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1、18.2 18.2 特殊平行四边形特殊平行四边形18.2.3 18.2.3 正方形正方形回顾：回顾：平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形, ,矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质? ?平行四边形平行四边形边边:角角:对角线对角线:对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等,邻角互补邻角互补对角线互相平分对角线互相平分矩形矩形矩形矩形角角:四个角是直角四个角是直角对角线对角线: 对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分边：边：边：边：对边平行且相等对边平行且相等具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质边
2、边: 四条边相等四条边相等对角线对角线:互相垂直平分互相垂直平分分别平分两组对角分别平分两组对角 对角相等对角相等,邻角互补邻角互补具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质角：角：平行四边形平行四边形情境一： 观察体会有一个直角有一个直角有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有
3、一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？问题问题: : 情景二情景二图中图中图中图中CDCD在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当当当当CDCD
4、移动到移动到移动到移动到C C D D 位置，此时位置，此时位置，此时位置，此时ADAD ABAB，四，四，四，四边形边形边形边形ABCDABCD还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？A AB BC CD DA AB BC C D D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCDABCDABCDABCD矩 形正方形正方形矩形矩形一组邻边相等时一组邻边相等时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢?探究（一）探究（一） 菱菱 形形正方形正方形探探 究（二）究（二）菱形菱形有一个角是直
5、角有一个角是直角时时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢?探究小结探究小结矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形发现：发现： 一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫正方形正方形如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？正方形定义1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？边边对角线对角线角角正方形对边平行正方形对边平行 四边相
6、等四边相等正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角正方形的对角线相等，互相垂直平分，正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。A AB BC CD DO O正方形是正方形是中心对称图形，中心对称图形，它也是它也是轴对称图形轴对称图形正方形是一个完美的图形正方形是一个完美的图形对对称称性性特特征征正方形是正方形是正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形, ,对称中心为点对称中心为点对称中心为点对称中心为点OO它也是它也是它也是它也是轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形, ,有有有有4 4条对称轴条对称轴条对称轴条对称轴(1)
7、(1)它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2)具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3)具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质四条边相等
8、；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)总结：总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性对称性平行四边形平行四边形 中心对称图形中心对称图形（对角线的交点）（对角线的交点）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称又是
9、轴对称图形图形（四条）（四条）正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行四边形平行四边形矩形矩形四边形四边形菱形菱形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A
10、、四个角相等四个角相等. B、对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分. C、对角互补对角互补. D、对角线相等对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等、四条边相等. B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. D、对角线相等、对角线相等.BD例题解析学一学学一学OABCD例1.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。分分析析分分 析析：这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明图中共有多
11、少个图中共有多少个图中共有多少个图中共有多少个等腰直角三角形？等腰直角三角形？等腰直角三角形？等腰直角三角形？学一学学一学例例2. 如图，在正方如图，在正方ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)求求ABD、DAC、DOC的度数。的度数。OABCD答案：1、八个 ABCBCD CDA DAB AOB AOD BOC COD 2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD3答案见课本答案见课本107页页例例3.如图四边形如图四边形ABCD和和D
12、EFG都是正方形，都是正方形，试说明试说明AE=CG解：解：解：解：因为四边形因为四边形因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得 AD=CDAD=CD又知四边形又知四边形又知四边形又知四边形DEFGDEFG也是正方形也是正方形也是正方形也是正方形所以所以所以所以 DE=DGDE=DG又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为9090所以所以所以所以ADEADEEDCEDCCDGCDGEDCEDC所以所以所以所以ADEA
13、DECDGCDG所以三角形所以三角形所以三角形所以三角形ADEADE可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形CDGCDG绕着点绕着点绕着点绕着点D D顺时针顺时针顺时针顺时针旋转旋转旋转旋转 9090 得到。得到。得到。得到。AEDAED CGDCGD所以所以所以所以AE=CGAE=CGA AB BC CD DE EF FGG已知：如图，点已知：如图，点E E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边CDCD上一点，上一点，点点F F是是CBCB的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BFDE=BF求证：求证：（1 1）AE=AFAE=AF；（；（2 2）EAA
14、FEAAF1 12 23 3练一练练一练练一练练一练证明：（1） ABCDABCD是正方形是正方形AD=ABAD=AB， ADE=ABF=90ADE=ABF=90在在ABFABF与与ADCADC中中AD=ABAD=ABADE=ABF=90ADE=ABF=90DE=BFDE=BF ABFADE ABFADE（SASSAS） F FA=EAA=EA ,1=31=3（2 2）2+3=90 2+3=90 1+2=90 1+2=90 EAFA EAFA 1 12 23 3A AC CB BD DE E若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？想一想：想一想：该怎样证明这些结论？O O 变一变变一
15、变如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点，PEBC于于E， PFDC于于F。试说明：。试说明：AP=EFABCDPEF解解:连接连接PCPEPEBC ， PFDC而四边形而四边形ABCD是正方形是正方形FCE=90FCE=90四边形四边形PECF是矩形是矩形PC=EF又又四边形四边形BAPCBAPC是以是以BDBD为轴的轴对称图形为轴的轴对称图形AP=PCAP=EF3.3.一正方形对角线长为一正方形对角线长为4,4,则它的面积为则它的面积为 8ABCD1 1正方形的两条对角线把正方形分成四个正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的全等的 _2.2.一正方形边长
16、为一正方形边长为4,4,则它的面积为则它的面积为 16等腰直角三角形等腰直角三角形4.正方形正方形ABCD的面积是的面积是9cm2。则则AB=_AC=_3cm5 5. .如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，点中，点E E是是CDCD边上一点，边上一点，连接连接AEAE交对角线交对角线BDBD于点于点F F，则图中全等三角则图中全等三角形共有（形共有（ ） A BC DE FCA.1A.1对对B.2B.2对对C.3C.3对对D.4D.4对对 6. ABCD是一块正方形场地，小华是一块正方形场地，小华和小芳在和小芳在AB边上取定了一点边上取定了一点E，经测经测量量EC=30m，EB=10m
17、，这块场地的这块场地的面积和对角线长分别是多少？面积和对角线长分别是多少？ADABCE解：解： 连接连接AC. 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=90，AB=BC EC=30m，EB=10m S正方形正方形ABCD=( )2=800(m2) 7.如图，在如图，在AB上取一点上取一点C，以以AC、BC为正方形的为正方形的一边在同一侧作正方形一边在同一侧作正方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1) ACFDCB (2) BHAF 证明：证明： 8.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合
18、部分的面积是A DA DB CB CO O O OP PQ QR R9、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。A A A AB D EB D EB D EB D EC C C CG FG FG FG F10、如图,以ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点求证：求证：CE=BGCE=BG；EG=2AMEG=2AMHMEDFGBCA归纳归纳1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。正方形的四条边都相等。3.正方形
19、的四个角都相等正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。且每一条对角线平分一组对角。OABCD有有有有 一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等 并且并且并且并且 有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形 是是是是 正方形正方形正方形正方形的的的的对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结
