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1、第 课时开放性问题开放性问题是指那些答案不唯一、 解题方向不确定, 条件( 或结论) 不止一种情况的数学问题开放性问题的答案通常没有最好, 只有更好解答开放性试题, 需要对问题进行多方面、 多角度、 多层次的思考、 审视, 能够培养和检查学生的发散思维能力和探索能力, 有利于克服“ 题海战术” 等消极现象开放性试题大致可以分为四类: () 条件开放型; () 结论开放型; () 策略开放型; () 综合开放型等类型一条件开放型典例()(
2、;山东潍坊)如图() 所示,A BD B,A B D C B E, 请 你 添 加 一 个 适 当 的 条 件, 使A B CD B E( 只需添加一个即可)()()()( 江苏盐城)如图() , 在四边形A B C D中, 已知A BD C,A BD C在不添加任何辅助线的前提下, 要想该四边形成为矩形, 只需再加上的一个条件是( 填上你认为正确的一个答案即可)()( 湖南郴州)如图() ,D、E分别是A B C的边A B、A C上的点, 连接D E, 要使AD EA C B, 还需添加一个条件( 只需写一个)()【 解析】() 因 为 根 据A B
3、D C B E可 以 得 到A B CD B E, 因此要使A B CD B E, 只要利用“ 角边角” “ 边角边” “ 角角边” 分别写出第 三个条件即可 若用 “ 角边 角” , 需添加B D EB A C;若用“ 边角边” , 需添加B EB C;若用“ 角角边” , 需添加A C BD E B() 由已知条件可得四边形A B C D是平行四边形, 要使其是矩形,只要有下面三类条件之一, 那么该四边形就是矩形一是一个内角为直角; 二是相邻两角相等; 三是对角互补() 由A是公共角, 利用有两角对应相等的两三角形相似, 即可得可添加条件AD EC或A E DB; 又由两组对应边的比相等且
4、夹角对应相等的两个三角形相似, 即可得可添加条件ADA CA EA B或ADA BA EA C等【 全解】() 答案不唯一, 比如:B D EB A C或B EB C或A C BD E B() 答案不唯一, 比如:A 或A B或AC () 答 案 不唯 一, 如:AD E C或A E D B或ADA CA EA B或ADA BA EA C等【 小结】解决条件开放题的基本思路是: 从所给结论出发, 探索和寻求使题目结论成立的条件通常根据“ 执果索因”的原则, 多层次、 多角度地加以思考和探究类型二结论开放型典例( &
5、#1048945;广西云南)写出一个大于且小于的无理数【 解析】由于所求无理数大于且小于, 将两数平方得大于小于 , 我们可以选其中间的一个开方开不尽的数即可如,等【 全解】答案不唯一, 如:,等【 提醒】结论开放题与常规题的相同点是: 它们都给出了已知条件( 题设) , 要求寻求结论; 区别是前者的条件一般较弱, 结论通常在两个以上, 解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与; 而后者答案一般只有一个, 解题目标大多比较明确类型三策略开放型典例( 黑龙江哈尔滨)图() 、 图() 是两张形状、大小完全相同的方格纸, 方格纸中的每个小正方形的边长均为点A和点B在小正方形
6、的顶点上() 在图() 中画出A B C( 点C在小正方形的顶点上) ,使A B C为直角三角形( 画一个即可) ;() 在图() 中画出A B D( 点D在小正方形的顶点上) ,
7、
8、热点题型探究使A B D为等腰三角形( 画一个即可)()()【 解析】本题选用策略不同, 可以获得不同的画图方法() 根据网格的直角作图, 此法比较简单我们有下面两个策略画出A B C( 点C在小正方形的顶点上) , 使A B C为直角三角形策略: 过点A的竖直线和过点B的水平线交于点C, 连接即成直角三角形, 如答案图() ;策略: 过点A的水平线和过点B的竖直线交于点C, 连接即成直角三角形,
9、 如答案图() ;因为正方形网格的边长为, 由勾股定理, 得A B ,因此只要使 另 两 边 的 平 方 和 等 于 , 由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 知,A B C即为直角三角形比如使一边长为, 另一边长为 , 这样()( ) 由此我们有下面两个策略画出A B C( 点C在小正方形的顶点上) , 使A B C为直角三角形策略: 以点A为一个锐角顶点, 画出一条自左向右下降长为 ( 水平为格, 铅直为格的直角三角形的斜边为 ) , 以点B为一个锐角顶点, 画出一条自右向左下降长为( 水平为格, 铅直为格的直角三角形的斜边为 ) 的两边, 即得直角三角形A B C, 如答案图() ;策
