spss(时间序列分析)精讲

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1、SPSSSPSS与时间序列分析与时间序列分析 本章基本内容包括本章基本内容包括1.时间序列简介时间序列简介2.时间序列趋势的分解时间序列趋势的分解3.指数平滑模型指数平滑模型4.时间序列的一些基本概念和相关图时间序列的一些基本概念和相关图5.ARIMA模型及性质模型及性质6.ARIMA模型的拟合模型的拟合第一节第一节 简介简介一、横截面数据与时间序列数据一、横截面数据与时间序列数据人们对统计数据往往可以根据其特点从两个方面来切入，以人们对统计数据往往可以根据其特点从两个方面来切入，以简化分析过程。一个是研究所谓简化分析过程。一个是研究所谓横截面横截面(cross section)数据数据，也就

2、是对大体上同时，或者和时间无关的也就是对大体上同时，或者和时间无关的不同对象的观测值不同对象的观测值组成的数据。组成的数据。另一个称为另一个称为时间序列时间序列(time series)数据数据，也就是由，也就是由同一对象同一对象在不同时间的观测值在不同时间的观测值形成的数据。如形成的数据。如前面讨论的模型多是和横截面数据有关。本章将讨论时间序前面讨论的模型多是和横截面数据有关。本章将讨论时间序列数据的统计分析。列数据的统计分析。横截面数据也常称为变量的一个横截面数据也常称为变量的一个简单随机样本简单随机样本，也即假设每，也即假设每个数据都是来自于总体分布的一个取值，且它们之间是相互个数据都是

3、来自于总体分布的一个取值，且它们之间是相互独立的独立的(独立同分布独立同分布)。而时间序列的最大特点是而时间序列的最大特点是观测值并不独立观测值并不独立。时间序列的一个。时间序列的一个目的是用变量过去的观测值来预测同一变量的未来值目的是用变量过去的观测值来预测同一变量的未来值。下面看一个时间序列的数据例子。下面看一个时间序列的数据例子。例例1. 某企业从某企业从1990年年1月到月到2002年年12月的月销售数据月的月销售数据(单位：单位：百万元百万元)储存于储存于SPSS数据文件数据文件tssales.sav中。中。在该数据文件中，除了销售额变量在该数据文件中，除了销售额变量“sales”以

4、外，还有三以外，还有三个个时间变量时间变量“year”、“month”和和“date”。事实上这三。事实上这三个变量是我们后期通过个变量是我们后期通过SPSS操作自动加上去的。操作自动加上去的。选择选择SPSS菜单中的菜单中的“Data = Define Dates”选项，在弹出选项，在弹出窗口的窗口的“Cases Are”下方选择下方选择“Years, months”，再在右，再在右侧侧“First Case Is”下的空格输入下的空格输入起始时间起始时间，即可自动生成，即可自动生成该例中的三个时间变量。该例中的三个时间变量。当然，根据数据记录的背景不同和不同的需要，我们也可以当然，根据数据

5、记录的背景不同和不同的需要，我们也可以选择选择“Days”、“Weeks” 等其他形式的时间变量。等其他形式的时间变量。作为时间序列数据的一个基本要求，其数据都是作为时间序列数据的一个基本要求，其数据都是等间隔记录等间隔记录的，比如每天或每月记录一个数据。的，比如每天或每月记录一个数据。在金融时间序列在金融时间序列(比如股票价格比如股票价格)，每周的记录时间只有，每周的记录时间只有5天天(周一至周五周一至周五)，此时我们也把它当成是等间隔记录的，此时，此时我们也把它当成是等间隔记录的，此时记录的时间间隔是记录的时间间隔是“每个工作日每个工作日”。我们接下来看看例我们接下来看看例1的销售数据的的

