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1、有限元方法Finite Element Method金朝海北京航空航天大学课程目标1)了解有限单元法的基本思想、有限元软件的基本结构和有限元法当前的进展情况。 2)学习有限单元法的原理结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元等概念。3)能从较高层次(数力原理)上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力。4)能够对有限元分析结果的有效性和准确性进行评估，同时要认识到有限元方法的局限性。 北京航空航天大学进度安排l第1讲 有限元方法概述l第2讲 数理力学基础l第3讲 弹性问题有限元方法l第4讲 等参元和高斯积分l第
2、5讲 结构单元l第6讲 材料非线性l第7讲 几何非线性l期末考试 (2010.4.26)北京航空航天大学课程评估l出勤率 10%l课堂作业 40%l期末考试 50%北京航空航天大学参考书籍1.王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理和数值方法 . 北京 : 清华大学出版社, 19972.朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2版）. 北京: 中国水利水电出版社, 19983.曾攀. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版社, 2004北京航空航天大学4.Ted Belytschko著, 庄茁（译）. 连续体和结构的非线性有限元. 北京 : 清华大学出版社, 20025.王国强，实用工程数值模拟技术
3、及其在ANSYS上的实践，西安：西北工业大学出版社，1999 北京航空航天大学主要工学硕士数学课程l工程数学l计算方法（数值分析）l随机过程l矩阵论l运筹学（最优化方法）l图论l模糊数学l有限元方法l小波分析l应用泛函分析北京航空航天大学数学课程在研究生培养中的重要性l科技发展日新月异，数学科学地位不断提高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。l数学的面貌发生很大变化，现代数学在理论上更加抽象、方法上更加综合、应用上更加广泛。l综合运用数学的能力关系到研究生的创新能力和研究水平的提高，对研究生的论文质量至关重要。北京航空航天大学预备知识预备知识 l线性代数l数值分析l材料力学l弹性力学l弹塑性力
4、学北京航空航天大学第1讲 有限元法简介(绪论)1.1 有限元方法形成的背景1.2 有限元方法的基本原理和思路1.3 有限元分析主要应用领域1.4 常用有限元分析软件介绍1.5 有限元分析的作用及地位1.6 相关数值方法介绍北京航空航天大学1.1 有限元方法形成的背景l两类典型的工程问题l有限元法形成的背景工程师的角度数学家的角度l我国力学工作者的贡献北京航空航天大学两类典型的工程问题第一类问题第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。平面桁架结构，由4个承受轴向力的“杆单元”组成。1889年建成的Eiffel铁塔，由18036个部件组成北京
5、航空航天大学第二类问题第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。弹性力学问题的基本方程与边界条件如下：平衡方程：几何方程：物理方程：边界条件：北京航空航天大学两类问题的对比l第一类问题的研究对象称为离散系统离散系统。离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。l第二类问题的研究对象称为连续系统连续系统。可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来求解。北京航空航天大学有限元法形成的背景为了解决这个困难，工程师和数学家开始寻
6、找一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从两条不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。 结构分析的有限元方法是由一批工业界和学术结构分析的有限元方法是由一批工业界和学术界的研究者在二十世纪五十年代到六十年代创界的研究者在二十世纪五十年代到六十年代创立的。立的。 有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于飞机结构静、动态分析中的矩阵位移法矩阵位移法。北京航空航天大学工程师方面l思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的矩阵公式。从固体力学的角度看
7、，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。北京航空航天大学l1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到了正确的解答。l1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite
8、 Element）这一术语。北京航空航天大学数学家方面l数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。l1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文，为有限元研究奠定了重要的基础。l1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。北京航空航天大学l1965年和（张佑启）发现只要
9、能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。l1967年，Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著。北京航空航天大学l1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题，Oden于1972年出版了第一本关于处理非线性连续体的专著。 这一时期的理论研究是比较超前的。这一时期的理论研究是比较超前的。北京航空航天大学我国力学工作者的贡献l陈伯屏（结构矩阵方法）l钱伟长、胡海昌（广义变分原理）l冯康（有限单元法理论）20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。-数学辞海第四卷北京
