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1、千古绝技千古绝技 “割圆术割圆术”苏 翃 重庆工学院 2008.6.4刘刘 徽徽 的的 大大 智智 慧慧1西方古代数学之神西方古代数学之神 阿基米德阿基米德给我一个支点，我就能撬动地球。2东方古代数学之神东方古代数学之神 刘徽刘徽观阴阳之割裂，总算术之根源。3中华文明难道是可“忽略” 的吗M.Kline 古今数学思想被 誉为“古今最好的一部数学史”该书高度赞誉古希腊文明 同时贬低中华文明 “希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。”“阿基米德是古代最伟大的数学家。他的几何学是古希腊数学的顶峰。”19081992“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文化，因为他们的工作对于数
2、学思想的主流没有重大影响。”4l 扑朔迷离的千古疑案l 博大精深的千古奇文l 神奇玄妙的千古绝技l 刘徽：古代数学之神内容提要内容提要这份报告旨在说明 刘徽在1800年前提出的“割圆术”达到了古今难以逾越的学术高度5数学史上一道千古难题数学史上一道千古难题圆是最基本 最常见的几何图形大小不同的圆中 存在具有普适意义的“不变量”圆周率 = 圆周长/直径 = 圆面积/半径 2数学不变量是重要的数学生长点数学不变量是重要的数学生长点在古代在古代 计算高精度的圆周率意义重大计算高精度的圆周率意义重大：l 衡量一个数学家的数学才能l 反映一个国家 一个民族的数学发展水平l 标志一个地区 一个时代科学技术
3、的发达程度6群星璀璨的数学奇观群星璀璨的数学奇观在近代数学史上 大多数数学家都亲自动手计算过圆周率 都亲身体验过 求值的艰辛 (法)韦达韦达(15401603)割圆到393 216393 216边形 准确到小数点后1010位(德)鲁道夫鲁道夫(1540-1610)割圆到 2 26464 边形 准确到小数点后3535位 鲁道夫数 铭刻墓碑上 直到19世纪(英)尚克斯尚克斯耗时15年 将 算到707707位 并刻在墓碑上 后计算机验算528528位起出错7圆周率精确计算的先驱者圆周率精确计算的先驱者上古普遍流行“周三径一”的说法认为圆的周长是其直径的3倍 这样有 史称古率古率 从现有的史料来看从现
4、有的史料来看 首创圆周率精密计算的是首创圆周率精密计算的是古希腊的阿基米德古希腊的阿基米德( (约公元前约公元前287287前前212212年年) )阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算西方圆周率计算就此沉寂一千多年就此沉寂一千多年8焚书坑儒留下历史空白焚书坑儒留下历史空白在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算刘徽据秦汉量器测算发现发现 当时所使用的圆周率约为当时所使用的圆周率约为 3
5、.143.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒焚书坑儒有关呢?9扑朔迷离的千古疑案扑朔迷离的千古疑案公元 5 世纪 南北朝祖冲之准确到小数点后 7 位称雄千年的一项数学成就称雄千年的一项数学成就祖冲之算法称祖冲之算法称“缀术缀术”缀术千年失传缀术千年失传中国古代最辉煌的数学成就中国古代最辉煌的数学成就竟是一桩千古疑案竟是一桩千古疑案10华罗庚先生的评说（华罗庚先生的评说（1963年）年）华罗庚 高等数学引论高等数学引论 第4章5 “祖冲之计算圆周率的方法”指出“祖冲之从圆的内接正六边形和外切正六边形出发。显然圆夹在这两个六边形之间，再做内接
6、的和外切的正12边形、正24边形、 ，边数愈多，内接的和外切的正多边边数愈多，内接的和外切的正多边形就愈接近圆的面积形就愈接近圆的面积。”华先生认为华先生认为 祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做法祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做法11钱宝琮先生的推测（钱宝琮先生的推测（19631963年）年）钱宝琮中国数学史中国数学史指出 “缀术失传，祖冲之推算圆周率的方法难以详考。”钱先生指出 如果直接用内接如果直接用内接与外切正多边形逼近圆周与外切正多边形逼近圆周 为为要获得祖冲之的圆周率要获得祖冲之的圆周率 要割要割到到 24576 24576 边形边形钱先生认为 祖冲之的祖冲之的“缀术缀术”是继承了魏晋
7、刘徽的是继承了魏晋刘徽的“割圆术割圆术” 他推测“祖冲之写了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，叫它缀述。”按钱先生的理解按钱先生的理解 “缀术缀术” 是割圆术的补充说是割圆术的补充说明明12博大精深的千古奇文博大精深的千古奇文魏晋刘徽九章算术注（公元263年）创建中华数学的理论体系创建中华数学的理论体系九章圆田术圆田术：圆面积=半周长半径刘徽圆田术注刘徽圆田术注 约约18001800字字 后世称后世称 “割圆术割圆术” 上篇上篇（263字） 深邃的极限思想深邃的极限思想中篇中篇（1264字）高明的逼近方法高明的逼近方法下篇下篇（159字） 玄妙的加速技术玄妙的加速技术13刘徽是怎样割圆的刘徽
