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1、函数的单调性和极值一、函数单调性的判别方法二、函数极值的判别法三、函数的最大值、最小值的求法函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)一、函数单调性的判别方法罗尔定理拉格郎日定理函数单调性的判别方法函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)定理定理1 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )使在( a , b ) 内至少存在一点函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-
2、2)使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为在 ( a , b ) 内可导, 且在( a , b ) 内至少存在一点函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)定理定理2 拉格朗日中值定拉格朗日中值定理理(1) 在区间 a , b 上连续满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 . 证毕函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)推论推论1:若函数在区间 I 上满足则在
3、I 上必为常数.推论推论2：如果函数 在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意 有 则在(a,b)内 ， ， 其中c为常数。函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 3. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例2. 确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)说明说明: 1)单调区间的分
4、界点除导数为零的点外, 也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例4. 证明方程有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在使即方程有小于 1
5、的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但矛盾, 故假设不真!设函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例5. 证明等式证证: 设由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验: 欲证时只需证在 I 上函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例6. 证明不等式证法证法1: 设中值定理条件,即因为故因此应有函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)二、函数的极值函数的极值定义定义:在其中当时,(1) 则称 为 的极大点极大点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2
6、) 则称 为 的极小点极小点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大点与极小点统称为极值点极值点 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)注意注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如例如为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)定理定理 5 (极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左正右负左正右负” ,(2) “左负右正左负右正” ,函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例7.
7、 求函数求函数的极值 .解解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)定理定理6 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)求函数极值的一般步骤：确定定义域，并求出所给函数的全部驻点考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点求出极值点处的函数值，得到极值函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)求函数极值的一般步骤：若函数定理6失效，应运用定理5，其步骤为：1、确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不
8、存在的点；2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；3、求出极值点处函数值，得到极值。函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例8. 求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)定理定理7 (判别法的推广判别法的推广)则:数 , 且1) 当 为偶数时,是极小点 ;是极大点 .2) 当 为奇数时,为极值点 , 且不是极值点 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例如例如 , 例2中所以不是极值点 .极值的判别法( 定理5 定理7 ) 都是充分的. 说明说明:当这些充分条
9、件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:为极大值 , 但不满足定理1 定理3 的条件.函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 ,
10、有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例11. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解: 显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)( k 为某一常数 )例例13. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20解解: 设则令得
11、 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问Km ,公路, 函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)例例14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)用开始移动,例例16. 设有质量为
12、5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作解解: 克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题 . 为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)令解得而因而 F 取最小值 .解解:即令则问题转化为求的最大值问题 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例17. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则令得驻点根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察
13、者在距墙多远处看图才最函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值(4) 判别法的推广函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习(L. P500 题4)2. 连续函数的最值1. 设则在点 a 处( ).的导数存在 ,取得极大值 ;取得极小值;的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)2. 设在的某邻域内连续, 且则在点处(A) 不可导 ;(B) 可导, 且(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .函数的单调性与极值课件(北师大版选修2-2)
