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1、第二章逻辑代数基础第二章逻辑代数基础-1章目录章目录2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式 一、一、基本公式基本公式 二、异或、同或逻辑的公式二、异或、同或逻辑的公式 三、常用公式三、常用公式 2.4 2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 一、代入规则一、代入规则二、反演规则二、反演规则 三、对偶规则三、对偶规则 作业作业7/22/20242第二章 逻辑代数基础章目录章目录 第第2 2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.1 2.1 概述概述 一、三种基本逻辑关系：一、三种基本逻辑关系： 1.与逻辑：与逻辑：2.或逻辑：或逻辑：3.非逻辑：非逻辑：节目录节目录标题区标题区7/22/
2、20243第二章 逻辑代数基础章目录章目录ABELABELAELR(a) 说明与逻辑的电路说明与逻辑的电路(b) 说明或逻辑的电路说明或逻辑的电路(c) 说明非逻辑的电路说明非逻辑的电路图图2.1.1说明说明3种种基本逻辑的电路基本逻辑的电路开关闭合开关闭合：条件（原因）：条件（原因）灯亮灯亮：事件（结果）：事件（结果）节目录节目录标题区标题区7/22/20244第二章 逻辑代数基础章目录章目录观察与思考1. 列举日常生活中具有与逻辑关系的事例。列举日常生活中具有与逻辑关系的事例。彩票中奖；彩票中奖；通过火车站检票口；通过火车站检票口；打开具有电磁锁和机械锁的门；打开具有电磁锁和机械锁的门；种
3、子发芽；种子发芽；7/22/20245第二章 逻辑代数基础章目录章目录二、逻辑变量：二、逻辑变量： 用来描述用来描述只有两种对立的状态只有两种对立的状态的对象，如各种器的对象，如各种器件，用字母等表示。只有两种取值件，用字母等表示。只有两种取值 “0”和和“1” ：如：如：S-开关，开关，L-灯。灯。节目录节目录标题区标题区7/22/20246第二章 逻辑代数基础章目录章目录2.真值表真值表 ：(1)列真值表方法列真值表方法 ：输入输入输出输出A BF0 010 101 001 11(2) 逻辑函数相等定义逻辑函数相等定义 ：表表 2.1.1三、逻辑函数及其表示方法：三、逻辑函数及其表示方法：
4、 1.逻辑函数概念：逻辑函数概念： 真值表真值表 相同相同。节目录节目录标题区标题区7/22/20247第二章 逻辑代数基础章目录章目录例：如下图所示，用两个例：如下图所示，用两个“单刀双掷单刀双掷”开关控制楼道灯，试列开关控制楼道灯，试列出该电路的真值表。出该电路的真值表。解：用逻辑变量解：用逻辑变量x1、x2、y分别表示开关分别表示开关A、B、灯、灯L。设开关。设开关A（或（或B）的）的“刀刀”位于上触点位于上触点a(或或b)时，时，x1、x2为为1，位于下触，位于下触点时，点时，x1、x2为为0；灯；灯L亮，亮，y为为1，灯，灯L灭，灭，y为为0。真值表如下：。真值表如下：节目录节目录标
5、题区标题区ABL7/22/20248第二章 逻辑代数基础章目录章目录输入输入输出输出x1 x2y0 010 101 001 113.逻辑表达式逻辑表达式 ：F = a b c d节目录节目录标题区标题区7/22/20249第二章 逻辑代数基础章目录章目录2.2 2.2 逻辑代数中的运算逻辑代数中的运算 一、三种基本逻辑：一、三种基本逻辑： 1.与运算：与运算： (1) 算符算符“ ”（或者（或者“”、“”、“”、“AND”)(2) 运算规则运算规则 0 0 = 0 1 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1(3) 逻辑表达式：逻辑表达式：F = A B节目录节目录标题区标题区7/22/20
6、2410第二章 逻辑代数基础章目录章目录(4) 逻辑符号逻辑符号2.或运算：或运算： (1) 算符算符“ ”（或者（或者“”、“”、“OR”)(2) 运算规则运算规则 0 0 = 0 1 0 = 1 0 1 = 1 1 1 = 1节目录节目录标题区标题区7/22/202411第二章 逻辑代数基础章目录章目录(3) 逻辑表达式：逻辑表达式：F = A B(4) 逻辑符号逻辑符号3.非运算：非运算： (1) 算符算符“ ”(2) 运算规则运算规则 0 = 1 1 = 0节目录节目录标题区标题区7/22/202412第二章 逻辑代数基础章目录章目录(3) 逻辑表达式：逻辑表达式：(4) 逻辑符号逻辑
7、符号F = A节目录节目录标题区标题区7/22/202413第二章 逻辑代数基础章目录章目录4. 实现电路：实现电路： 二极管与门电路二极管与门电路 (1) 与门与门 状态表状态表 输输 入入 输输 出出 uA(V) uB(V)uF(V)0 0 00 3 0 3 0 0 3 3 3节目录节目录标题区标题区7/22/202414第二章 逻辑代数基础章目录章目录 真值表真值表 输输 入入 输输 出出 A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 逻辑符号逻辑符号 国标国标 曾用曾用 美国美国 节目录节目录标题区标题区7/22/202415第二章 逻辑代数基础章目录章目录 二极管或门电
