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1、计算机仿真技术基础计算机仿真技术基础 第二章第二章系统仿真模型的基本形式系统仿真模型的基本形式与模型处理技术与模型处理技术1计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术序序主要内容第一节第一节 连续系统数学模型连续系统数学模型第二节第二节 非线性模型的线性化处理非线性模型的线性化处理第三节第三节 高阶模型的降阶处理高阶模型的降阶处理2计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术系统系统是研究的对象，是研究的对象，模型模型是系统行为特性的是系统行为特性的描述，描述，仿真仿真是模型试验。是模型试验。仿真结果是否可信，一方面取决于模型对系仿真结果是否可信，一方面取
2、决于模型对系统行为特性描述的正确性和准确度，另一方面取决统行为特性描述的正确性和准确度，另一方面取决于计算机模型和物理模型实现系统模型的准确度。于计算机模型和物理模型实现系统模型的准确度。因此，系统建模是系统仿真的基础。因此，系统建模是系统仿真的基础。本课程主要讨论连续系统仿真问题，由此本本课程主要讨论连续系统仿真问题，由此本章主要介绍连续系统的数学模型及其处理技术。章主要介绍连续系统的数学模型及其处理技术。序序3计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术建立系统的数学模型主要有两种方法：建立系统的数学模型主要有两种方法：1、机理建模、机理建模：根据物理化学规律，列写系统各
3、：根据物理化学规律，列写系统各个变量之间相互关系的微分方程，进行整理、变个变量之间相互关系的微分方程，进行整理、变换，得到所需要的数学模型表示方式。换，得到所需要的数学模型表示方式。 最常见的表示方式有：最常见的表示方式有： 高阶常微分方程、状态方程、传递函数等。高阶常微分方程、状态方程、传递函数等。 过程控制系统、调速系统等都是确定型的连续过程控制系统、调速系统等都是确定型的连续系统，它们共同之处是系统状态变化在时间上是连系统，它们共同之处是系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式描述系统模型。续的，可以用方程式描述系统模型。4计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术
4、2、试验建模（系统辨识）、试验建模（系统辨识）：采用试验的方法对：采用试验的方法对系统施加一定的试验信号，测量系统的输入输出，系统施加一定的试验信号，测量系统的输入输出，并对这些输入输出数据进行分析处理，求出一种并对这些输入输出数据进行分析处理，求出一种数学表示方式，如果能较好地描述这些输入输出数学表示方式，如果能较好地描述这些输入输出数据之间的关系，则该数学描述就是系统的数学数据之间的关系，则该数学描述就是系统的数学模型模型。5计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术第一节第一节 连续系统数学模型连续系统数学模型连续系统模型大致分三类：连续系统模型大致分三类：连续时间模
5、型连续时间模型离散时间模型离散时间模型连续离散混合模型连续离散混合模型6计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术一、连续时间系统模型一、连续时间系统模型如果一个系统的输入量如果一个系统的输入量 U(t)U(t) ，输出量，输出量Y(t)Y(t) 系统内部状态变量系统内部状态变量 X(t)X(t)都是时间的连续函数，都是时间的连续函数，那么就可以用连续时间模型来描述它。那么就可以用连续时间模型来描述它。连续时间模型有以下几种表达方式：连续时间模型有以下几种表达方式：外部模型外部模型u微分方程微分方程u传递函数传递函数内部模型内部模型u状态空间表达式状态空间表达式u系统结构图
6、系统结构图7计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 1 1、外部模型微分方程、外部模型微分方程一般情况下，系统的微分方程可以表示如下：一般情况下，系统的微分方程可以表示如下： 只描述了系统输出与输入之间的关系，而没只描述了系统输出与输入之间的关系，而没有描述系统内部的情况，所以称之为有描述系统内部的情况，所以称之为外部模型外部模型。式中，式中， 是输入量，是输入量， 是输出量是输出量,且有且有 （1 1 1 1）8计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 建立系统微分方程形式数学模型的一般步骤：建立系统微分方程形式数学模型的一般步骤：1、根据物理规