8、是怎样割圆的割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割则与圆合体 而无所失矣14深邃的极限思想深邃的极限思想古希腊人在精神上对“无穷”怀有恐惧 阿基米德的著作总是谨慎地回避“取极限”“割圆术” 涵盖大学高等数学教材中 有关数列极限的基本知识 诸如 极限的定义 收敛性的判别 无穷小量概念等“中国的牛顿中国的牛顿”?近代数学之王近代数学之王 牛顿牛顿1643172715阿基米德的双侧逼近阿基米德的双侧逼近用内接外切正 96 边形逼近圆周 求得 内接多边形 弱近似外切多边形 强近似16高明的逼近方法高明的逼近方法用内接正用内接正 3072 3072 边形逼近圆周边形逼近圆周 求得求得弱近似 内接多边
9、形强近似 破缺的外切多边形破缺的外切多边形计算量节省一半史称 徽率徽率17割圆计算的刘徽算法割圆计算的刘徽算法动态的二分演化过程动态的二分演化过程 ( (倍增过程倍增过程) )取 递推计算递推计算证明基于勾股定理证明基于勾股定理18001800年前年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程用算筹实施的一项伟大的计算工程标准的计算机程序标准的计算机程序勾勾股股弦弦小弦小弦小股小股小勾小勾18一份珍贵的文化遗产一份珍贵的文化遗产割圆术这篇千古奇文提供了一个绝好的机会让今人亲眼瞧一瞧 刘徽这位古代数学泰斗 在1800年前 是怎样实施一项伟大的计算工程 进而提炼出割圆术这个千古绝技的用算筹实施的一项伟大的计
10、算工程用算筹实施的一项伟大的计算工程标准的计算机程序标准的计算机程序简单的重复生成复杂简单的重复生成复杂19刘徽的奇思妙想刘徽的奇思妙想 双侧逼近双侧逼近 立足于偏差偏差加速逼近加速逼近关键在于松弛因子关键在于松弛因子 的选择的选择刘徽适当选取 考察加速公式其中数据 很粗糙 阿基米德早已掌握20神奇玄妙的千古绝技神奇玄妙的千古绝技刘徽令刘徽令 并取半径并取半径100100寸寸 求得求得故有故有 刘徽据此断定刘徽据此断定用极其粗糙的数据加工出高精度的结果用极其粗糙的数据加工出高精度的结果石破天惊的伟大成就石破天惊的伟大成就21破解破解“缀术缀术”之谜之谜刘徽加速技术 祖冲之算法自称“缀术” 汉字
11、 “缀缀” 有两层涵义 缀合缀合 即 组合 缀补缀补 即 修补 校正结论：结论：祖冲之的祖冲之的 “缀术缀术” 源于刘徽的源于刘徽的 “割圆术割圆术”组合技术组合技术 校正技术校正技术22差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里修改松弛因子加速公式 千古辉煌千古辉煌 留给了两百年后的祖冲之留给了两百年后的祖冲之 n 963.14103 19513.14159 2534 1923.14145 24723.14159 26463.14159 2646 3843.14155 760823神机妙算神机妙算“割圆术割圆术”15世纪 阿拉伯人阿尔阿尔卡西卡西割到 805 306 368 （8亿多） 边形 精确
12、到小数点后17位运用刘徽的加速技术运用刘徽的加速技术调用数学软件Mathematica进行符号演算利用直到 384 边形的数据加工出的 值准确到小数点后18位24追踪混沌追踪混沌非线性迭代 倍周期分叉过程倍周期分叉过程确定 需要求解某个 阶非线性方程组当 增大时计算量急剧增长25一蹴而就创奇迹一蹴而就创奇迹运用刘徽的加速技术运用刘徽的加速技术加速算法： 人工手算胜过超级计算人工手算胜过超级计算k13. 000000 00003.571993 21423.449489 74283.569872 70233.544090 35063.569994 41743.564407 26613.569945
13、 55053.568759 41963.569945 66763.569691 609826刘徽：古代数学之神刘徽：古代数学之神深邃的极限思想深邃的极限思想 走到了微积分的大门口高明的逼近方法高明的逼近方法 一项伟大的计算工程玄妙的加速技术玄妙的加速技术 达到了古今不可逾越的学术高度27新时代呼唤新时代呼唤 “新科学新科学”Stephen Wolfram 1959年 生 15岁 发表粒子物理学术论文 22岁 被授予美国“天才人物奖” 研制 Mathematica 致富 隐姓埋名 潜心探索 “复杂性” 十余年20022002年年5 5月月 推出推出鸿篇巨著鸿篇巨著一种新科学一种新科学该书该书用丰
14、富的计算机实验证用丰富的计算机实验证明明 “ 简单的重复生成简单的重复生成复杂复杂 ” 声称声称 “宇宙原理只是区区几行程序宇宙原理只是区区几行程序代码代码”28“新科学新科学” 期盼期盼 “新思维新思维” 基本原理基本原理 简单的重复生成复杂简单的重复生成复杂 Wolfram 元胞自动机 人工生命 人工宇宙二分演化机制二分演化机制信息科学信息科学 需要需要 中华数学中华数学中华数学中华数学 必将必将 大放异彩大放异彩高效算法 高效网络 0 01 10-10-1近三年高等教育出版社出版相关著作两本教材 一本专著29爱因斯坦的迷茫爱因斯坦的迷茫西方科学发展以数学演绎西方科学发展以数学演绎和科学实验这两个伟大成和科学实验这两个伟大成就为基础。就为基础。 在我看来，中国的在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。是用不着惊奇的。要是这些发现果真都作出要是这些发现果真都作出来了，那倒是令人惊奇的来了，那倒是令人惊奇的事。事。”30 探究中西文明大碰撞探究中西文明大碰撞激扬中华先贤大智慧激扬中华先贤大智慧复兴先贤伟业复兴先贤伟业重振中华雄风重振中华雄风31谢谢 谢谢! !32