10、航空航天大学1.2 有限元分析的基本原理和思路l有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算方法，起源于固体力学，然后迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他物理领域。l有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。l有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。北京航空航天大学真实系统真实系统有限元模型有限元模型有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点具有一定的自由度。齿轮有限元模型齿轮有限元模型北京航空航天大学自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应
11、特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 分析对象分析对象 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ北京航空航天大学基本思路：分割基本思路：分割-组合组合l将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化）l用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析）l将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析） 这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。北京航空航天大学圆面积北京航空航天大学自重作用下等截面直杆的解受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。
12、试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。北京航空航天大学材料力学解答北京航空航天大学有限元法解答（1）离散化将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。两段之间的连接点称为节点，每个有限段称为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个节点。X北京航空航天大学（2）单元分析用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。第i结点的位移第i结点的坐标线性插值得到的线性插值得到的北京航空航天大学第i个单元的应变应力内力北京航空航天大学（3）整体分析首先把外载荷集中到节点上：把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上北京航空航天大学建立结点的力平衡方
13、程：对于第i+1结点，由力的平衡方程可得令(i=1,n-1)北京航空航天大学对于第n+1个结点，第n个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡，因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。再加上约束条件北京航空航天大学l有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。l现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位，有关有限元方法的研究已经成为数值计算的主流。涉及有限元方法的杂志
14、有几十种之多。北京航空航天大学1.3 有限元分析主要应用领域l结构分析结构分析l热分析热分析l电磁分析电磁分析l流体分析流体分析 l耦合场分析耦合场分析 - 多物理场多物理场北京航空航天大学结构分析结构分析l结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件，如活塞，传动轴等等。l结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由度）是位移，其他的一些未知量，如应变，应力，和反力可通过节点位移导出。北京航空航天大学结构分析结构分析-分类分类n静力分析 -用
15、于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非线性行为，例如: 大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等. n动力分析 -动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。“动力学特性” 可能指的是下面的一种或几种类型:振动特性 - （结构振动方式和振动频率）周期（振动）载荷的效应随时间变化载荷的效应n屈曲分析 -用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态。包括线性（特征值）和非线性屈曲分析。北京航空航天大学静力分析转向机构支架的强度分析（MSC/Nastran）北京航空航天大学动力分析（五种类型）五种类型）l模态分析 - 计算线性结构的自振频率及振形. 模态分析是用来确
16、定结构的振动特性的一种技术：l自然频率l振型模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容。整机模态分析整机模态分析北京航空航天大学模态分析的作用：模态分析的作用：l使结构设计避免共振或以特定频率进行振动使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声器）；（例如扬声器）； 汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同时，就可能会被震散。 拆除机器人工作在强振动环境下，其工作装置为液压冲击器，设计时需确保其激振源频率避开整机的一阶固有频率 。 l有助于在其它动力分析中估算求解控制参数有助于在其它动力分析中估算求解控制参数（如时间步长）。（如时间步长）。北京航空航天大学1阶模态振型为整个工作