10、略: 类似的, 可画出如答案图() 的直角三角形A B C() 因为A B, 根据网格结构作出与A B相等的边即可比如作出B DA B或A BAD等因此我们有下面四个策略画出A B D( 点D在小正方形的顶点上) , 使A B D为等腰三角形策略: 过点A水平为格, 铅直为格, 自左向右下降长为的边, 连接即得A B D, 如图()策略: 过点B水平为格, 铅直为格, 自右向左上升长为的边, 连接即得等腰A B D, 如图()策略: 过点A自左向右画水平为格作为一边, 连接即得等腰A B D, 如图()策略: 过点B自右向左画水平为格作为一边, 连接即得等腰A B D, 如图()【 全解】()
11、 答案不唯一, 比如, 图()图() 只要画出一个即可()()()()() 答案不唯一, 比如, 图()图() 只要画出一个即可()()()()【 小结】策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、 策略有多种, 造成多个答案各具特色, 解答时应根据优劣选择出最佳解答解策略型开放题的一般思路是: 对已有条件进行发散联想, 努力提出满足条件和要求的各种方案和设想, 并认真加以研究和验证, 直至完全符合要求为止解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想, 作多方面设计与思考类型四综合开放型典例( 福建漳州)在数学课上, 林老师在黑板上画出如图所示的图形(
12、其中点B、F、C、E在同一直线上) , 并写出四个条件:A BD E;B FE C;BE;请你从这四个条件中选出三个作为题设, 另一个作为结论, 组成一个真命题, 并给予证明题设:; 结论:( 均填写序号)证明:【 解析】本题条件和结论都没有给出, 根据自己的喜好选择题设和结论, 组成一个真 命题, 并 给予证明 即 可此 题 可 以 分 成 三 种情况:情况一: 题设:; 结论:可以利用S A S定理证明A B CD E F;情况二: 题设:; 结论:可以利用AA S证明A B CD E F;情况三: 题设:; 结论:可以利用A S A证明A B CD E F, 再根据全等三角形的性质可推出
13、结论【 全解】答案不唯一, 只要选用下面任何一种情况即可情况一: 题设:; 结论:证明:B FE C,B FC FE CC F,即B CE F在A B C和D E F中,A BD E,BE,B CE F,A B CD E F(S A S);情况二: 题设:; 结论:证明: 在A B C和D E F中,A BD E,BE,A B CD E F(AA S) ,B CE FB CF CE FF C,即B FE C;情况三: 题设:; 结论:证明:B FE C,B FC FE CC F,
14、6;
15、6;
16、6;
17、6;即B CE F,在A B C和D E F中,BE,B CE F,A B CD E F(A S A)A BD E【 小结】综合开放题是指问题的条件、 结论或解法等至少有两项同时呈现开放形式的数学问题综合开放题没有明确、 固定的解题思路, 解答时思路必须开阔, 思维必须敏捷, 要善于抓住题目中的关键语句, 采用各种变通的方法和变式演化, 进行横向联系和纵向比较, 设计出多种解题方案来考试时, 若没有其他要求, 可选用简单的进行解答
18、051276;( 山东德州)在四边形A B C D中,A BC D, 要使四边形A B C D是中心对称图形, 只需添加一个条件, 这个条件可以是( 只要填写一种情况)( 浙江衢州)试写出图象位于第二、 四象限的一个反比例函数的解析式( 湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:( 黑 龙 江 鸡 西)如 图, 已 知A CB D, 要 使A B CD C B, 则只需添加一个适当的条件是( 填
19、一个即可)( 第题)( 第题)( 江西)如图, 已知正五边形A B C D E, 请用无刻度的直尺, 准确地画出它的一条对称轴( 保留作图痕迹)( 山西)实践与操作: 如图() 是以正方形两顶点为圆心, 边长为半径, 画两段相等的圆弧而成的轴对称图形, 图() 是以图() 为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形()()()()( 第题)() 请你仿照图() , 用两段相等圆弧( 小于或等于半圆) ,在图() 中重新设计一个不同的轴对称图形;() 以你在图() 中所画的图形为基本图案, 经过图形变换在图() 中拼成一个中心对称图形(
20、5;四川广元)如图, 在A E C和D F B中,EF,点A、B、C、D在同一直线上, 有如下三个关系式:A ED F;A BC D;C EB F() 请用其中两个关系式作为条件, 另一个作为结论, 写出你认为正确的所有命题; ( 用序号写出命题书写形式:“ 如果、, 那么” )() 选择() 中你写出的一个命题, 说明它正确的理由( 第题)
21、6;
22、6;【 基础达标】( 湖南娄底)写出一个x的值, 使|x |x成立,你写出的x的值是( 陕西)在同一平面直角坐标系中, 若一个反比例函数的图象与一次函数yx的图象无公共点, 则这个反比例函数的表达式是( 只写出符合条件的一个即可)( 四川绵阳)如图,B CE C, 要使A B CD E C, 则应添加的一个条件为( 第题)( 第题)( 山东菏泽)如图,D A BC A E, 请补充一个条件:, 使A B CAD E( 浙江义乌)如图, 在A B C中, 点