8、路二极管或门电路 (2) 或门或门 状态表状态表 输输 入入 输输 出出uA(V) uB(V)uF(V)0 0 00 3 3 3 0 3 3 3 3节目录节目录标题区标题区7/22/202416第二章 逻辑代数基础章目录章目录 真值表真值表 输输 入入 输输 出出 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 逻辑符号逻辑符号 节目录节目录标题区标题区7/22/202417第二章 逻辑代数基础章目录章目录 三极管非门电路三极管非门电路 (3) 非门非门 状态表状态表 输输 入入 输输 出出 uA(V) uF(V) 0 3 3 0 节目录节目录标题区标题区7/22/202418第二
9、章 逻辑代数基础章目录章目录 真值表真值表 输入 输出 A F 0 1 1 0 逻辑符号逻辑符号 节目录节目录标题区标题区7/22/202419第二章 逻辑代数基础章目录章目录二、复合逻辑运算：二、复合逻辑运算： 1.与非运算：与非运算： (1) 逻辑表达式：逻辑表达式：F = AB(2) 逻辑符号逻辑符号由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算节目录节目录标题区标题区7/22/202420第二章 逻辑代数基础章目录章目录.或非运算：或非运算： (1) 逻辑表达式：逻辑表达式：F = AB(2) 逻辑符号逻辑符号节目录节目录标题区标题区7/22/202421
10、第二章 逻辑代数基础章目录章目录.与或非运算：与或非运算： (1) 逻辑表达式：逻辑表达式：F = ABCD(2) 逻辑符号逻辑符号节目录节目录标题区标题区7/22/202422第二章 逻辑代数基础章目录章目录4.异或运算：异或运算： (1) 逻辑表达式：逻辑表达式：(2) 逻辑符号逻辑符号F = A B = AB + AB节目录节目录标题区标题区7/22/202423第二章 逻辑代数基础章目录章目录5.同或运算：同或运算： (1) 逻辑表达式：逻辑表达式：(2) 逻辑符号逻辑符号F = A B = A B + A B节目录节目录标题区标题区7/22/202424第二章 逻辑代数基础章目录章目
11、录2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式 一、一、基本公式基本公式 ： 1.自等律自等律 A + 0 = A A 1 = A 2.吸收律吸收律 A + 1 = 1 A 0 = 0 3.重叠律重叠律 A + A = A A A = A 4.互补律互补律 5.还原律还原律 A = A A + A = 1 A A = 06.交换律交换律 A + B = B + A A B = B A 节目录节目录标题区标题区7/22/202425第二章 逻辑代数基础章目录章目录7.结合律结合律 A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A B C= (A B) C = A (
12、B C)8.分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC= (A + B) (A + C) 9.反演律反演律 A + B = A B AB = A + B 基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。节目录节目录标题区标题区7/22/202426第二章 逻辑代数基础章目录章目录二、异或、同或逻辑的公式二、异或、同或逻辑的公式 1. 异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符 2. 多个变量的异或、同或间关
13、系多个变量的异或、同或间关系(1)偶数个变量的异或、同或互补偶数个变量的异或、同或互补(2)奇数个变量的异或、同或相等奇数个变量的异或、同或相等A1 A2 An = A1 A2 An (n为偶数为偶数)A1 A2 An = A1 A2 An (n为奇数为奇数)节目录节目录标题区标题区7/22/202427第二章 逻辑代数基础章目录章目录3. 多个常量的异或、同或运算多个常量的异或、同或运算(1)异或时，起作用的是异或时，起作用的是 “1” 的个数的个数 0 0 = 0 0 0 0 = 0 1 1 = 0 1 1 1 = 1 (2)同或时，起作用的是同或时，起作用的是 “0” 的个数的个数 0
14、0 = 1 0 0 0 = 0 1 1 = 1 1 1 1 = 1 节目录节目录标题区标题区7/22/202428第二章 逻辑代数基础章目录章目录三、常用公式三、常用公式 1.合并相邻项公式合并相邻项公式 AB + AB = A2. 消项公式消项公式 A + AB = A3. 消去互补因子公式消去互补因子公式 A + AB = A + B4. 多余项（生成项）公式多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC证明：证明：AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A )BC= AB + AC + ABC + ABC= AB + AC节目录节目录标题区标题区7/