7、律列写原始的微分方程；、根据物理规律列写原始的微分方程； 根据物理规律，列写出系统的微分方程，这是根据物理规律，列写出系统的微分方程，这是机理建模的最基本方法。机理建模的最基本方法。2、保留输入量、输出量及其导数项，消去中间、保留输入量、输出量及其导数项，消去中间变量，将所有原始微分方程合并为一个高阶微分方变量，将所有原始微分方程合并为一个高阶微分方程。系统的阶次就等于微分方程的阶次。程。系统的阶次就等于微分方程的阶次。 微分方程的物理意义明显，求其解可得相应的微分方程的物理意义明显，求其解可得相应的时域准确解，但求解高阶微分方程非常困难，不便时域准确解，但求解高阶微分方程非常困难，不便于系统
8、的分析与设计。于系统的分析与设计。9计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 2 2、外部模型传递函数、外部模型传递函数 若系统的初始条件为零，那么（若系统的初始条件为零，那么（1）式两边取拉）式两边取拉氏变换后可得：氏变换后可得：为系统的传递函数为系统的传递函数 定义定义10计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 传递函数的主要性质：传递函数的主要性质：1、只用于线性、定常和集中参数系统；只用于线性、定常和集中参数系统；2、传递函数只与系统的结构参数有关，与系统传递函数只与系统的结构参数有关，与系统的变量无关；的变量无关；3、传递函数是传递函数是
9、S的有理函数，分母的阶次大于分的有理函数，分母的阶次大于分子的阶次；子的阶次；4、U(S)是系统的特征多项式，是系统的特征多项式， U(S)=0是特征方是特征方程。特征多项式的阶次就是系统的阶次，特征方程程。特征多项式的阶次就是系统的阶次，特征方程的根决定了系统的很多重要性质；的根决定了系统的很多重要性质；5、传递函数的概念可推广到传递函数的概念可推广到MIMO。11计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术3 3、内部模型状态空间表达式、内部模型状态空间表达式(2)(2)称为状态方程称为状态方程称为状态方程称为状态方程,(3),(3)称为输出方程。对称为输出方程。对称为输
10、出方程。对称为输出方程。对SISO SISO 是是是是 维系统矩阵，维系统矩阵，维系统矩阵，维系统矩阵， 是是是是 维输入矩阵，维输入矩阵，维输入矩阵，维输入矩阵， 是是是是 维输出矩阵，维输出矩阵，维输出矩阵，维输出矩阵，D D是是是是1*11*1维的直接传递矩阵。维的直接传递矩阵。维的直接传递矩阵。维的直接传递矩阵。(2)(3) 从仿真的角度来看，有时，仅仅实现系统输从仿真的角度来看，有时，仅仅实现系统输入与输出之间的关系是不够的，还必须实现模型内入与输出之间的关系是不够的，还必须实现模型内部变量，即状态变量，因此仿真要求采用系统内部部变量，即状态变量，因此仿真要求采用系统内部模型，可采用
11、状态空间表达式。模型，可采用状态空间表达式。12计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术状态空间表达式的主要特点：状态空间表达式的主要特点：1、引入系统状态的概念，对动态系统内部和外引入系统状态的概念，对动态系统内部和外部特性进行了完全的描述。部特性进行了完全的描述。2、传递函数只适用于线性定常系统，而状态空传递函数只适用于线性定常系统，而状态空间表达式有较宽的适用范围，时变系统、非线性系间表达式有较宽的适用范围，时变系统、非线性系统等。统等。3、状态空间表达式采用矩阵向量的数学描述形状态空间表达式采用矩阵向量的数学描述形式，具有高度的抽象性。并便于在计算机上建模及式，具
12、有高度的抽象性。并便于在计算机上建模及数值求解，利于工程实现。数值求解，利于工程实现。4、便于处理系统的初始条件。便于处理系统的初始条件。13计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术4 4、内部模型系统结构图、内部模型系统结构图 系统结构图是系统中每一个元件或环节的功系统结构图是系统中每一个元件或环节的功能和信号流向的图解表示。能和信号流向的图解表示。主要特点：主要特点：1、描述非常形象直观；描述非常形象直观；2、利用结构图的等效变换和化简规则，可以容利用结构图的等效变换和化简规则，可以容易地根据各个环节的模型求出整个系统的模型；易地根据各个环节的模型求出整个系统的模型；
13、3、对单入单出、多入多出或具有非线性环节的对单入单出、多入多出或具有非线性环节的系统都可以通过面向结构图的仿真方法得到系统的系统都可以通过面向结构图的仿真方法得到系统的动态模型。动态模型。14计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术典型的反馈控制系统结构图典型的反馈控制系统结构图15计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术二、连续时间系统模型的转换二、连续时间系统模型的转换 （外部模型转化为内部模型）（外部模型转化为内部模型） 1.1.化微分方程为状态方程（以化微分方程为状态方程（以SISOSISO系统为例）系统为例）（1 1）系统的输入量不含导数项
