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1、第十一章第十一章 概率与统计概率与统计第 讲（第二课时）（第二课时）忿挡郸斩一吐之洒鞋帽拈送迪杖试烧敦饮读邹帆箕蒙灿利逾阎萌诌厕囱凭离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00001题型题型4 4 求随机变量的方差求随机变量的方差1. 已知离散型随机变量已知离散型随机变量的分布列为的分布列为设设=2+3，求，求E，D.-101P拾纺晦瓮惦酌勉走疗扳束唾呈拔焕凄泣骄贯虹溉皮仟崭事镐民输磷伙苫缝离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00002解：解：因为因为所以所以点评：点评：由随机变量的分布列直接按公式由随机变量的分布列直接按公式
2、计算可求得方差计算可求得方差.对相关的两个随机变量对相关的两个随机变量、，若满足一定关系式：，若满足一定关系式：=a+b，则，则E(a+b)=aE+b，D(a+b)=a2D(或或D=E 2-(E)2).蹲棕渝酮语陛葫津涵船吹漫踩董翻东凋碴龄绎拼佰弗床狭冕舜蛆逮铺曝早离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00003设随机变量设随机变量具有分布具有分布 k=1，2，3，4，5，求，求E(+2)2，D(2-1)，(-1).解：解：因为因为域幌蒋彭耻诸绣京厚薯触枷绢挝阿豪间忧琐衰揪橱蛛坚戎灾炊宛旗笛骏惜离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差
3、第课时00004所以所以衍睫讲债逝袒硫畔研踏荣嫡寿孤颗烂猾杜缠码余褥诣谴百远弓礁年扮重渭离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000052. 某某突突发发事事件件，在在不不采采取取任任何何预预防防措措施施的的情情况况下下发发生生的的概概率率为为0.3，一一旦旦发发生生，将将造造成成400万万元元的的损损失失.现现有有甲甲、乙乙两两种种相相互互独独立立的的预预防防措措施施可可供供采采用用.单单独独采采用用甲甲、乙乙预预防防措措施施所所需需的的费费用用分分别别为为45万万元元和和30万万元元，采采用用相相应应预预防防措措施施后后此此突突发发事事件件不不发发生生的的
4、概概率率分分别别为为0.9和和0.85.若若预预防防方方案案允允许许甲甲、乙乙两两种种预预防防措措施施单单独独采采用用，联联合合采采用用或或不不采采用用，请请确确定定预预防防方方案案使使总总费费用用最最少少.(总总费费用用=采采取取预预防防措施的费用措施的费用+发生突发事件损失的期望值发生突发事件损失的期望值)题型题型5 期望在实际问题中的决策作用期望在实际问题中的决策作用聚锚邀缆顿领制抛抹宜粹俯抓殷媳士蘑屏淮肄对佬哮盈辉准妨粥壳搓匆渠离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00006解：解：(1)不采取预防措施时，总费用即损不采取预防措施时，总费用即损失期望值
5、为失期望值为4000.3=120(万元万元);(2)若单独采取措施甲，则预防措施费用若单独采取措施甲，则预防措施费用为为45万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1，损失期望值为，损失期望值为4000.1=40(万元万元)，所以总费，所以总费用为用为45+40=85(万元万元)；(3)若单独采取预防措施乙，则预防措施若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为费用为30万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15，损失期望值为，损失期望值为4000.15=60(万元万元)，所以总费用为，所以总费用为30+60=90(万元万元);旦埃烹硅丛考
6、们皮奎邢掣翁傣搅暇鄙疏贫儡俞闻嗡氮昆板缔寓梭皆攒卖蛛离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00007(4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为预防措施费用为45+30=75(万元万元)，发生突发，发生突发事件的概率为事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015，损失期，损失期望值为望值为4000.015=6(万元万元)，所以总费用为，所以总费用为75+6=81(万元万元).综上分析，选择联合采用甲、乙两种预综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少防措施，可使总费用最少.点评：点评：从两种从两种
7、(或多种或多种)随机实验事件方随机实验事件方案中进行优选或决策，一般是比较它们的期案中进行优选或决策，一般是比较它们的期望值，期望值大就是平均值大望值，期望值大就是平均值大.挚袄摊丽谗爹拙唆埃倦鲁弹硝踊浙呀钥延喂民贰犊啄罕倡网果嘘格祈寒卓离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00008 春春节节期期间间，某某鲜鲜花花店店购购进进某某种种鲜鲜花花的的进进货货价价为为每每束束2.5元元，销销售售价价为为每每束束5元元.若若在在春春节节期期间间没没有有售售完完，则则节节后后以以每每束束1.5元元的的价价格格处处理理.据据往往年年有有关关资资料料统统计计，春春节节期期
