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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布二维随机变量二维随机变量联合分布和边缘分布函数联合分布和边缘分布函数二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律相互独立的随机变量相互独立的随机变量二维连续型随机变量联合概率密度和边缘概率密度二维连续型随机变量联合概率密度和边缘概率密度趴宛旭捷孵坷剃作诲书叮你琐紫衅考审仙瘫丝才募嫁噶矫颂盾残肖鄂翼央概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件二维随机变量二维随机变量的概念的概念二维随机变量的联合分布函数及其性质二维随机变量的联合分布函数及其性质二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数第一节第一
2、节 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数失褒败激障奥酬钙夕孙辱划啡例筐泄扑窿颓妻事捞屎窃戎煞串滨向县咐瑟概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件定义定义1 1：设随机试验设随机试验的样本空间是的样本空间是设设和和是定义在是定义在上的随机变量，则它们构成的一上的随机变量，则它们构成的一个向量个向量称为称为二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量。一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念 例：例： 抛掷硬币抛掷硬币3次，记次，记 X 为正面出现的次数，为正面出现的次数，Y为正面与为正面与反面出现的次数之差的绝对值，反面出现的次数之差的绝对值，可能取值对可能取值对于是二维
3、随机变量于是二维随机变量末甜籽韩猜岁拇坤梯飞迢怠谢柔瓣赂配未章疥粗漓栈鬃涩返惹弛肘变罩春概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件 定义定义2:2:设设是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数，或，或联合分布函数联合分布函数。 二、联合分布函数二、联合分布函数二维分布函数的几何意义二维分布函数的几何意义处的函数值处的函数值: :在在随机点随机点落在以落在以为顶点的左下方为顶点的左下方矩形开域上的概率。矩形开域上的概率。殉喘萨想书硷歇凯赖醛圆液恫牲小锤蓄崇忻含苍穿茬恐积棵粥蛇筋秩检综概率统计3章ppt课件概率统
4、计3章ppt课件所以所以邮轨敛陈记集每逞弧濒嵌森砂垢价矣庐晕辈端憋缘橱窜妊流糯诉蝎痘诊编概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件性质：性质： 是变量是变量 和和的不减函数，即的不减函数，即对任意固定的对任意固定的 ，当，当时，时，对任意固定的对任意固定的 ，当，当时，时， 关于关于右连续，即右连续，即抨寺镭锚奄诣既变糙伸辐案路束濒某蟹式圭福崩厨诀酒彩估范泌鲜颖杂产概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件三、边缘分布函数三、边缘分布函数 的分布函数为的分布函数为分别分别设设的的边缘分布函数边缘分布函数。 则则的分布函数为的分布函数为记记和和，称为关于，称为关于和和同理可得同理可得注：注：
5、已知联合分布，可以求解已知联合分布，可以求解 X , Y 的边缘分布。的边缘分布。胸闪击盗间耀迎酥擒绒溜辜迈庆份舷摘泉旁滨甭缝毛愈苛酥僻牺嚼幽嚼多概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件例例1. 设设的分布函数为的分布函数为求常数求常数的值及概率的值及概率【解】【解】 由分布函数的性质由分布函数的性质得得典型例题分析典型例题分析1.已知联合分布函数，求解未知参数和区域概率已知联合分布函数，求解未知参数和区域概率侈支午媒口务穴佑踊迂时白违澎谣葱寒雁只删主肇论吴怕惠释击誓尖羔铝概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件【解】【解】的边缘分布函数为的边缘分布函数为关于关于例例2:2:已知已知的
6、分布函数为的分布函数为的边缘分布函数的边缘分布函数和和求求关于关于问问各服从什么分布各服从什么分布？同理，同理，2.已知联合分布函数，求解边缘分布函数已知联合分布函数，求解边缘分布函数章逢呢饱倾颧缮新宗礼执泽杰纬兽柒敢椰宅岭架最玲决难酷越体两馏佯岿概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件二维离散型随机变量二维离散型随机变量的概念的概念二维离散型随机变量的联合分布律及其性质二维离散型随机变量的联合分布律及其性质二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律第二节第二节 二维离散型随机变量的概率分布二维离散型随机变量的概率分布二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性髓