14、，微分方程如下：系统的输入量不含导数项，微分方程如下：今引入今引入n n个状态变量个状态变量以上微分方程变形为：以上微分方程变形为：16计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术将上述个一阶微分方程写出矩阵形式可得将上述个一阶微分方程写出矩阵形式可得以上就是状态方程的能控标准形式以上就是状态方程的能控标准形式传递函数为严格真有理分式，直接传递矩阵传递函数为严格真有理分式，直接传递矩阵D=017计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术18计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术（2 2）系统的输入量含有导数项，微分方程如下：系统的输
15、入量含有导数项，微分方程如下：当当m=nm=n时可得到：时可得到：19计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 2 2、化传递函数为状态空间表达式、化传递函数为状态空间表达式假设系统的传递函数如下所示：假设系统的传递函数如下所示：常用的实现形式：常用的实现形式： 已知传递函数求相应的状态空间表达式为实现已知传递函数求相应的状态空间表达式为实现问题，具有不唯一性。问题，具有不唯一性。能控标准型实现；能控标准型实现；能观标准型实现；能观标准型实现；并联型实现；并联型实现；20计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 化传递函数为化传递函数为能控标准型能控
16、标准型状态空间表达式状态空间表达式能控标准型状态空间表达式为：能控标准型状态空间表达式为：21计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术化传递函数为化传递函数为能观标准型能观标准型状态空间表达式状态空间表达式能观标准型状态空间表达式为：能观标准型状态空间表达式为：22计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术传递函数的特征方程为传递函数的特征方程为 如果特征方程有个如果特征方程有个互异互异的特征根，则可的特征根，则可以把传递函数展开成部分分式的形式以把传递函数展开成部分分式的形式并联型实现并联型实现式中式中式中式中a)化传递函数为对角线标准型状态空间表达
17、式化传递函数为对角线标准型状态空间表达式23计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 对上式进行拉氏变换，取对上式进行拉氏变换，取 为状态变为状态变量，可把此传递函数化成量，可把此传递函数化成对角线形式的状态方程对角线形式的状态方程设设24计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 如果特征方程的特征根有如果特征方程的特征根有重根重根，设，设 为为r r重根重根传递函数的部分分式形式为：传递函数的部分分式形式为：b)化化传递函数为约当标准型状态空间表达式传递函数为约当标准型状态空间表达式约当标准型为：约当标准型为：25计算机仿真技术基础第2章 系统仿真
18、模型的基本形式与模型处理技术3 3、化系统结构框图为状态方程、化系统结构框图为状态方程 先将方框图转化为先将方框图转化为模拟结构图模拟结构图，然后根据模，然后根据模拟结构图中积分器的输出确定系统的状态变量拟结构图中积分器的输出确定系统的状态变量及状态方程。及状态方程。26计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术4 4、实际中应用的典型环节、实际中应用的典型环节积分环节积分环节传递函数传递函数模拟结构图模拟结构图状态方程状态方程输出方程输出方程27计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术比例加比例加积分环节积分环节传递函数传递函数状态方程状态方程输出方
19、程输出方程模拟结构图模拟结构图28计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术积分环节与比例加积分环节与比例加积分环节串联积分环节串联传递函数传递函数状态空间表达式状态空间表达式模拟结构图模拟结构图29计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术惯性环节惯性环节传递函数传递函数状态空间表达式状态空间表达式模拟结构图模拟结构图30计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术超前滞后环节超前滞后环节传递函数传递函数状态空间表达式状态空间表达式令令31计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术5 5、化状态方程为传递函数、化状