8、间间这这种种鲜鲜花的需求量花的需求量(单位：束单位：束)服从下列分布：服从下列分布： 问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜?20304050P0.20.350.30.15涅慑铱设超豌眉健没溅放妮侧玉谈跪傈詹箩封疵齐积坤个当器痊例时灵别离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时00009解：解：依据题意，售出一束鲜花获利润依据题意，售出一束鲜花获利润2.5元，处理一束鲜花亏损元，处理一束鲜花亏损1元元.(1)若进货若进货20束，因为束，因为P(20)=1，所以利润的期望值所以利润的期望值E1=1202.5=50(元元).(2)
9、若进货若进货30束，如果只能售出束，如果只能售出20束，则束，则利润为利润为202.5-101=40(元元);如果能售出如果能售出30束，束，则利润为则利润为302.5=75(元元).因为因为P(=20)=0.2，P(30)=0.8，所以利润的期望值所以利润的期望值E2=0.240+0.875=68(元元).宅基驯豢沟徽讳互躲榷堵挡搀拄厂戚智凄戍缉亨雏财苦揣绕月凶蜘欲蛊拱离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000010(3)若进货若进货40束，则同理可得利润的期望值束，则同理可得利润的期望值E3=0.2(202.5-201)+0.35(302.5-101)+
10、0.45402.5=73.75(元元).(4)若进货若进货50束，则利润的期望值束，则利润的期望值E4=0.2(202.5-301)+0.35(302.5-201)+0.3(402.5-101)+0.15502.5=69(元元).因为因为E3最大，故该鲜花店春节前进货最大，故该鲜花店春节前进货40束束鲜花为宜鲜花为宜.瘦求帝糠啃窒徊催煤微掳腾驱陶擦因瘤既涎盼誓扒靠浑值蔓傻滔札话燥筏离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000011 3. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本已知该种产品的成本C与产量与产量q的函
11、数关系式的函数关系式 为为 该种产品的市场该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格情形发生的概率及产品价格p与产量与产量q的函数关的函数关系式如下表所示：系式如下表所示： 题型题型6 期望与函数的综合应用期望与函数的综合应用市场情形市场情形概率概率价格价格p与产量与产量q的函数关系式的函数关系式好好0.4p=164-3q中中0.4p=101-3q差差0.2p=70-3q嫂裁鱼引图涧督腹琐秋遇苟胳庙姑起符谓击院疚咐榆节微隆沽舵翌定弗文离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000012设
12、设L1、L2、L3分别表示市场情形好、中、分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量差时的利润，随机变量q表示当产量为表示当产量为q而市而市场前景无法确定时的利润场前景无法确定时的利润.(1)分别求利润分别求利润L1、L2、L3与产量与产量q的函的函数关系式；数关系式；(2)当产量当产量q确定时，求期望确定时，求期望Eq;(3)试问产量试问产量q取何值时，取何值时，Eq取得最大值取得最大值.拖硬坯族翱闷缩街麦贝栽瑞校了物步宛饶委拆扁镑诣丙觅壤霸卤樱啃糜氨离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000013解：解：(1)由题意可得由题意可得同理可得同理可得哉链脾
13、啊肮腰帕钳鉴赣茫打隶考梅佃中须栽燕恫裴记嗜谬刁靶旷轮窝射年离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000014(2)由期望的定义可知，由期望的定义可知，(3)由由(2)可知，可知，Eq是产量是产量q的函数，设的函数，设迄础伐搔挎治峻灭身牛脱抑陨坚由涌碘山酉弹剿猖鼻庆嘴屑分饱灿宠望耳离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000015得得f (q)=-q2+100.令令f (q)=0，解得，解得q=10或或q=-10(舍去舍去).由由题题意意及及问问题题的的实实际际意意义义，当当0q10时时，f (q)0;当当q10时时，f (q)
14、0可可知知，当当q=10时时，f(q)取得最大值，即取得最大值，即Eq最大时的产量最大时的产量q为为10.点点评评：若若随随机机变变量量中中的的概概率率含含有有参参数数，则则其其期期望望值值可可转转化化为为含含参参变变量量的的函函数数，利利用用函函数数的一些性质可进一步讨论期望的有关问题的一些性质可进一步讨论期望的有关问题.束闷艺勒缓砌葛息箭今饰六涵仕杜畸脊蘸其级憎狼赦秃赣蹲亥吵恼垫狱眶离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000016 小张有一只放有小张有一只放有a个红球、个红球、b个黄球、个黄球、c个白球的箱子，且个白球的箱子，且a+b+c=6(a，b，c
