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1、333 3 从模从模拟滤波器低通原型到各种数字波器低通原型到各种数字滤波器的波器的频率率变换原型原型变换对于模拟滤波器,曾经构成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有本人的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只需掌握原型变换，就可以经过归一化低通原型的参数，去设计各种实践的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可经过前面所讨论的各种变换运用于数字滤波器的设计，详细过程如下：原型变换映射变换原型变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化
2、原型经过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻下面举例讨论运用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的根本原理，着重讨论双线性变换法。一低通变换经过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。2由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。3根据k设计模拟滤波器的Ha(s)4把Ha(s)变换成H(z)数字滤波器传送函数例例1设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲呼应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲呼应不变法由于脉冲响不变法的频率关系
3、是线性的，所以可直接按c=2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率c归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传送函数为：以替代其归一化频率，得：也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以替代归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。 为进展脉冲呼应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式构造： 对照前面学过的脉冲呼应不变法中的部分分式方式 有 将上式部分系数代入数字滤波器的传送函数： , -极点 并将代入，得：合并上式后两项，并将代入，计算得：可见，HZ与采样周期T有关，T越小，HZ的相对增益越
4、大，这是不希望的。为此，实践运用脉冲呼应不变法时稍作一点修正，即求出HZ后，再乘以因子T,使HZ只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。例如，与的数字滤波器具有一样的传送函数，这一结论适宜于一切的数字滤波器设计。最后得：b.双线性变换法一首先确定数字域临界频率二根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传送函数并将代入上式。四将双线性变换关系代入，求H(Z)。图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲呼应不变法双线性变换法fs/2020040060080010001200140016001800200000.10.
5、20.30.40.50.60.70.80.91频率/Hz图3.14三阶巴特沃兹滤波器的频率呼应幅值图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处构成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点经过映射构成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲呼应不变法存在混淆,且没有传输零点。二.高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后经过脉冲呼应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻设计方
6、法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的高通、带通、带阻模拟滤波器的设计Ha(s)H(Z)直接利用模拟滤波器的低通原型，经过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。 变换方法的选用： 脉冲呼应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只 能在加了维护滤波器后才可运用。因此，使 用直接频率变换第二种方法，对脉冲响 应不变法要有许多特殊的思索，它普通运用 于第一种方法中。 双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实践运用中多数情况 也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计： 在模拟滤波
7、器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可运用于双线性变换，只需将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器. 即由于倒数关系不改动模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。即如图 映射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的外形与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因此经过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。1.01.00 图2 高通原型变换 该当明确：所谓高通DF，并不是高到，由于数字频域存在折叠频率，对于实数呼应的数字滤波器，部分只是的镜象部分，因此有效的数
8、字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用,不用加负号，因临界频率只需大小的意义而无正负的意义。例例：采样设计一个三阶切比雪夫高通DF，其经过频率但不用思索以上的频率分量，通带内损耗不大于1dB。解：首先确定数字域截止频率,那么切比雪夫低通原型的模函数为：为N阶切比雪夫多项式通带损耗 时，N=3时,系统函数为可由MATLAB计算获得：为方便，将和S用T/2归一化，那么于是图3 三阶切比雪夫高通频响例5书上设计一数字高通滤波器，它的通带为400500Hz，通带内允许有0.5dB的动摇，阻带内衰减在小于317Hz的频
9、带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。确定最小阶数N。模拟切比雪夫滤波器设计中阶数确实定公式为求得最小的N：wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid; xlabel() ylabel
10、(幅度/dB)频率/Hz切比雪夫高通滤波器幅度/dB三带通变换如图1,假设数字频域上带通的中心频率为，那么带通变换的目的是将:频率映射关系具有周期性,幅频呼应具有原点对称性。即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：模拟低通 图1 带通原型变换 当 时 因此 带通变换关系 图中 点正好映射在 上，而 映射在 ， 两端，因此满足带通变换的要求。带通变换的频率关系稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性要求，设由于上式完全是实数，所以是映射在S平面轴上。其中分子永远非负的，因此的正负决议于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换
11、关系，可用它来完成带通的变换，如图1。设计：设计带通时，普通只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了运用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：由于在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出例例又同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。：采样fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边境频率分别为f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：求 模 拟 低 通 的 通 带 截 止 频 率 与 阻 带 边 境 频 率 ：从
12、频率添加了约1.05倍，衰减添加了10-3dB，应选用二阶巴特沃兹滤波器可满足目的查表归一化的系统函数：代入，代入变换公式例6带通滤波器设计四带阻变换把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。给定例7w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1,w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid;xlabel(频率/Hz)ylabel(幅度/dB)频率/Hz巴特沃兹带阻滤波器幅度/dB3.4 3.4 从低通数字从低通数字滤波器到各种数字波器到各种数字滤波器的波
13、器的频率率变换Z Z平面平面变换法法上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进展。DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到Hz所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：各种DF的Hz于是，DF的原型变换可表为： 函数的特性：1)是的有理函数。2希望变换以后的传送函数坚持稳定性不变，因此要求u的单位圆内部必需对应于z的单位圆内部。3必需是全通函数。为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，假设以分别表示u平面和Z平面的单
14、位圆，那么式为且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必需恒为1，称为全通函数。全通函数的根本特性：任何全通函数都可以表示为：其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必需在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。的一切零点都是其极点的共轭倒数N：全通函数的阶数。变化时，相位函数的变化量为。不同的N和对应各类不同的变换。下面详细讨论几种原型变换：低通低通LPLPLP的变换中，和都是低通函数，只是截止频率互不一样或低通滤波器的带宽不同，因此当时，相应的，如图1(a)，根据全通函数相位变化量为的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必需满足以下两条件：g(1)=1,g(-1)=-1
15、满足以上要求的映射函数应为：其中是实数，且 图1(a) LP-LP变换有对称性 代入1式，可得到上述变换所反映的频率变换关系：由此得上式把，。频率特性:呈线性关系，其他为非线性。当时，带宽变窄，当时，带宽变宽，适中选择，可使变换为，如上图所示。:低通原型截止频率，:变换后截止频率LP-LP频率变换图 LP-LP频率变换特性 确定：把变换关系带入2式，有：得2式的频率关系，如图 LP-HPa.根本思想：上述LP变换中的Z代以Z,那么LP=HP。b.高通变换或LP-HP变换把如图2a，在上述LP-LP变换中，将Z代以Z,得LP-HP变换关系：原型低通的截止频率对应于高通的边境频率，欲将变换到，由2
16、式，有：LP-Hp变换图2(a)LPHp变换LP-BPLP-BP变换把带通的中心频率故N=2。由以上分析得变换关系：或如图3(a),全通函数取负号。LP-BP变换图3(a)LP-BP变换 把变换关系 代入2式得 ：消去 r1，得：令确定r1,r2：可证明，其中r1,r2代入2式，那么可确定频率变换关系，如图3b。LP-BP频率关系LPBS如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：1或2LP-BS变换图4(a)LP-BS变换确定r1,r2：把变换关系代入2式得：其中，r1,r2代入2式，得图4b,此频率变换关系与前面的分析相吻合。LP-BS频率变换关系LP-BS变换的又一种实现方法:由低通到带阻的变换同样可以经过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即其中的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带通公式求,最后可求得,如书中表格内表达式。低通