20、态方程为传递函数 内部模型到外部模型内部模型到外部模型取拉氏变换取拉氏变换整理整理传递函数传递函数状态空间表达式状态空间表达式32计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术三、离散时间系统模型三、离散时间系统模型 一个系统的输入量、输出量及其内部状态是一个系统的输入量、输出量及其内部状态是时间的离散函数为一时间序列时间的离散函数为一时间序列: :其中其中 为离散时间间隔为离散时间间隔, ,有时为简单起见，在有时为简单起见，在序列中不写，而直接用序列中不写，而直接用 来表示来表示, ,那么我们可以用离散时间模型来描述它。那么我们可以用离散时间模型来描述它。离散时间模型有四种形
21、式：离散时间模型有四种形式：u外部模型外部模型u内部模型内部模型差分方程差分方程Z Z传递函数传递函数离散状态空间表达式离散状态空间表达式结构图结构图33计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术1 1、外部模型差分方程、外部模型差分方程差分方程的一般表达形式为差分方程的一般表达形式为 若系统的初始条件均为零，若系统的初始条件均为零， 对上式两边取对上式两边取Z变换，则可得变换，则可得2 2、外部模型离散（、外部模型离散（Z Z）传递函数）传递函数定义定义34计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术3 3、内部模型离散状态空间模型、内部模型离散状态空间
22、模型 通常引进状态变量序列通常引进状态变量序列 ，构造系统的，构造系统的状态空间模型，状态空间模型，对于定常系统有对于定常系统有35计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术4 4、内部模型系统结构图、内部模型系统结构图 与连续时间系统的结构图类似，与连续时间系统的结构图类似，36计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术四、连续离散混合模型四、连续离散混合模型37计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 连续离散混合模型常用于采样控制系统的分连续离散混合模型常用于采样控制系统的分析设计中，采样控制系统也就是数字控制系统或计析设计中
23、，采样控制系统也就是数字控制系统或计算机控制系统。算机控制系统。 控制器是数字计算机组成，输入变量和控制变控制器是数字计算机组成，输入变量和控制变量只在采样时刻取值的脉冲序列信号（间断或离散量只在采样时刻取值的脉冲序列信号（间断或离散的），描述的），描述控制器控制器的数学模型就是的数学模型就是离散时间模型离散时间模型（常用差分方程、离散状态方程）。（常用差分方程、离散状态方程）。 而被控对象是连续的，描述而被控对象是连续的，描述被控对象被控对象的数学模的数学模型就是型就是连续时间模型连续时间模型。 整个系统就是连续整个系统就是连续离散混合模型，由连续的离散混合模型，由连续的对象、离散的控制器、
24、采样器、保持器等组成。对象、离散的控制器、采样器、保持器等组成。38计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术第二节第二节 非线性模型的线性化处理非线性模型的线性化处理 连续系统包括连续系统包括线性系统线性系统和和非线性系统非线性系统，在实，在实际工作中，存在着大量的非线性系统。由于非线际工作中，存在着大量的非线性系统。由于非线性模型的性质一般比线性模型的性质复杂得多，性模型的性质一般比线性模型的性质复杂得多，在工程中常用线性关系近似代替非线性关系。在工程中常用线性关系近似代替非线性关系。 非线性系统在进行模型线性化处理时，把受非线性系统在进行模型线性化处理时，把受控量与输
25、入量之间的函数关系分成两类：控量与输入量之间的函数关系分成两类： 光滑函数光滑函数：函数值与各阶导数值是连续的，非：函数值与各阶导数值是连续的，非线性不严重，可在一个小范围用线性函数近似。线性不严重，可在一个小范围用线性函数近似。 不光滑函数不光滑函数：严重的非线性，一般不能用线性：严重的非线性，一般不能用线性函数近似。函数近似。39计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术一、微偏线性化方法当当 充分小时充分小时 对于对于光滑函数光滑函数 ，常常用微偏线性化方法进行，常常用微偏线性化方法进行线性化处理，把线性化处理，把 在在 处展开成处展开成Taylor级数：级数： 40
