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1、文数课标版第八节函数与方程1.函数零点的定义函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.教材研读教材研读2.函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤第
2、一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步. 判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不间断),则f(a)f(b)0.()
3、(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.() 1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案答案C对于选项C,由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的,故不能用二分法求解.2.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案答案B由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f
4、(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有3个零点.故选B.x123456y124.435-7414.5-56.7-123.63.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(4,+)答案答案B易知f(x)为增函数,由f(2)=ln2-10,得f(2)f(3)0.故选B.4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案B函数f(x)=ex+3x在R上是增函数,f(-1)=-30,f(-1)f(0)0,函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B.5.函数y=-m
5、有两个零点,则m的取值范围是.答案答案(0,1)解析解析在同一直角坐标系内,画出y1=和y2=m的图象,如图所示,由于原函数有两个零点,故0m0,f(0)=1,f(-1)=-1,f(0)f(-1)0,f(2)=5,f(1)=2,f(2)f(1)0,又f(1)=ln1-=ln1-20,f(2)=ln2-0,x0(2,3),故选C.方法技巧方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根落在给定区间上进行判断;(2)利用零点存在性定理进行判断;(3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.1-1函数f(x)=+ln的零点
6、所在的大致区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)答案答案Bf(x)=+ln=-ln(x-1),其在定义域(1,+)上是减函数.当1x2时,ln(x-1)0,即f(x)0,故函数在(1,2)上没有零点.f(2)=-ln1=10,f(3)=-ln2=,因为=22.828,所以e,故lneln,即1ln8,所以2ln8,即f(3)0,根据零点存在性定理可知函数f(x)在(2,3)上存在零点,故选B.1-2若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)
7、和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内答案答案A易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又ab0,f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,选A.考点二判断函数零点的个数考点二判断函数零点的个数典例典例2(1)(2016湖北华师一附中3月联考)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2016江西高安中学等九校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=16,当x(0,4时,f(x
8、)=x2-2x,则函数f(x)在-4,2016上的零点个数是()A.504B.505C.1008D.1009答案答案(1)C(2)B解析解析(1)g(x)=f(1-x)-1=g(x)=当x1时,函数g(x)有1个零点;当x1时,函数g(x)有2个零点,所以函数g(x)的零点个数为3,故选C.(2)f(x)+f(x+4)=16,f(x+4)+f(x+8)=16,f(x)=f(x+8),函数f(x)是R上周期为8的函数;又f(2)=f(4)=0,2020=8252+4,f(2)=f(10)=f(18)=f(8251+2),f(-4)=f(4)=f(8251+4),故函数f(x)在-4,2016上的
9、零点个数是251+1+251+2=505,故选B.方法技巧方法技巧1.判断零点个数的方法:直接求零点:令f(x)=0,求解方程,有几个解就有几个零点;利用零点存在性定理:利用定理不仅要求函数图象在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,即x1时,f(x)=1-lnx,此时,令f(x)=0,得x=e1;当x-1=0,即x=1时,f(x)=0-ln1=0;当x-10,即x1时,f(x)=-1-lnx,此时,令f(x)=0,得x=1.因此,函数f(x)的零点个数为3.考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用命题角度一利用函数的零点比较大小命题角度一利用函数的零点比较大小典例典例3设函数f(x)=
10、ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0,则f(x)在R上为增函数,又f(0)=e0-20,且f(a)=0,0a0,g(x)在(0,+)上为增函数,又g(1)=ln1-2=-20,且g(b)=0,1b2,ab,故选A.3-1函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案答案C由条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3,
11、故选C.典例典例4(1)(2017山西大同模拟)已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=若方程f(x)-g(x)=1在a,+)上有三个实根,则正实数a的取值范围是.(2)(2017山东临沂期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-b,当b(0,1)时总有三个零点,则a的取值范围是.答案答案(1)(2)(-,-2解析解析(1)f(x)-g(x)=1在a,+)上有三个实根,f(x)-1=g(x)在a,+)上有三个实根,函数y=f(x)-1与y=g(x)的图象在xa,+)上有三个交点,命题角度二利用函数的零点求参数的范围命题角度二利用函数的零点求参数的范围作出y=f(x)-1和y=g(x)的图
12、象,如图.从图象可知,axA,令f(x)-1=|log2x|-1=0,得x=或x=2,故xA=,a,又a为正实数,0a.(2)函数y=f(x)-b,当b(0,1)时总有三个零点,即函数y=f(x)与y=b的图象当b(0,1)时总有三个交点,作出两个函数的图象,如图.由图可得解得a-2.方法技巧方法技巧已知函数有零点(或方程有根),求参数取值范围的常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对函数解析式(或方程)变形,在同一平面直角坐标系中画出两个相应函数的图象,然后数形结合求解.
