期权的二叉树定价模型恢复2

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1、 2008 2008主要内容主要内容一、期权的定义及分类二、单期二叉树模型三、单期二叉树模型的推广四、多期二叉树模型五、从二叉树模型到B-S公式 2008 2008一一.期权的定义及分类期权的定义及分类1.期权的定义 金融衍生产品 到期日-t 敲定价格-K 标的资产-实物商品，公司股票，政府债券等2.期权的分类 按买卖方向：看涨期权，看跌期权，双向期权 按执行方式：欧式期权，美氏期权在本文中，主要考虑以股票为标的资产的欧式看涨期权（European call option） 。 2008 2008一价律（一价律（ The law of one price ） 在无套利市场中，若两个投资组合具有

2、相同的现金流收益，那么他们应该具有相 同的价格 2008 2008二二.单期二叉树模型单期二叉树模型设单期市场无风险利率为r-1，期初股价为S，在期末股价的变动有两种可能：以概率q变为uS，以概率1-q变为dS，那么以此股票为标的物，敲定价为K的欧式买入期权期初的价值C应该为多少？ 2008 2008这个期权在到期日的价值为：我们从卖方的角度出发，构造一个投资组合来对冲这个期权，这个组合包括x股股票和 面值为B的无风险债券，那么：则： 2008 2008既然这个投资组合能够完全复制期权，根据一价律，这个投资组合的价值就应该等于期权的价值，也就是说 如果我们记 ，则 2008 2008值得注意的

3、几点： 1.期权的价值与概率q无关 2. 期权的价值与投资者的风险偏好无关 3.期权的价值CS-K（否则很容易能够构造出套利） 4.u，r，d应满足urd 5.为了对冲期权，我们的投资组合中应包含 股标的物股票，其余的持有 无风险债券 2008 2008三三.单期二叉树模型的推广单期二叉树模型的推广 * *在这一部分的论述和推导中，我们均采用连续复利的形式1.二叉树模型的缺点: 在前面的推导中，我们假设在每期中股价的变化只有两种可能，这种情况下我们构造期权的对冲投资组合只需用股票和无风险债券即可。但是在现实中，股价的变化情况显然不可能如我们所假设的那样。例如：若股价在未来的变化有三种情形，则我

4、们不可能用上述的投资组合形式来对冲期权。 2008 20082.单期二叉树模型的推广 我们作如下假设： 市场中可交易的资产数量：N（有限值） 时刻0，资产的价值： 时刻 t 时，市场可能的状态：n种，分别用1，2，3n表示 时刻 t 时，资产的价值矩阵： ，其中 表示市场状态为j时第i种资产的价值。 时刻0时，持有的投资组合： ，其中 表示所持有的第i种资产的数量 时刻0时，投资组合的价值： 时刻 t 时，投资组合的价值： 2008 2008为方便叙述，我们定义如下符号： 对一个向量x，我们记x 0，如果它的每个分量均为非负；记x0，如果它的每个分量均为非负，且不同时为0；记x 0，如果它的每

5、个分量均为正。定义1：若存在投资组合使得 0， 0或者 0, 0,则称市场中存在套利。则称市场中存在套利。 定理1（资产定价基本定理）市场是无套利的等价于存在市场状态向量 证明：用泛函分析中的超平面分割定理可以证明此定理 2008 20083.市场状态向量的意义 记 ， ，设存在一个投资组合 能够复制到期收益为1的无风险债券，即 ，则 ，所以 在概率分布 下，第i种资产在时刻t的期望价值为 ，也就是 定义3. 称不定权益C是可达的，如果存在投资组合能够对冲C 2008 2008定理2.若市场不存在套利，则对任意可达的不定权益C，它在时刻0存在唯一价格： ,其中Q是任一满足 i=1,2,N的概率

6、测度。定义4. 如果市场在时刻t有n种可能状态，对任意概率分布 ，若在P下，每一种证券的价格等于该证券在时刻t的价格折现值的数学期望，即 i=1，2，N，则称P为市场的一个风险中性测度或等价鞅测度定义5.若每一个不定权益都是可达的，则称市场是完全的定理3. 市场是完全的等价于 ，且D的秩为n。 定理4. 如果市场是无套利且完全的，则存在唯一的等价鞅测度 2008 2008四四.多期二叉树模型多期二叉树模型假设期权从签订到到期日之间有n期，在每一期里，期末股价都以概率q变为期初的u倍，以概率1-q变为期初的d倍 ，每一期的市场无风险利率均为r-1。那么以此股票为标的物的欧式买入期权价值为多少？

7、2008 2008类似于单期二叉树模型的方法，从最后一期往前推导，可以得到期权的价值为： 为了简化上述表达式，我们令也就是说a是大于 的最小非负整数，那么： 对任意的ja, =0 对任意的j a, = 2008 2008因此 = =其中， ， 为参数为p的n次二项分布取值不小于a的概率 2008 2008五五.从多期二叉树模型到从多期二叉树模型到B-S公式公式多期二叉树模型公式： 其中 B-S公式： 其中推导思想：期限为t的期权，将期限n等分，设置合理的u，d，q，使得当 时，多期二叉树模型的公式趋于B-S公式 2008 2008因为二叉树公式为C= ，我们只需要证明 时 即可。两者的证明类似

8、，我们以前者为例进行证明。 将时段0,tn等分，每一份的长度为t/n，假设各小时段末的股价分别为 j表示这n期里股价上升的期数，则： 2008 2008因为在B-S公式中，上述期望与方差分别为 和 ，我们需要选取合适的u，d，q ，使得 时， ， 。我们令 即可。可以计算： 2008 2008设置好合适的u，d，q之后，我们开始推导假设如下情形：时刻0股价为S，在等分后的每个小时段里股价以概率p升至uS，以概率1-p降至dS，则： 分解之后的每个随机变量的期望与方差分别为又因为 ，其中 2008 2008则：因此代入以上关系式即得： 2008 2008通过洛必达法则可以计算得到：当 时 ，同样可以计算证明上述分解后的n个随机变量的方差是一致有界的，因此运用中心极限定理可以得到： 同理可以证明 ，即得到B-S公式 2008 2008总结总结单期二叉树单期二叉树多维推广多维推广多期二叉树多期二叉树极限形式极限形式（B-S公式）公式） 2008 2008谢谢 谢谢 ！