26、计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术二、非线性模型的线性化步骤二、非线性模型的线性化步骤确定工作点；确定工作点；用工作点与增量之和代替变量，重新写微分用工作点与增量之和代替变量，重新写微分方程；方程；用用Taylor级数展开方程中的非线性项；级数展开方程中的非线性项；用定义的工作点代数方程消去微分方程中的用定义的工作点代数方程消去微分方程中的对应项，仅仅保留含增值得线性项；对应项，仅仅保留含增值得线性项；用非线性模型的初值确定所有增值量的初值。用非线性模型的初值确定所有增值量的初值。41计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术例：有非线性模型例：
27、有非线性模型其中其中为非线性函数，求线性化模型。为非线性函数，求线性化模型。解：解：1 1）设工作点为设工作点为初始条件初始条件2 2）用工作点与增量之和代替变量重新写微分方程）用工作点与增量之和代替变量重新写微分方程即用即用代入方程得：代入方程得：因为工作点是平衡的，各阶导数为因为工作点是平衡的，各阶导数为0 0，即：，即：42计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术得：得：3 3）非线性项在工作点展开成）非线性项在工作点展开成TaylorTaylor级数级数则：则：4 4）用定义的工作点代数方程消去微分方程中的对）用定义的工作点代数方程消去微分方程中的对应项，仅仅保留
28、含增值得线性项。应项，仅仅保留含增值得线性项。则：则：43计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术5 5）用非线性模型的初值确定所有增值量的初值）用非线性模型的初值确定所有增值量的初值则：则：44计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术三、线性时变模型的线性化三、线性时变模型的线性化线性时变函数的一般形式是线性时变函数的一般形式是以单变量系统为例以单变量系统为例令变量由工作点值和增量之和来代替令变量由工作点值和增量之和来代替当当或当或当时时时时可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略则：则：45计算机仿真技术基础第2章 系统仿
29、真模型的基本形式与模型处理技术对于以上两种情况的任一种，对于以上两种情况的任一种，这就是时变系统的线性化形式。这就是时变系统的线性化形式。就可以写成：就可以写成：46计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术例题1试将它线性化。试将它线性化。已知系统方程为：已知系统方程为：解：解： 令令得得可以取可以取当当时时，可以忽略可以忽略则系统的线性化形式为：则系统的线性化形式为：47计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术例题2 将非线性系统在将非线性系统在平衡点附近近似线性化平衡点附近近似线性化解：首先确定平衡点解：首先确定平衡点 得得由由由此得到近似由此得
30、到近似线性化模型：线性化模型：48计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术第三节第三节 高阶模型的降阶处理高阶模型的降阶处理 在实际工程中有很多复杂系统，状态变量很在实际工程中有很多复杂系统，状态变量很多、阶次很高，如：电力系统。多、阶次很高，如：电力系统。 对高阶系统进行仿真或设计是很麻烦的，对高阶系统进行仿真或设计是很麻烦的， 从仿真的角度，高阶系统占用较多内存和机时从仿真的角度，高阶系统占用较多内存和机时 从系统设计角度，高阶系统的控制器十分复杂从系统设计角度，高阶系统的控制器十分复杂 因此需要对高阶系统进行简化降阶，易于计因此需要对高阶系统进行简化降阶，易于计算和
31、工程实现，又能在一定精度范围内表现原有算和工程实现，又能在一定精度范围内表现原有系统的特性。系统的特性。49计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 衡量一个模型简化方法的可行型有四条标准：衡量一个模型简化方法的可行型有四条标准： 准确性准确性 一般将模型简化技术分两类：一般将模型简化技术分两类： 1、在状态空间模型上简化，为、在状态空间模型上简化，为时域模型简化法时域模型简化法。 稳定性稳定性 简便性简便性 灵活性灵活性 2、在传递函数模型上简化，为、在传递函数模型上简化，为频域模型简化法频域模型简化法。50计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术 工程中常用工程中常用 代替高阶传递函数代替高阶传递函数51计算机仿真技术基础第2章 系统仿真模型的基本形式与模型处理技术