15、22/202429第二章 逻辑代数基础章目录章目录2.4 2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 一、代入规则：一、代入规则： 适用于等式适用于等式设设 F1( x1, x2, ,xn ) = F2( x1,x2, ,xn)则则 F1( G, x2, ,xn ) = F2( G,x2, ,xn)例：已知 AB + AB = A 若令G = AB, H = CD并把等式两边的并把等式两边的A、B 分别用函数分别用函数G、H 代替，代替，则有：ABCD + ABCD = AB节目录节目录标题区标题区7/22/202430第二章 逻辑代数基础章目录章目录二、反演规则二、反演规则 ： 用于求反函
16、数用于求反函数 F F + 1 0 A A+ 0 1A A注意：注意： (1) 与运算优先或运算，与运算优先或运算，若有括号，先算括号内若有括号，先算括号内 (2) (2) 不属于单个变量上不属于单个变量上的非号，在变换时应保的非号，在变换时应保留留 节目录节目录标题区标题区7/22/202431第二章 逻辑代数基础章目录章目录例例1：若：若 F = A B + C D， 试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。例例2：若：若 F = A + B+C D， 试用反演规则求反函数试用反演规则求反函数 F。解：解： F = A B C + D解：解：F = ( A + B ) ( C + D
17、 )节目录节目录标题区标题区7/22/202432第二章 逻辑代数基础章目录章目录常用关系式：常用关系式：(1) F = F；(2) 若若 F = G ，则，则 F = G ；反之也成立。；反之也成立。节目录节目录标题区标题区7/22/202433第二章 逻辑代数基础章目录章目录三、对偶规则三、对偶规则 ： 用于等式的证明用于等式的证明 F F + 1 0 + 0 1注意：注意： (1) 与运算优先或运算，与运算优先或运算，若有括号，先算括号内若有括号，先算括号内 (2) (2) 不属于单个变量上不属于单个变量上的非号，在变换时应保的非号，在变换时应保留留 节目录节目录标题区标题区7/22/2
18、02434第二章 逻辑代数基础章目录章目录常用关系式：常用关系式：(1) ( F) = F；(2) 若若 F = G ，则，则 F = G ；反之也成立。；反之也成立。节目录节目录标题区标题区7/22/202435第二章 逻辑代数基础章目录章目录原函数原函数反函数反函数对偶函数对偶函数三种函数间转换关系三种函数间转换关系反演规则反演规则对偶规则对偶规则？节目录节目录标题区标题区7/22/202436第二章 逻辑代数基础章目录章目录将将 F中的变量原、反互换后即可得到中的变量原、反互换后即可得到 F。F F + 1 0 A A+ 0 1A AF F + 1 0 + 0 1节目录节目录标题区标题区
19、+ 0 1AA 原函数原函数反函数反函数对偶函数对偶函数F 7/22/202437第二章 逻辑代数基础章目录章目录将将 F中的变量原、反互换后即可得到中的变量原、反互换后即可得到 F ；F F + 1 0 A A+ 0 1A AF F + 1 0 + 0 1节目录节目录标题区标题区原函数原函数反函数反函数对偶函数对偶函数+ 0 1A AF A AAA 7/22/202438第二章 逻辑代数基础章目录章目录原函数原函数反函数反函数对偶函数对偶函数三种函数间转换关系三种函数间转换关系反演规则反演规则对偶规则对偶规则？节目录节目录标题区标题区变量原、反互换变量原、反互换7/22/202439第二章
20、逻辑代数基础章目录章目录例例1：已知：已知 A 0 = A，则其对偶公式为：，则其对偶公式为：A 1 = A例例2：已知：已知 F = A B ，则其反函数可写为：，则其反函数可写为：即即 A B = A BABF =与反演律与反演律 A+B = A B 形式类似形式类似节目录节目录标题区标题区7/22/202440第二章 逻辑代数基础章目录章目录思考题思考题1.事物间的基本因果关系有几种？分别是什么？事物间的基本因果关系有几种？分别是什么？2.一个逻辑变量的取值有几种？分别是什么？一个逻辑变量的取值有几种？分别是什么？3.如何理解如何理解1+1=1？4.解释概念：逻辑相邻项。解释概念：逻辑相
21、邻项。5.多个常量异或运算的结果如何确定？多个常量异或运算的结果如何确定？6.对偶函数和反函数如何相互转换？对偶函数和反函数如何相互转换？7/22/202441第二章 逻辑代数基础章目录章目录作业题作业题2.3(1)(3)标题区标题区2.47/22/202442第二章 逻辑代数基础章目录章目录逻辑代数逻辑代数的产生的产生又因为布尔代数中的常量、变量都只有又因为布尔代数中的常量、变量都只有“真真”（True）和和“假假”（False）两种取值，所以也称为）两种取值，所以也称为二值代数二值代数。1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治.布尔布尔(George Boole)首先提出，首先提出，用来描述用来描述和研究客观世界中事物间和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学方逻辑关系的数学方法法称为称为布尔代数布尔代数。它把事物间逻辑关系简化为它把事物间逻辑关系简化为符符号间的数学运算号间的数学运算。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为设计，所以也称为开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数。7/22/202443第二章 逻辑代数基础