6、销售数据的时间序列图时间序列图(TSplot)。图图1 销售数据的时间序列图销售数据的时间序列图(返回返回27页页)从图从图1可以看出：该企业销售额总的趋势是可以看出：该企业销售额总的趋势是增长增长的；但增长的；但增长并不是单调上升的，有涨有落。并不是单调上升的，有涨有落。更进一步，这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的更进一步，这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期周期有关系。有关系。当然，除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的当然，除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随随机因素机因素的作用。的作用。这些都说明了这个数据前后之间不是独立而是这些都说明了这个数据前后之间不是独

7、立而是相关的相关的。上述图形是选择上述图形是选择SPSS菜单中的菜单中的“Graphs = Sequences”选选项，在窗口中把项，在窗口中把“sales”作为画图变量作为画图变量“Variables”，而，而把把“year”作为横坐标作为横坐标“Time Axis Labels”而得到的。而得到的。在在成图后我们还把时间标值的间隔和格式做了修改。成图后我们还把时间标值的间隔和格式做了修改。二、时间序列分析的目的二、时间序列分析的目的在例在例1中，我们希望能够从这些历史销售数据出发，找出其中，我们希望能够从这些历史销售数据出发，找出其中的一些中的一些规律规律，并且建立可以对未来的销售额进行，

8、并且建立可以对未来的销售额进行预测预测的时的时间序列模型，这一统计过程就是时间序列分析。间序列模型，这一统计过程就是时间序列分析。事实上，事实上，时间序列分析也是一种回归时间序列分析也是一种回归。回归分析的目的是回归分析的目的是建立建立应变量和自变量之间关系的应变量和自变量之间关系的模型模型；并；并且可以且可以用自变量来对应变量进行用自变量来对应变量进行预测预测。而在时间序列分析中，应变量为变量而在时间序列分析中，应变量为变量未来的可能值未来的可能值，而用来，而用来预测的自变量中就包含该变量的一系列预测的自变量中就包含该变量的一系列历史观测值历史观测值。时间序列的时间序列的自变量也可能包含随着

9、时间度量的独立变量自变量也可能包含随着时间度量的独立变量。三、指数平滑模型三、指数平滑模型时间序列分析的一个简单和常用的预测模型叫做时间序列分析的一个简单和常用的预测模型叫做指数平滑指数平滑(exponential smoothing)模型模型。指数平滑只能用于指数平滑只能用于纯粹时间序列纯粹时间序列的情况，而不能用于含有独的情况，而不能用于含有独立变量时间序列的因果关系的研究。立变量时间序列的因果关系的研究。指数平滑的指数平滑的原理原理为：为：利用过去观测值的利用过去观测值的加权平均加权平均来预测未来来预测未来的观测值的观测值(这个过程称为这个过程称为平滑平滑)，且，且离现在越近的观测值要给

10、离现在越近的观测值要给以越重的权以越重的权。而而“指数指数”意味着：按历史观测值记录时间离现在的距离远意味着：按历史观测值记录时间离现在的距离远近，其上的近，其上的权数按指数速度递减权数按指数速度递减。这一距离通常用这一距离通常用数据间隔位置差数据间隔位置差，也称，也称步数步数(lag)来表示。来表示。若记时刻若记时刻 t 的观测值为的观测值为 Xt 时刻时刻 t 的指数平滑记为的指数平滑记为 Yt 。指数平滑的数学模型为指数平滑的数学模型为Yt = a aXt+a a(1- -a a)Xt -1+a a(1- -a a)2Xt -2+ +a a(1- -a a)t-1X1, (1) 其中其中

11、0a aN 。见图。见图2，其中取，其中取a a = 0.4。图图2 销售数据的简单指数平滑销售数据的简单指数平滑指数平滑的指数平滑的SPSS操作操作 选择菜单中的选择菜单中的“Analyze = Time Series = Exponential Smoothing”选项，在弹出的选项，在弹出的窗口中把变量窗口中把变量“sales”选入选入“Variables”空格。空格。 点击右下方点击右下方“Parameter”按钮，在新弹出窗口改变权按钮，在新弹出窗口改变权重指数重指数a a 的取值；点击的取值；点击“Continue”返回。返回。 点击点击“Save”按钮，在新窗口选择按钮，在新窗口

