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1、4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程n教学目标：教学目标： 1.1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程径写出圆的标准方程 2.2.会用待定系数法求圆的标准方程会用待定系数法求圆的标准方程n教学重点：圆的标准方程教学重点：圆的标准方程n教学难点：会根据不同的已知条件，利用教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程待定系数法求圆的标准方程 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线一条直线在平面直角坐标系中，
2、如何确定在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？一个圆呢？复习引入复习引入 当圆心位置与半径大小确定后，圆就惟一确定了当圆心位置与半径大小确定后，圆就惟一确定了因此一个圆最基本要素是因此一个圆最基本要素是圆心和半径圆心和半径引入新课引入新课 如下图，在直角坐标系中，圆心（点）如下图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用的位置用坐标坐标 (a,b) 表示，半径表示，半径r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心与圆心A (a,b) 的距离的距离xOyAMr图4.1-1 符合上述条件的圆的集合是什么？你能符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？用描述法来表示这
3、个集合吗？符合上述条件的点的集合：符合上述条件的点的集合：圆的方程圆的方程 圆上任意点圆上任意点M M( (x x, , y y) )与圆心与圆心A A ( (a a, ,b b) )之间的距离之间的距离能用什么公式表示？能用什么公式表示？圆的方程圆的方程根据两点间距离公式：根据两点间距离公式：则点则点M、A间的距离为：间的距离为：即：即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？个方程的坐标的点都在圆上？圆的标准方程圆的标准方程 点点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，
4、若点标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这就说明点这就说明点 M与与圆心的距离是圆心的距离是 r ，即点即点M在在圆心为圆心为A (a, b)，半径为半径为r的圆上的圆上 把这个方程称为圆心为把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为半径长为r 的圆的圆的方程，把它叫做的方程，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程.特殊位置的圆方程特殊位置的圆方程 因为圆心是原点因为圆心是原点O(0, 0)，将，将x0，y0和半径和半径 r 带入圆的标准方程：带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点圆心在坐标原点，半径长为半径长为r 的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？ 得得： 整理得整
5、理得： 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5的的圆的方程，并判断点圆的方程，并判断点 ， 是是否在这个圆上否在这个圆上 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的标准的圆的标准方程是：方程是：典型例题典型例题AxyoM1M2典型例题典型例题 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在在这个圆上；这个圆上； 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，的坐标代入此方程，左右两边不相等，点点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上不在这个圆
6、上 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上圆上，反之如果不成立则不在这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？点与圆的位置关系点与圆的位置关系 可以看到：点在圆外可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内点在圆内点到圆心的距离小点到圆心的距离小于半径于半径 r 图4.1-2AxyoM1MM3 例例2 2 的三个顶点的
7、坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1 1） 因为因为A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8) 8) 都在圆上，所以它们都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（的坐标都满足方程（1 1）典型例题典型例题 所以，所以， 的外接圆的方程为的外接圆的方程为 典
8、型例题典型例题解此方程组，得：解此方程组，得：于是有于是有 分析分析：已知道确定一个圆只：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小需要确定圆心的位置与半径大小. .圆心为圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)(1, 1)和和B(2,(2,2),2),由于圆心由于圆心C与与A, , B两点两点的距离相等的距离相等, ,所以圆心所以圆心C在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上. .又圆心又圆心C在在直线直线l 上上, ,因此圆心因此圆心C 是直线是直线l与与直线的交点直线的交点, ,半径长等于半径长等于| |CA| |或或| |CB| | 例例3 3 已知圆心为已知圆心为C 的圆经
9、过点的圆经过点A(1, 1)(1, 1)和和B(2, (2, 2)2)，且圆心且圆心C 在直线上在直线上l：x- -y+1=0+1=0，求圆心为求圆心为C 的圆的圆的标准方程的标准方程典型例题典型例题xyOlBACl图4.1-3因此线段因此线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是即即圆心圆心C C 的坐标是方程组的坐标是方程组的解，的解，典型例题典型例题直线直线AB AB 的斜率的斜率: : 解解：因为因为A A(1, 1)(1, 1)和和B B(2, (2, 2)2)，所以线段所以线段AB AB 的中点的中点D D 的的坐标为坐标为所以圆心所以圆心C C 的坐标是的坐标是圆心为
10、圆心为C C 的圆的半径长的圆的半径长所以，圆心为所以，圆心为C C 的圆的标准方程是：的圆的标准方程是：典型例题典型例题解此方程组，得解此方程组，得知识小结知识小结圆的基本要素圆的基本要素圆的标准方程圆的标准方程圆心在原点的圆心在原点的圆的标准方程圆的标准方程判断点与圆判断点与圆的位置关系的位置关系牢记牢记: : 圆的标准方程：圆的标准方程：(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2；明确：三个条件明确：三个条件a a、b b、r r确定一个圆；确定一个圆；方法：方法：待定系数法待定系数法 数形结合法数形结合法知识小结知识小结1.已知圆的方程是 ，则点P（3，2）满足（ ）A. 是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外练习练习2.已知一圆的圆心为(2,3)，半径长为6，则此圆的方程是 .
