《2.3垂径定理 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3垂径定理 (2)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 垂径定理第2章 圆学习目标1.进一步认识圆，了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）导入新课导入新课问题引入问题1圆是轴对称图形吗？问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形其对称轴是直径所在的直线 无数条问题3你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课导入新课讲授新课讲授新课垂径定理及其推论一做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直
2、径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？OABDP互动探究C线段: AP=BP弧: AC=BC, AD=BD理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合OABDPC想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？OABDCP试一试已知：在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC,AD =BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.ABCD，AP=BP， AC =BC.AD =BD，AOC=BOC.
3、从而AOD=BOD.u垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB，(条件) AP=BP, AC =BC,AD =BD.(结论)归纳总结u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC例1 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，O中弦ABCD, 求证：ACBD.证明：作直径M
4、NAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM AMCMBMDMACBD.MCDABON典例精析例2 如图，O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA， CEAB于D，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2， 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦； 平分弦；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？OABDCP已知：在O中，CD是直径，AB是弦
5、（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：ABCD， AC =BC,AD =BD.试一试证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.P是AB的中点，ABCD.即AP=BP， CD是直径，CDAB， AC =BC,AD =BD.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平
6、分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例3 如图，在O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2求的O半径典例精析解：连接AO，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，OCAB，AB=12，AD=BD=6，设O的半径为R，CD=2，在RtAOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2，即：R2=（R-2）2+62，R=10即，O的半径为10 你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试垂径定理的实际应用二ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点
7、C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m. AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd d+h=r OABC 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.
8、 C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 练一练例4 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径典例精析解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，OEAB于F，AF= AB=3m，设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，AO=r，OF=r-2，在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+（r-2）2，解得r= m即，AB所在圆O的半径为 m当堂练习当堂练习1.如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.16OABE2.如图，在O中，AB、AC为
9、互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明： 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.O.ACDBE5.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm4. 如图，在ABC中，已知ACB=130
10、，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_ 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC. OCDEF设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.两 条 辅 助 线 ：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结