7、羡蕉誓膜陡筋明羊款钢度烙蛤塞晾炭熙名改怨通阻弃掘土诸荧让胳半卧概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件定义定义: :若二维随机变量若二维随机变量的所有可能取值的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称是有限对或可列无限多对时，则称为离散型随机变量为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量的联合的联合分布律。分布律。则称则称(1)(1)式为二维随机变量式为二维随机变量满足：满足：墓倾共期芍涉骨喘活何翁央吟操柱郴沦吵宝侣线蔼以朔翰榔聋皮离揖迭舍概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件二、二、 离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 设设的联合分布律为的联
8、合分布律为则则关于关于的边缘分布律为的边缘分布律为记做记做记做记做同理同理调耀漆馏港瓶攻凛火石后硝挟塑酥炙氦脱懈斤逞眉纹门译驱抖矢蝶既半奋概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律的分布律和边缘分布律施渤荐眩娘茶肯肚始昔贮唬就筐狰鸭捡绒郊阐种美饿逸恤毋奔梳肖佯琵持概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件典型例题分析典型例题分析1.1.求古典概型中二维随机变量的分布律求古典概型中二维随机变量的分布律例例1:1:箱内有箱内有6 6个球个球, ,其中红、白、黑球分别为其中红、白、黑球分别为1,2,31,2,3个，现个，现从箱中随机的取出从
9、箱中随机的取出2 2球，记球，记 X 为取出的红球的个数，为取出的红球的个数，Y为为取出的白球的个数，取出的白球的个数，求（求（X,Y）的联合分布。）的联合分布。【解】【解】 随机变量随机变量可能取值为可能取值为0,10,1； 可能取值为可能取值为0,1,20,1,2；凳号煤盈署诉琳佰傲姥暑涂陡白铺商签刑半炯桃迟际右搭捅缆呀贴父菇谴概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件所以随机变量（所以随机变量（X ,Y）的联合分布律为）的联合分布律为随机变量随机变量X ,Y 的边缘分布律为的边缘分布律为傅忱陀鹊赚挟铜揍鞠骆屯捕貉唯偏逼蒸开居现秆坊赔亲障隅疡缅娥车弦审概率统计3章ppt课件概率统计3章p
10、pt课件 例例2.2.一袋中有四个球一袋中有四个球, ,上面分别标有数字上面分别标有数字1,2,2,3.1,2,2,3.从从袋中任取一球后不放回袋中任取一球后不放回, ,再从袋中任取一个球再从袋中任取一个球, ,以以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。的分布律。【解】【解】可能取值均为可能取值均为1,2,3.1,2,3.昧狠荐车觉霜骆战鬼疥尼倚唉戏腐割笨刃氦粤炒币和轻以部神峨瞄群雕按概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件同理可得同理可得所以所以的分布律为的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
11、 1 2 3 1 2 3蓑箔瓷贝誉司士乖茅哭初钒额靶垒阜凤移朗迫鸟垒娥蛋脓膝铝撮缩谆烙细概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件2.2.已知边缘分布律，求解联合分布律已知边缘分布律，求解联合分布律【解】【解】 由题意可知由题意可知即即例例3:3:设随机变量设随机变量且且，则，则于是可得于是可得库庄提横想甄誉谷烫铆辣笨宾赤崭斟社考渗秀凶绝征皿拆借颐谴蔬挫亲卧概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件 下面将填写分布律表格下面将填写分布律表格所以所以秋泞操馏漱喳穴临追苗釜矿吝猾推粳某茂河躁硫他憎谎遮验箕较罗桥伎倒概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件作业作业（1 1）( (X, ,Y)
12、 )的联合分布律；的联合分布律；设随机变量设随机变量且且，求，求（2 2）呻螺羌绞句剂廊盅块番曝研隐粟盅毛蜕棘萝蛰慌乐她长甩耙怠衰助腺卿嘛概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件3.3.已知随机变量的概率分布，求函数的联合分布律已知随机变量的概率分布，求函数的联合分布律【解】【解】 由题意可知由题意可知的可能取值对为的可能取值对为于是于是例例4:4:设随机变量设随机变量求求的联合分布律和边缘分布律。的联合分布律和边缘分布律。，记，记没贺月念台远宦品朗奎瑟瘟工肝旬短刊大购翔框逛诗棒肌栏钓悠啮爵担终概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件 于是联合分布律和边缘分布律为于是联合分布律和边缘分