12、选择“Predict through”，并在下方，并在下方“Year”后输入后输入“2003”，表示将预，表示将预测测2003年的销售额；点击年的销售额；点击“Continue”返回一级窗口，点返回一级窗口，点“OK”即可。即可。指数平滑的结果储存在原数据文件后新增的两个变量中，它指数平滑的结果储存在原数据文件后新增的两个变量中，它们分别是们分别是指数平滑数据指数平滑数据Yt 以及以及Yt 与与 Xt 之间的之间的误差误差。图图2即为即为Xt 与与 Yt 叠合在一起的共同的时间序列图。叠合在一起的共同的时间序列图。从图从图2可以看出一下几点：可以看出一下几点：1.指数平滑曲线比原有观测值曲线来

13、得指数平滑曲线比原有观测值曲线来得平整光滑平整光滑些，其波动些，其波动没有原来那么强了，这也是平滑一词的来意。没有原来那么强了，这也是平滑一词的来意。2.不考虑最初几个指数平滑值，当不考虑最初几个指数平滑值，当 t N 时时，指数平滑曲线很快得呈一条直线状，指数平滑曲线很快得呈一条直线状，没没有体现出原有观测值的上升趋势和周期性规律有体现出原有观测值的上升趋势和周期性规律。可见用这。可见用这一指数平滑作为原销售数据的预测效果不理想。一指数平滑作为原销售数据的预测效果不理想。上述第三点的原因是我们在做指数平滑时没有考虑原数据上述第三点的原因是我们在做指数平滑时没有考虑原数据的任何趋势或周期规律，

14、我们在下一节再对此做弥补。的任何趋势或周期规律，我们在下一节再对此做弥补。第二节第二节 时间序列的分解时间序列的分解一、成分的分离一、成分的分离从图从图1可以看出，该销售数据序列由三部分组成：指数向上可以看出，该销售数据序列由三部分组成：指数向上的的趋势趋势(trend)、周期性变化的、周期性变化的季节季节成分成分(seasonal component) 和无法用趋势和季节模式解释的和无法用趋势和季节模式解释的随机干扰随机干扰(disturbance)。一般的时间序列还可能有一般的时间序列还可能有循环循环或或波动成分波动成分(Cyclic, or fluctuations)。循环模式和有规律的

15、季节模式不同，其周期长短不一定固定。循环模式和有规律的季节模式不同，其周期长短不一定固定。比如经济危机周期，金融危机周期等等。比如经济危机周期，金融危机周期等等。一般地来讲，一个时间序列可能有一般地来讲，一个时间序列可能有趋势趋势、季节季节、循环循环这三个这三个成分中的成分中的某些或全部某些或全部再加上再加上随机成分随机成分组成。组成。时间序列的分解时间序列的分解就是要把一个时间序列中可能包含的各种成就是要把一个时间序列中可能包含的各种成分分解开来，以便于有针对性的进一步分析讨论。分分解开来，以便于有针对性的进一步分析讨论。就例就例1中的时间序列的分解，通过中的时间序列的分解，通过SPSS软件

16、，可以很轻而软件，可以很轻而易举地得到该序列的趋势、季节和误差成分。易举地得到该序列的趋势、季节和误差成分。SPSS操作操作 选择菜单中的选择菜单中的“Analyze = Time Series = Seasonal Decomposition”选项，把变量选项，把变量“sales”选选入入“Variables”空格，再在空格，再在“Model”下选择下选择“Additive”，点击，点击“OK”即可得到分解结果。即可得到分解结果。上述上述SPSS对时间序列做分解的结果自动储存在原有数据对时间序列做分解的结果自动储存在原有数据文件中新增的几个变量中，它们分别是：文件中新增的几个变量中，它们分别

