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1、22.1.2 22.1.2 二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质学习目标学习目标1会用描点法画出形如会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了的二次函数图象，了解抛物线的有关概念解抛物线的有关概念；2通过观察图象通过观察图象，能说出二次函数能说出二次函数 y = ax 2 的图象特的图象特征和性质征和性质；3在类比探究二次函数在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数和数形结合的思想形结合的思想学习重点：学习重点：观察图象观察图象，得出
2、二次函数得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质的图象特征和性质函数函数: : 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y,y,并且对于并且对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一确定的值都有唯一确定的值与其对应与其对应, ,那么就说那么就说x x是自变量是自变量,y,y是是x x的函数的函数. .一般地一般地, ,形如形如的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, ,x x是自变量是自变量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项次项系数和常数项. .y
3、=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)二次函数二次函数: : 一次函数的图像是一条直线一次函数的图像是一条直线, ,二次函二次函数的图像是什么形状呢数的图像是什么形状呢? ?通常怎样画一个函数的图像通常怎样画一个函数的图像? ?x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 12 23 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根据表中根
4、据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用再用平滑曲线顺次连接各点平滑曲线顺次连接各点, ,就得就得到到y=xy=x2 2的图像的图像. . 还记得如何用还记得如何用描点法画一个函数描点法画一个函数的图像吗的图像吗? ?y=xy=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 12 23 3y y请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表 -9-9 -4-4 -1-10 0-1-1 -4-4 -9-9 (2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐
5、标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再再用平滑曲线顺次连接各点用平滑曲线顺次连接各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像都的图像都是一条曲线是一条曲线, ,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线在空中所经过的路线. .这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线. .y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的
6、图像叫做抛物线y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2. . 实际上实际上, ,二次函数的图像二次函数的图像都是都是抛物线抛物线. .它们的它们的开口向上开口向上或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 还可以看出还可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像的图像都是都是轴对称图形轴对称图形, ,y y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴. .抛物线抛物线与与对称轴对称
7、轴的的交点交点叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点. .抛物线抛物线y=xy=x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点. .抛物线抛物线y=y=x x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最高点最高点. .y=xy=x2 2y=y=x x2 2x x -4-4 -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= xy= x2 2和和y=2xy=2x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 12 2x
8、 x -2-2-1.5 -1 -0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 20.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2 函数函数y= xy= x2 2,y=2x,y=2x2 2的的图像与函数图像与函数y=xy=x2 2( (图中虚线图中虚线图形图形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共有什么共同点和不同点同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口向上开口向上; ;除顶点外除顶点外, ,图像都在图像都在x x轴上
9、方轴上方开口大小不同开口大小不同; ;1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5x -4 -3 -2 -101 234在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y= x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 12 2x -2-1.5-1 -0.500.511.52y=2x2-8-2 -0.5 0 -0.5 -2-4.5-8-4.5-8-2-0.50 -0.5 -2-4.5-8-4.5 函数函数y=y=- - x x2 2,y=,y=- -2x2x2 2的图像与函数的图像
10、与函数y=y=- -x x2 2( (图中虚线图图中虚线图形形) )的图像相比的图像相比, ,有什么共同点有什么共同点和不同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口向下开口向下; ;除顶点外除顶点外, ,图像都在图像都在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同; ;12y=- x21 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-101 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-101 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5一般地一般地, ,抛物线抛物线y=axy=ax
11、2 2的对称轴是的对称轴是y y轴轴, ,顶点是原点顶点是原点. . 当当a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶顶点是抛物线的最低点点是抛物线的最低点, , a a越大越大, ,抛物线的开口越小抛物线的开口越小; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 m+10 m m2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1= =2, m2, m2 2=1 =1 由由得得:m:m1 1 m=1m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2, ,1. 1. 二次函数二次函数 的图像都是的图像都是抛物线抛物线. .2. 2. 抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质: : (2)(2)当当a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0，点，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、 y1、 y2、y3的大小关是的大小关是 。(m+3，y3)在抛物线在抛物线 上，则上，则