17、臂作为一个整体在可旋转机座上做横向摆动阶模态振型为整个工作臂作为一个整体在可旋转机座上做横向摆动 拆除机器人的激振源拆除机器人的激振源(液压冲击器液压冲击器)的频率为的频率为7.512.5Hz，而其，而其1阶模态阶模态频率为频率为12.305Hz，正好处于这一区间，这说明在拆除机器人工作在最高，正好处于这一区间，这说明在拆除机器人工作在最高工作频率的时候，极易诱发其工作频率的时候，极易诱发其1阶模态，因此需要对其结构进行相应的改阶模态，因此需要对其结构进行相应的改进，以避开其进，以避开其1阶固有频率，提高整机的动力学特性。阶固有频率，提高整机的动力学特性。 1阶振型图 北京航空航天大学l谱分析
18、 是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变 (也叫作 响应谱或 PSD).l谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支座、固定装置和部件；受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、飞机机翼、桥和塔等。l瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.l显式动力分析-计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.显式求解冲击、碰撞、复杂金属成形等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.北京航空航天大学车辆安
19、全性车辆安全性北京航空航天大学热分析l热分析在许多工程应用中扮演重要角色，如内燃机、涡轮机、换热器、管路系统、电子元件等。l热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力. l热相关问题相变 (熔化及凝固), 内热源 (例如电阻发热等)三种热传递方式 (热传导、热对流、热辐射)稳态传热：系统的温度场不随时间变化瞬态传热：系统的温度场随时间明显变化热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.北京航空航天大学工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布 (NSHT3D)北京航空航天大学潜水艇内外壁面温度及温度分布 (Ansys)北京航空航天大学发动
20、机瞬态热仿真电熨斗瞬态热仿真铸造成型：温度变化和气泡金属反挤压成型：温度分布和变化北京航空航天大学电磁分析l磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等.l磁场可由电流、永磁体、外加磁场等产生.磁场分析 用于计算磁场.北京航空航天大学磁场分析的类型:l静磁场分析 - 计算直流电（DC)或永磁体产生的磁场.l交变磁场分析 - 计算由于交流电(AC)产生的磁场.l瞬态磁场分析- 计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.电磁接触：磁悬浮列车仿真北京航空航天大学电场分析 用于计算电阻或电容系统的电场. 典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热
21、等.高频电磁场分析 用于微波及RF无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析.北京航空航天大学流体分析 流体分析 用于确定流体的流动及热行为. 可以处理不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.作用于气动翼(叶)型上的升力和阻力超音速喷管中的流场弯管中流体的复杂的三维流动导流管分析导流管分析压力速度北京航空航天大学超音速飞行压力分布汽车气动分析高速导弹气动北京航空航天大学耦合场分析耦合场分析 考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。例如： 在压电力分析中，需要同时求
22、解电压分布（电场分析）和应变（结构分析）.其他需要耦合场分析的典型情况有：l热应力分析l流体结构相互作用l感应加热（电磁热）, 感应振荡两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况北京航空航天大学1.4 常用有限元分析软件介绍l有限元法得以飞速发展的一个重要原因就是在工程实际中提出了一大批重要问题需要进行分析： 航空、机械制造、土木工程、冶金、核能、地震、气象l从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。北京航空航天大学l常用大型通用有限元软件 ADINA、 ABAQUS、 ANSYS、 MSC/Marc、 M
23、SC/Nastranl一些专用有限元软件LS_DYNA、 PAM-CRASH、 MSC/Dytran (碰撞）Autoform、 DYNAFORM、PAM-STAMP（冲压）、 DEFORM(体积成形)、 SysWeld（焊接）MOLDFLOW(注塑)、 ProCast (铸造)、AdvantEdge (切削)SimFact(体积成形)北京航空航天大学ADINAlAutomatic dynamic incremental nonlinear analysisl1975 年 K. J. Bathe (Wilson的学生)在美国MIT创办ADINA公司l大型通用非线性分析软件 (注： 20世纪60
24、年代美国加州大学Wilson教授主持开发了第一个第一个大型通用结构分析程序SAP)北京航空航天大学ADINAhttp:/北京航空航天大学ABAQUSl1978年，三位著名学者Hibbitt, Karlsson和Sorensen成立HKS公司，推出有限元产品为ABAQUS。总部位于美国的罗德岛州（Rhode Island）。l国际上最先进的大型通用有限元分析软件之一。特别是它的非线性力学分析功能具有世界领先水平。l两个主要分析模块： ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicitl国内清华大学工程力学系提供技术支持和服务。(公司)北京航空航天大学ABAQUShttp:/北京航空航
25、天大学ANSYSl1970年由John Swanson博士在美国匹兹堡创办，Swanson公司，后改名ANSYS公司。l集结构、热、流体、电磁于一体的大型通用有限元分析软件。l在全球拥有最大的用户群，是国际上最流行的主流软件之一。l国内办事处：北京、上海、成都、广州。北京航空航天大学ANSYS发展历程北京航空航天大学ANSYS中国http：/北京航空航天大学MSC/Nastranl1963年，R. MacNeal博士和R. Schwendler创办MSC公司l1964年，MSC承担美国航空航天局（NASA）项目，主持 NASTRAN的开发 l 1971年，MSC推出专利版MSC/NASTRAN