17、是：1.err_1：误差误差(error)项，也即原序列的随机扰动成分，记项，也即原序列的随机扰动成分，记为为ERt ；2.sas_1：季节调整后的序列季节调整后的序列(seasonal adjusted series) ，记为，记为SAt ；3.saf_1：季节因素季节因素(seasonal factor) ，记为，记为SFt ；4.stc_1：去掉季节及随机扰动后的：去掉季节及随机扰动后的趋势及循环因素趋势及循环因素(trend-cycle series)，记为，记为TCt 。这些分解出来的序列或成分与原有时间序列这些分解出来的序列或成分与原有时间序列之间有如下的简单和差关系：之间有如下的

18、简单和差关系：Xt = SFt + SAt , (3)Xt = SFt + TCt + ERt . (4)图图3 销售数据的季节因素分离销售数据的季节因素分离可以看出，这一销可以看出，这一销售数据序列大致上售数据序列大致上是以一年是以一年(12个月个月)为周期的。为周期的。 图图4 销售数据的趋势与扰动分离销售数据的趋势与扰动分离可以看出，逐月的销可以看出，逐月的销售额大致沿一个指数售额大致沿一个指数曲线呈增长趋势。曲线呈增长趋势。 图图5 分离季节和趋势后的扰动序列分离季节和趋势后的扰动序列 (返回返回27页页)可以看到，扰动项不再带有明显的周期或趋势。可以看到，扰动项不再带有明显的周期或趋

19、势。二、带季节与趋势的指数平滑二、带季节与趋势的指数平滑如果我们不仅仅满足于分解现有的时间序列，而且想利用该如果我们不仅仅满足于分解现有的时间序列，而且想利用该分解对未来进行更好的预测，就可以建立分解对未来进行更好的预测，就可以建立带季节成分和趋势带季节成分和趋势的指数平滑模型的指数平滑模型。作这样的指数平滑，必须事先作这样的指数平滑，必须事先估计估计出季节成分和趋势，其估出季节成分和趋势，其估计结果就是这两条曲线的函数关系式计结果就是这两条曲线的函数关系式(参数参数)，也即时间指标，也即时间指标 t 的两个确定的的两个确定的(非随机的非随机的)函数。函数。分别记季节因素和趋势分别记季节因素和

20、趋势(及循环及循环)的估计为的估计为 和和 ，而剩，而剩余的扰动余的扰动(自然也是估计自然也是估计)记为记为 。带季节和趋势的指数平滑就是先计算带季节和趋势的指数平滑就是先计算扰动序列的指数平滑扰动序列的指数平滑，然后再然后再加上估计加上估计(预测预测)的季节和趋势成分的季节和趋势成分，作为最终的指数，作为最终的指数平滑数据。平滑数据。SFtTCtERt我们不介绍上述指数平滑背后的数学，而直接来看它的我们不介绍上述指数平滑背后的数学，而直接来看它的SPSS操作，该操作要分步来完成。操作，该操作要分步来完成。1.选择菜单中的选择菜单中的“Analyze = Time Series = Expon

21、ential Smoothing”选项，在弹出的窗口中把变量选项，在弹出的窗口中把变量“sales”选入选入“Variables”空格。空格。2.在该窗口的在该窗口的“Model”下选择下选择“Custom”，并点击其下的，并点击其下的“Custom”按钮进入二级窗口按钮进入二级窗口(进行模型选择进行模型选择)。3.在在“Trend Component”下选择下选择“Exponential”(因为本因为本例中的趋势近似一条指数曲线例中的趋势近似一条指数曲线)，在，在“Seasonal Component”下选择下选择“Additive”，点击，点击“Continue”返返回一级窗口。回一级窗口

22、。4. 点击点击“Parameters”来进行参数选择和估计。在弹出的二来进行参数选择和估计。在弹出的二级窗口中的级窗口中的“General”、“Trend”和和“Seasonal”下方下方都选择都选择“Grid Search”，表示留给程序自己去搜索，表示留给程序自己去搜索(估计估计)，其下的搜索范围，其下的搜索范围(“Start”和和“Stop”)和搜索步长和搜索步长(“By”)可不作修改。这三个参数中的第一项，也即权重可不作修改。这三个参数中的第一项，也即权重指数指数 a a ，一般可作人为选择。选好参数后，点击，一般可作人为选择。选好参数后，点击“Continue”返回一级窗口。返回一