23、D是B C的中点, 作射线AD, 在线段AD及其延长线上分别取点E、F, 连接C E、B F添加一个条件, 使得B D F C D E, 并加以证明你添加的条件是( 不添加辅助线)( 第题)( 云南丽水)写出一个比大的无理数( 天津)将正比例函数yx的图象向上平移, 则平移后所得图象对应的函数解析式可以是( 写出一个即可)【 综合拓展】( 浙江温州)如图, 在方格纸中的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形i
24、1276;热点题型探
25、究() 在图() 中画出一个三角形与P Q R全等;() 在图() 中画出一个三角形与P Q R面积相等但不全等()()( 第题)( 江西南昌)如图, 有两个边长为的正方形, 将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形,用这三个图片分别在网格备用图的基础上( 只要再补出两个等腰直角三角形即可) , 分别拼出一个三角形、 一个四边形、 一个五边形、 一个六边形( 第题) ( 江苏扬州)先化简:aaaaa, 再选取一个合适的a值代入计算 ( 江苏南京)看图说故事请你编写一个故事, 使故事情境中出现的一对变量x,y满足图示的函数
26、关系, 要求:指出变量x和y的含义;利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义,其中须涉及“ 速度” 这个量( 第 题) ( 湖北天门)如图, 飞机沿水平方向(A、B两点所在直线) 飞行, 前方有一座高山, 为了避免飞机飞行过低, 就必须测量山顶M到飞行路线A B的距离MN飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离( 因安全因素, 飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离) , 请设计一个求距离MN的方案, 要求:() 指出需要测量的数据( 用字母表示, 并在图中标出) ;() 用测出的数据写出求距离MN的步骤( 第 题)
27、;
28、;
29、;
30、;热点题型探究第 课时开放性问题【 当堂过关】答案不唯一, 比如:ADB C或A BC D或BC 或AD 等答案不唯一, 比如yx或yx等答案不唯一, 比如x或x等答案 不 唯 一, 比 如:A BD C或A C B D B C等如图所示, 直线AK即为所求的一条对称轴( 解答不唯一)( 第题)答案不唯一, 只要符合题目要求即可() 在图() 中设计出符合题目要求的图形() 在图() 中画出符合题目要求的图形()()( 第题)() 如果, 那么; 如果, 那么() 若选择如果
31、, 那么,证明如下:A ED F,ADA BC D,A BB CB CC D, 即A CD B在A C E和D B F中,EF,AD,A CD B,A C ED B F(AA S)C EB F;若选择如果, 那么,证明如下:A ED F,AD在A C E和D B F中,EF,AD,E CF B,A C ED B F(AA S)A CD BA CB CD BB C, 即A BC D【 课后精练】答案不唯一, 比如:( 只要大于的实数即可)答案不唯一, 比如y xykx, 只要k即可()答案不唯一, 比如:A CC D或BE等答案不唯一, 比如:DB或A E DC() 添加的条件是:D ED F(
32、 或C EB F或E C DD B F或D E CD F B等)() 证明如下: 在B D F和C D E中,B DC D,E D CF D B,D ED F,B D FC D E答案不唯一, 比如: 等答案不唯一, 比如:yx等() 答案不唯一, 符合要求即可比如:()()() 答案不唯一, 符合要求即可比如:()()( 第题)答案不唯一, 如图所示, 只要是符合题意的图形即可( 第题) 原 式 aaaaa aaa(a)(a) (a) aaaaaaaa取除,以外的数, 如取a , 原式 本题答案不唯一, 下列解法供参考该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y( 单位:k m) 与他所用的时间x( 单位:m i n) 的关系小明以 m/m i n的速度匀速骑了m i n, 在原地休息了m i n, 然后以 m/m i n的速度匀速骑车回出发地 此题为开放题, 答案不唯一, 只要方案设计合理即可() 如图, 测出飞机在A处对山顶的俯角为, 测出飞机在B处对山顶的俯角为, 测A B的距离为d, 连接AM、BM( 第 题)() 第一步, 在R t AMN中,t a nMNAN,ANMNt a n第二步, 在R t BMN中,t a nMNBN,BNMNt a n其中ANdBN, 解得MNdt a nt a nt a n t a n