26、 l 1989年, 发布经重大改进的 MSC/NASTRAN66 北京航空航天大学l1994年，MSC公司发布了经重大改进的 MSC/NASRANV68版 l1994年，MSC与PDAE合并,形成了以MSC/ NASTRAN为核心的MSC产品系列产品系列 如：MSC.PATRAN、MSC.THERMAL、MSC.FATIGUE等l1997年, MSC/NASTRAN V70版l 2001年,MSC/NASTRAN2001版航空航天领域的标准化结构分析软件北京航空航天大学MSC/Marcl1967年美国布朗大学力学系的Pedro Marcal教授创立Marc公司l大型通用非线性分析软件l后因经营
27、上的问题，被MSC公司并购北京航空航天大学MSC中国http:/北京航空航天大学DYNA3Dl1976年由Lawrence Livermore 国家实验室的John Hallguist博士发布l显式有限元理论和程序的鼻祖，其独特的算法非常适合求解碰撞、爆炸、金属成形等高度非线性问题。l目前状况 u 被法国ESI公司商品化为PAMCRASHu 1989 Hallguist推出商业化版本LS-DYNA(3D)u Dynaform-PC, Ansys/LS-DYNA北京航空航天大学几种通用有限元软件的比较 软件一般结构非线性爆炸 与冲击电磁场温度场流体力学多场耦合易用性使用范围二次开发MSC.NAS
28、TRAN5303532152MSC.MARC5503533355ABAQUS5543533455ANSYS5405545555ADINA5503544251（5分制： 强5弱1 易5难1 广5小1） 北京航空航天大学有限元软件的主要发展趋势并行运算单元库、材料库多物理场耦合、多体耦合、多尺度耦合分析多尺度耦合分析增进前后处理能力及与CAD软件的集成技术优化技术北京航空航天大学1.5 有限元分析的作用及地位l现代工业的进步，完全得力于计算机科技的突飞猛进。将计算机、计算机软件应用于产品的开发、设计、分析与制造，已成为近代工业提升竞争力的主要方法。CADCAMCAE CAE：在产品的研发过程中，利
29、用计算机进行建模及性能仿真分析北京航空航天大学l有限元法是CAE的最主要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。利用有限元分析可以获取几乎任意复杂工程结构的各种机械性能信息，可以直接就工程设计进行各种评判及优化，提高产品品质。l一个新产品的问题有60%以上可以在设计阶段消除，如果人们有先进的精确分析手段。北京航空航天大学l目前，国际上有90%以上的机械产品和装备都要采用有限元方法进行分析，进而进行设计修改和优化。l有限元分析已成为替代大量实物试验的数值化“虚拟试验”，基于该方法的大量计算分析与典型的验证性试验相结合可以做到高效率和低成本。北京航空航天大学1.6
30、相关数值方法介绍l有限差分法(FDM)l有限元法(FEM)l有限体积法(FVM)l无网格法(Meshfree)l边界元法(BEM)北京航空航天大学有限差分方法(FDM)l有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。l对简单的几何形状中的流体流动与换热问题
31、是一种最容易实施的数值方法。在流体力学中，差分方法仍然是主要的数值方法。北京航空航天大学根据边界G的形状，采用最简单，最有规律，和边界的拟合程度最佳的方法来分割。常用正方形分割法和矩形分割法。若场域的网络节点都落在边界G上，则显然无需再做处理。但是在一般情况下，边界G是不规则的。网络节点不可能全部都落在边界G上。有限差分法的主要缺点是对复杂区域的适应性较差，对网格的光滑性有较高要求。北京航空航天大学有限元方法(FEM)l有限元方法(FEM)的基础是变分原理或加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改
32、写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。l有限元法的最大优点是对不规则区域的适应性好。但计算工作量一般较有限体积法大，而且在求解流体流动与传热问题时，对流体的离散处理方法及在不可压流体原始变量求解方面没有有限体积法成熟。北京航空航天大学有限体积法(FVM)l有限体积法（FVM）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值
33、在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。l是目前流体流动与传热问题的数值计算中应用最广的一种数值方法。l只能达到二阶精度，相比于有限元法，效率高，无网格重划分问题。北京航空航天大学三者各有所长l有限差分法: 直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。 l有限元方法:
34、 适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于内存和计算量巨大。并行不如FDM和FVM直观。l有限体积法: 适于流体计算，可以应用于不规则网格，适于并行。但是精度基本上只能是二阶了。FVM的优势正逐渐显现出来，FVM在应力应变，高频电磁场电磁场方面的特殊的优点正在被人重视。 北京航空航天大学无网格数值方法(Meshfree)l有限元法或有限差分法都有其局限性。人们从20世纪70年代中期开始试图设计一种新的数值方法无网格方法。到目前为止已出现了多种无网格数值方法，其中光滑质点动力学法（SPH-Smooth Particle Hydrodynamics）是提出最早发展较突出的一种方法。由于SPH法不用网格
35、，没有网格畸变问题，所以能在拉格朗日格式下处理大变形问题，同时，SPH法允许存在材料界面，可以简单而精确地实现复杂的本构行为，也适用于材料在高加载速率下的断裂这个困难的问题。l多用于分析受网格划分的限制，采用有限元法而不易解决的问题，如大变形、裂纹扩展、爆炸等。 北京航空航天大学边界元法(BEM)l它以定义在边界上的边界积分方程为控制它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界单元插值离散，化为代方程，通过对边界单元插值离散，化为代数方程组求解。数方程组求解。l由于只需对边界进行离散和插值，使解题由于只需对边界进行离散和插值，使解题的维数降低一维，大大减少了工作量；的维数降低一维，大大减少了工作量；l每个问题都要找到基本解，形式复杂，一般适合处理特殊问题，如声学问题和波的传播问题。北京航空航天大学附录：平面桁架问题求解北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学