15、N)，小刘，小刘有一只放有有一只放有3个红球、个红球、2个黄球、个黄球、1个白球的箱子个白球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜球同色时小张胜，异色时小刘胜.(1)用用a、b、c表示小张胜的概率；表示小张胜的概率；(2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为分分别为1分、分、2分、分、3分，否则得分，否则得0分，求小张得分，求小张得分的期望的最大值及此时分的期望的最大值及此时a、b、c的值的值.字腮有仑诗斟并蛔科冠糕谈惰牺侵靳难坤酬裤仓援疵次赫较完始恿檄屯矮离散型随机变
16、量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000017解：解：(1)P(小张胜小张胜)=P(两人均取红球两人均取红球)+P(两人均取黄球两人均取黄球)+P(两人均取白球两人均取白球) (2)设小张的得分为随机变量设小张的得分为随机变量，则，则翰蜀稽薪谐烦裴抓姿织镐徊臼缅现鞠祟舌吵诵暇澎竞鹊笨摹岂衷游灭猫姆离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000018所以所以因为因为a，b，cN，a+b+c=6，所以所以b=6-a-c.当当a=c=0，b=6时，时，E最大，为最大，为 .厌匿苯蛛咸决废歇泻颂泵疹要腺田板霞轴熙锋惧斧磨酒逝钡喀诽吾样拿雏离散型
17、随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000019 有甲、乙两种钢筋，从中各抽取等量样有甲、乙两种钢筋，从中各抽取等量样品检查其抗拉强度指标，得如下分布列：品检查其抗拉强度指标，得如下分布列： 甲：甲： 乙：乙：题型题型 产品质量的比较产品质量的比较110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2筹陛茂垫判忍膘杜摄奉嘱产磨仅踢钎鳖汞聚所座垮韭纹吮氛寨坎唯凳卸斌离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000020其中其中、分别表示甲、乙的抗拉强度，分别表示甲、乙
18、的抗拉强度，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好?解：解：因为因为E=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125，E=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125，又又D=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50，淋歹沫仅躇尘额碱团钥徐藉承乍卜羹煞鼠账釉鲍凳拄鉴荆翻凌盾荒孝负荫离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000021D=(100-125)20.1+(1
19、15-125)20.2+(125-125)20.4+(130-125)20.1+(145-125)20.2=165.所以所以E=E，DD，这表明甲、乙两，这表明甲、乙两种钢筋的抗拉强度的平均水平一致，但甲的种钢筋的抗拉强度的平均水平一致，但甲的稳定性较乙的要好，故甲种钢筋的质量比乙稳定性较乙的要好，故甲种钢筋的质量比乙种钢筋好种钢筋好.酮树端蛹哪烩属未羹蹋报启常钦沈介汉恬概霄钓搔盟智荣写骑休脐熏铱绍离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时0000221. 对离散型随机变量的方差应注意：对离散型随机变量的方差应注意：(1)D表示随机变量表示随机变量对对E的平均偏离
20、程度，的平均偏离程度，D越大，表明平均偏离程度越大，说明越大，表明平均偏离程度越大，说明的取的取值越分散；反之值越分散；反之D越小，越小，的取值越集中，在的取值越集中，在E附近附近.统计中常用统计中常用D来描述来描述的分散程度的分散程度.(2)D与与E一样也是一个实数，由一样也是一个实数，由的分布的分布列唯一确定列唯一确定.菇蜒踞骆岛亩库剥蔫续答封稼疫郎戴圭屑呵育油嵌旧芥苹剪赂伺淡哥嘘姐离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时0000232.分分布布列列、期期望望、方方差差常常与与应应用用问问题题结结合合，对对此此首首先先必必须须对对实实际际问问题题进进行行具具
21、体体分分析析，一一般般要要将将问问题题中中的的随随机机变变量量设设出出来来，再再进进行行分分析析，求求出出分分布布列列，然然后按定义求期望、方差等后按定义求期望、方差等. 3. 若若B(n，p)，可可以以利利用用公公式式E=np，D=np(1-p)直接计算直接计算.晓冈枪泌耙呸险奠苫停革告噎垫胺仲齐惊蹲印叉么埂美伏乃妄御贤颂存汝离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时0000244. 对某些与随机变量有关的实际应用问对某些与随机变量有关的实际应用问题，常转化为期望和方差问题，通过对期望题，常转化为期望和方差问题，通过对期望或方差的比较，确定问题的解答结果，同时或方差的比较，确定问题的解答结果，同时注意运用分类讨论的数学思想，把问题分解注意运用分类讨论的数学思想，把问题分解为为n个小问题来解决，从而降低解题难度个小问题来解决，从而降低解题难度.毙疗饿组鸽迎廖儡脖栅箔干搂际妻表骸褒爸广叁族蔗阀境测口泅虎摘窃涸离散型随机变量的期望与方差第课时0000离散型随机变量的期望与方差第课时000025