23、级窗口。5.点击点击“Save”按钮作预测选择后，此操作同上一节的简单按钮作预测选择后，此操作同上一节的简单指数平滑。指数平滑。6.再在一级窗口点击再在一级窗口点击“OK”，即可得到所需要的结果了。，即可得到所需要的结果了。我们来看看此时的指数平滑结果，见图我们来看看此时的指数平滑结果，见图6。图图6 销售数据的带季节和趋势的指数平滑销售数据的带季节和趋势的指数平滑我们看到，此时的我们看到，此时的估计效果比上一节估计效果比上一节的简单指数平滑要的简单指数平滑要好得多，当然其预好得多，当然其预测也更可信。测也更可信。第三节第三节 基本基本概念与相关图概念与相关图如果要对比较复杂的纯粹时间序列如果

24、要对比较复杂的纯粹时间序列(一般指已分离了一般指已分离了确定性确定性的的季节成分和趋势后的扰动序列季节成分和趋势后的扰动序列)进行细致的分析，指数平进行细致的分析，指数平滑往往是无法满足要求的。滑往往是无法满足要求的。而若想对有独立变量的时间序列进行预测，指数平滑更是无而若想对有独立变量的时间序列进行预测，指数平滑更是无能为力。能为力。于是需要更加强有力的模型。于是需要更加强有力的模型。在介绍具体的模型之前，我们先介绍一下所要用到的时间序在介绍具体的模型之前，我们先介绍一下所要用到的时间序列的一些列的一些基本概念基本概念，以及，以及相关图相关图这一重要的工具。这一重要的工具。一、基本概念一、基

25、本概念接下来我们只考虑接下来我们只考虑纯粹时间序列纯粹时间序列(pure time series)，也即，也即不带有季节成分和不带有季节成分和确定性确定性趋势趋势的时间序列或扰动序列。的时间序列或扰动序列。记要考虑的时间序列为记要考虑的时间序列为Xt ，为讨论方便，我们允许时间指，为讨论方便，我们允许时间指标标 t 取全体整数值。但涉及到具体的观测值时，取全体整数值。但涉及到具体的观测值时， t 只能只能取有取有限个值，常取为限个值，常取为 t = 1, 2, , N，其中，其中 N 为某个正整数，代为某个正整数，代表样本容量或样本长度。表样本容量或样本长度。对于每个固定的时间对于每个固定的时

26、间 t， Xt 是一个随机变量是一个随机变量，都有着自己的都有着自己的均值和方差；不同的均值和方差；不同的Xt 之间还存在着协方差和相关系数，分之间还存在着协方差和相关系数，分别称为别称为Xt 的的自协方差函数自协方差函数(auto-covariance function, ACVF)和和自相关函数自相关函数(auto-correlation function, ACF)。定义定义1. 时间序列时间序列Xt 称为称为平稳的平稳的(stationary)，如果，如果1.Xt 的的均值和方差为常数均值和方差为常数，不随着时间，不随着时间 t 的的变化而变化；变化而变化；2.Xt 的的相关性也关于时

27、间平移不变相关性也关于时间平移不变，也对，也对任意整数任意整数 t 和和 k， Xt 和和 Xt+k 之间的相关性之间的相关性(自协方差函数和自相关函数自协方差函数和自相关函数)只跟时间间只跟时间间隔隔 k 有关，而跟具体的时间点有关，而跟具体的时间点 t 无关。无关。由定义知，若时间序列由定义知，若时间序列Xt 是平稳的，则是平稳的，则X1和和X2、 X2和和X3、甚至、甚至X99和和X100之间都具有之间都具有相同的相关性相同的相关性；同理，；同理， X1和和X3、 X2和和X4、以及以及X99和和X101之间也具有之间也具有相同的相关性相同的相关性。记号记号：若时间序列：若时间序列Xt