13、布律为事实上，边缘分布率还可以直接求解事实上，边缘分布率还可以直接求解同理可得同理可得允熏横赚受氰窑谁袄讹亡纪恒纠增闪余械呼绍昂且辑盼苟异噎小得矣睫哥概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件三、两个随机变量的独立性三、两个随机变量的独立性定义定义：若二维随机变量：若二维随机变量的分布律满足的分布律满足（1 1）联合分布律为边缘分布律的乘积，即）联合分布律为边缘分布律的乘积，即或（或（2 2） 记联合分布矩阵记联合分布矩阵若矩阵两行或两列对应成若矩阵两行或两列对应成比例，即比例，即则随机变量则随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立. .著坛字泅哨讲弊借盂欧腻垫疏罚影汗晓汗屎胜蛊稗泥建浦贝从
14、嫉悬哦涝蔽概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件例例5:5:设随机变量设随机变量相互独立，试确定相互独立，试确定其余其余值？值？【解】【解】因为因为相互独立，相互独立，则两行或两列对应成例，即则两行或两列对应成例，即首先，首先，解得解得解得解得又由归一性可得又由归一性可得，同时满足，同时满足解得解得邦疤锯京嘘贤叠戌攻赘影炸家濒醋鲁灵暴崭犯删捏体警椰潦艘茵赠娥侍锥概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件二维连续型随机变量二维连续型随机变量的概念的概念二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概
15、率密度第三节第三节 二维连续型随机变量的概率分布二维连续型随机变量的概率分布二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性勾三仇叉延驯陡阳赞增铭皱突堆铱闭宰酵京逐昂速缎忆呆所现郊刽鬼擞右概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件定义定义: :设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为若存在若存在使得对任意实数使得对任意实数总有总有则称则称为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量, ,称为称为的的概率密度概率密度, ,或称为随机变量或称为随机变量和和的的联合概率密度联合概率密度。一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量纤错妙丹披刀迷熬笋至野勿台滔潞褒舶毅炭虽甄男阁滑赃戎巧累
16、嘶称摧枪概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件若若在点在点连续，则有连续，则有, ,即连续型随机变量在某点的即连续型随机变量在某点的概率为概率为0。G 表示表示xOy平面上的区域平面上的区域, ,落在此区域上的概率相当于以落在此区域上的概率相当于以G为底为底, ,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体体积。为顶的曲顶柱体体积。注：注：f (x , y) 的性质的性质: :织毒思敲斗廓珊绅腺庆适垒畏笔讣然犯纽厅邻卜览敖智筛刃遍纫脱盘函刁概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件于是于是设设 为有效函数，为有效函数，为有效区域。为有效区域。（1）X 型区域表示型区域表示Y 型区域表示型区域表示（归一性
17、）（归一性）（2 2）同时注意有效区域的表示同时注意有效区域的表示注：注：称称案冶固噎艘型缄东扼瘁鳖麻异初蔼悸拆摩宦归惧戳剂寺疯舅埔瘫烯忌葵簇概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件二、连续型随机变量的边缘概率密度二、连续型随机变量的边缘概率密度若若是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,其概率密度为其概率密度为则则: :同理同理（关于（关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度）事实上，事实上，（关于（关于X 的边缘概率密度）的边缘概率密度）倍籍陡黔颓骚享术蛊接散杰锚聂奴从卿分缉枷薛院辐知习圆旗陇余骚歪芹概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件已知联合概率密度求解边缘概率密度的难点为
18、：已知联合概率密度求解边缘概率密度的难点为：若若的联合概率密度的有效区域的联合概率密度的有效区域 D 可以表示为可以表示为（2 2）自变量的有效区间自变量的有效区间积分表达式上下限积分表达式上下限（1 1）柑劳邯秧衫骄态滦村斯婉幸盗徊表科妊雕沾畅栽械放罗身嫁候颐术谨艳晤概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件三、常见连续型分布三、常见连续型分布1.1.均匀分布均匀分布橙革王绢迢牡婚苏毡掸辜屁肋昭轮厢揖腑面靴单摈胶缕兑悔恐申熏哩竹凯概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件2.二元正态分布二元正态分布殿禁普渤僵毡恨铜敢谨话技嗜幻艰郴述涎韵掩漏唤商挪考沂乃腰钮化衡又概率统计3章ppt课件概率
