态反馈系统的极点配置状态反馈系统的极点配置2例题例题22极点配置法的算法极点配置法的算法2) 当 时, 采用特征值不变性原理方法。不通过能控规范型求状态反馈阵K，而直接利用
6、下面的方程求反馈阵 SISO状态反馈系统的极点配置状态反馈系统的极点配置2解关于K的方程(5-4) 31状态观测器的基本思想：状态观测器的基本思想：32 状态重构的等价性指标状态重构的等价性指标33 状态观测器的定义状态观测器的定义34状态观测器的结构模型状态观测器的结构模型 31状态观测器的基本思想：状态观测器的基本思想：1) 状态观测器的基本思想l 状态重构的可能性 所谓状态重构(估计)问题, 即能否用系统的可量测参量(输出和输入)来重新构造一个状态 , 使之在一定的指标下和系统的真实状态等价.当线性定常系统的状态完全能观测时,利用其输出和输入重构出其真实状态X是可能的. 状态重构问题状态
7、重构问题3定理定理1: 1: 对于状态完全能观测的线性定常系统, 其观测器总是 存在的. 定理1只是状态观测器存在的充分条件, 而非必要条件引理引理: : 任一线性定常系统经过非奇异线性变换总能化为如下的 能观结构形式.l 状态观测器的存在性 状态重构问题状态重构问题3 状态重构问题状态重构问题3式中, 为能观测状态; 为不能观测状态; 为系统的能观测部分(子系统).定理定理2:2: 线性定常系统的状态观测器存在的充要条件是: 其不能观 测的部分是渐进稳定的.(5-5)实现状态重构的一个直观想法就是人为地构造另一个动态系统, 以原系统的输入和输出作为它的输入量, 而它的状态就作为原系统状态的重
8、构状态, 使之在渐进的的意义上等价. 即32 状态重构的等价性指标状态重构的等价性指标 状态重构问题状态重构问题3(5-6)33 状态观测器的定义状态观测器的定义 状态重构问题状态重构问题3定义定义: : 设线性定常系统0 的状态 是不能直接量测的, 如果另 一个动态系统 以0 的输入和输出作为它的输入量, 的输 出满足如下的等价性指标则称动态系统为0的状态观测器. 设原系统的状态空间模型为 34状态观测器的结构模型状态观测器的结构模型 状态重构问题状态重构问题3 则所构造的状态观测器的结构形式为 设计状态观测器, 实际上是设计上式中的34状态观测器的结构模型状态观测器的结构模型 状态重构问题
9、状态重构问题3(5-7)41 状态观测器的极点配置定理状态观测器的极点配置定理4 2状态观测器的极点配置方法状态观测器的极点配置方法41 状态观测器的极点配置定理状态观测器的极点配置定理 状态观测器的极点配置状态观测器的极点配置4对 SISO 线性定常系统0 , 其观测器 可以任意配置极点, 即具有任意逼近速度的充要条件为系统0 状态完全能观测。该定理是线性状态反馈系统K 。定理定理:设 为能观规范型特征多项式的系数 是期望特征多项式的系数,得反馈阵。 极点配置定理的对偶形式, 证明类似. 该定理证明中给出的状态观测器设计算法如下:先将原系统0 通过状态变换 化为能观规范型. 状态观测器的极点
10、配置状态观测器的极点配置44 2状态观测器的极点配置方法状态观测器的极点配置方法1) 当 时, 采用能观规范型方法.即先将原系统化为能观规范型, 然后在此基础上配置极点. 状态观测器的极点配置状态观测器的极点配置4则所求的观测器系数矩阵为 状态观测器的极点配置状态观测器的极点配置4(5-8) (5-9)式中, 为观测器系统希望极点组成的特征多项式.2)当 时, 采用特征值不变性原理方法.此时,不通过能观规范型求状态反馈阵 , 而直接利用下面的方程求反馈阵 , 即 状态观测器的极点配置状态观测器的极点配置4(5-10)例题例题（3）确定G51 闭环系统的等价性闭环系统的等价性 52 分离原理分离
11、原理且该系统状态完全能控能观, 当其状态不能直接量测时,需要构造以下形式的观测器设原 n 阶系统的状态方程和输出方程为51 闭环系统的等价性闭环系统的等价性 带观测器状态反馈闭环系统带观测器状态反馈闭环系统5(5-11)因此, 带有观测器的状态反馈闭环系统的阶数为2n.该闭环系统(复合系统)可表示为:此时的状态反馈作用为 带观测器状态反馈闭环系统带观测器状态反馈闭环系统5结论: 1）带状态观测器的状态反馈闭环系统中, 状态反馈的确定和 观测器的确定可相互独立进行. 带观测器状态反馈闭环系统带观测器状态反馈闭环系统5 2）带状态观测器的状态反馈闭环系统和不带状态观测器的状 态反馈闭环系统的传递函
12、数相同,即等价.分离原理：分离原理：带状态观测器的状态反馈闭环系统特征多项式 带观测器状态反馈闭环系统带观测器状态反馈闭环系统5(5-12) 52 分离原理分离原理61 n-l维状态观测器的设计维状态观测器的设计62 降维观测器的结构降维观测器的结构63 降维观测器的空间表达式降维观测器的空间表达式64 原系统状态估计原系统状态估计 降维观测器的设计降维观测器的设计6 降维观测器：当原 维系统的 个状态中有 个可直接量测或通过输出的线性变换可得到, 则只需为剩下的 个状态设计 维的状态观测器，这样的状态观测器称为降阶观测器. 全维观测器：当状态观测器的维数与原系统的维数相同,即要把原系统的 个
13、状态都估计出来,这样的观测器称为全维(阶)观测器61 n-l维状态观测器的设计维状态观测器的设计若 ,即有 个状态可量测或通过线性变换得到. 则可构造非奇异矩阵显然, 变换后的系统中, 可量测, 只需对 设计观测器即可. 降维观测器的设计降维观测器的设计6(5-13)显然, 变换后的系统中, 可量测, 只需对 设计观测器即可.(5-13) 以上经线性变换后的状态方程可化为令: 62 降维观测器的结构降维观测器的结构 降维观测器的设计降维观测器的设计6则可得以 为状态向量的 维子系统的状态空间模型:针对该子系统设计状态观测器即可. 降维观测器的设计降维观测器的设计6即:令:63 降维观测器的空间
14、表达式降维观测器的空间表达式 降维观测器的设计降维观测器的设计6则可推出:令:63 降维观测器的空间表达式降维观测器的空间表达式 降维观测器的设计降维观测器的设计6(5-14)则前面的降维观测器可化为 降维观测器的设计降维观测器的设计6该观测器称为 维龙伯格观测器.(5-15)(5-16)引入非奇异线性变换 则可得变换后的系统其中, 降维观测器的设计降维观测器的设计6或64 原系统状态估计原系统状态估计则原系统的状态估值为 原系统的状态估计变换后的系统的状态估值为 降维观测器的设计降维观测器的设计6本章小结本章小结状态反馈和状态观测器状态反馈和极点配置状态反馈与输出反馈表达式状态两种反馈形式的比较状态重构问题状态观测器的基本思想状态重构的等价性指标状态观测器的定义状态观测器的结构模型状态观测器的极点配置SISO状态反馈系统的极点配置极点配置法极点配置法的算法状态观测器的极点配置定理状态观测器的极点配置方法带观测器状态反馈闭环系统闭环系统的等价性分离原理降维观测器的设计n-l维状态观测器的设计降维观测器的结构降维观测器的空间表达式原系统状态估计