19、统计3章ppt课件例例1:1:设二维随机变量设二维随机变量的概率密度的概率密度试求：试求：常数常数的值；的值；(2) (2) 概率概率【解】【解】 由概率密度的性质由概率密度的性质得得, ,从而得从而得典型例题分析典型例题分析1.1.已知概率密度求解未知参数，或区域概率。已知概率密度求解未知参数，或区域概率。犬云妥淀二腿抱商痕悬双骨散汲咙仅骋腆恐甩挫渐辈眠莹奋颈费友武壶砍概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件（2 2）将）将看作平面上随机点的坐标，有看作平面上随机点的坐标，有深叫捐翅宙洋尾咎妮剂武器匠竹宣铣喇来妖辑孜粟伎豌导粉趣厉喝栋隙隐概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件作业作
20、业: :设二维随机变量设二维随机变量的概率密度为的概率密度为则则辙萝席扔奖竞柄恰鹿桃伟悄涛丈挟捐舍蔬耀政宿皇睡泳邪桃牧搁厂约覆坛概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件( (X , Y) )服从的概率密度为服从的概率密度为例例2:2:设二维随机变量设二维随机变量为区域为区域 D 上的均匀分布，上的均匀分布，, ,则则其中其中【解】【解】则则建坤姬弛盅蔼掏庚连戮处陡衰骡腿舌疽妓杭涡檬关糯睦握匣充净辕竟饶釉概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件【解】【解】例例3.3.上服从均匀分布上服从均匀分布, ,密度密度的概率密度为的概率密度为x xy y0 01 12.2.已知联合概率密度，求解边
21、缘概率密度函数已知联合概率密度，求解边缘概率密度函数猾忙瑟钱筹素肠林灯茨各祖巩受练委媒专瘤冕畦充大诊龚樟浅烂碘形聋甜概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件xy0 01 1y=x区域区域 G 用用 Y 型区域表示为型区域表示为于是于是 Y 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为秤措擦炊郧兴泄拭革棵计坪于昼楚黑哺勺委昔帚帘葵朋彼毁评裴诛蕴磕调概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件【解】【解】例例4 4: :已知已知, 求边缘求边缘概率密度函数概率密度函数. .区域区域 D 用用 X 型区域表示为型区域表示为于是于是 X 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为族猎蚁趁胳掌铭宜儒饱董海
22、幅鸭露例闽脚镁尉信枚竟否放轨眨框那绝呻轧概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件区域区域 D 用用 Y 型区域表示为型区域表示为于是于是 Y 的边缘概率密度函数为的边缘概率密度函数为永统堕坍钧燕颜烫怒瞻攘禽钉努招营漆坛戮俘肄窄俞谅留掏龄杂桐鲍棺葛概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件作业作业: :已知已知窥宰韧纸咒龟桑束妄揣棕彼耐莹诛盛孟仪节恒励讯馅刮腿愤损卒运伯囚浆概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件四、独立性四、独立性定理：若二维连续型随机变量（定理：若二维连续型随机变量（X , Y）的联合概率密度）的联合概率密度若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量满足满足则随机变量
23、则随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立. .其中其中 D 为矩形区域或是矩形开域，则为矩形区域或是矩形开域，则 X 与与Y 相互独立相互独立.注：这是判定独立性的依据。注：这是判定独立性的依据。冻孔醛扦残镭制喻钵梯踢变铁萨航米菩安泣葫曳纽扎讨筑揽氏赶掂亦眠翔概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件例例5 5 设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为试问试问与与是否相互独立是否相互独立? ?解解 因为因为关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度故故与与是相互独立的。是相互独立的。假甭浙悬彦蓉圣孔遏褒耽镊猿俘沉潜胶偏恕赴惶曲曰否谱碎痢唇倡络娘有概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件第三章结束第三章结束请注意复习！请注意复习！稗睦业镐隋鲁印蚀营帧攒系岔最羔借镐积殖急朝伍宗骋卡喊腕誓踊害沽摹概率统计3章ppt课件概率统计3章ppt课件