28、是平稳的，常记它的是平稳的，常记它的均值为均值为 m m，自协方差函数为，自协方差函数为 g g k，自相关函数，自相关函数为为 r r k，其中，其中 k 为时间间隔，也称为为时间间隔，也称为间隔步间隔步数数(lag)。一个时间序列的均值和方差是否为常数，通常可以一个时间序列的均值和方差是否为常数，通常可以从它的时从它的时间序列图上间序列图上看出来看出来。例如前面提到的销售数据分离了季节和趋势后的扰动序列，例如前面提到的销售数据分离了季节和趋势后的扰动序列，见见图图5。从图中我们看到，这些从图中我们看到，这些数据都围绕着某个水平线数据都围绕着某个水平线(均值均值)上下上下波动波动，没有出现前

29、高后低或中间高两头低等变化，这说明该，没有出现前高后低或中间高两头低等变化，这说明该时间序列的时间序列的均值大致上是一个常数均值大致上是一个常数。而原始的销售数据的均。而原始的销售数据的均值就不是一个常数了，见值就不是一个常数了，见图图1，因为数据不是围绕一个水平，因为数据不是围绕一个水平线，而是一条前低后高的指数型曲线在波动。线，而是一条前低后高的指数型曲线在波动。同时，同时，图图5中中前后数据的波动范围也基本一致前后数据的波动范围也基本一致，这说明该序，这说明该序列的列的方差大致上是一个常数方差大致上是一个常数。二、时间序列的相关性估计与相关图二、时间序列的相关性估计与相关图一个时间序列的

30、相关性是否关于时间平移不变，一般需要一个时间序列的相关性是否关于时间平移不变，一般需要先先估计估计其自相关函数，再其自相关函数，再加加上一定的上一定的经验经验来加以判断。来加以判断。时间序列自相关函数的估计称为时间序列自相关函数的估计称为样本自相关函数样本自相关函数(sample ACF)，记为，记为 rk，其，其SPSS的计算操作如下：的计算操作如下：1.选择菜单中的选择菜单中的“Graphs = Time Series = Autocorrelations”选项，把需要计算样本自相关函数的选项，把需要计算样本自相关函数的变量名选入变量名选入“Variables”空格空格(可以同时选多个变量

31、可以同时选多个变量)；2.点击点击“Options”按钮，在二级窗口选择需要计算的样本按钮，在二级窗口选择需要计算的样本自相关函数的最大间隔步数自相关函数的最大间隔步数“Maximum numbers of lags”，在其下方则选择，在其下方则选择“Bartletts approximation”。点。点“Continue”返回一级菜单，再点击返回一级菜单，再点击“OK”即可。即可。由于销售数据的样本自相关函数形状比较复杂，我们换以几由于销售数据的样本自相关函数形状比较复杂，我们换以几个个模拟的时间序列数据模拟的时间序列数据为例来说明上述操作的结果。这些模为例来说明上述操作的结果。这些模拟数

32、据储存在拟数据储存在SPSS数据文件数据文件tssimulation.sav中。中。我们先看其中变量名为我们先看其中变量名为“ar1”和和“arima”这两个序列，它这两个序列，它们的样本长度都是们的样本长度都是150。在估计时，我们都估计了。在估计时，我们都估计了前前24步步间间隔的样本自相关函数隔的样本自相关函数 rk 。SPSS的输出结果分为的输出结果分为两部分两部分。第一部分由。第一部分由4组组数据数据和夹在和夹在数据中间的数据中间的“茎叶图茎叶图”组成，它们分别为这两个序列的组成，它们分别为这两个序列的自相自相关函数关函数和和偏相关函数偏相关函数(partial autocorrel

33、ation)的估计的估计及相及相应的统计量。后一部分为四个图，分别是这些样本相关系数应的统计量。后一部分为四个图，分别是这些样本相关系数的条形图，统称为时间序列的的条形图，统称为时间序列的相关图相关图(correlogram)。我们先来看第一项输出结果我们先来看第一项输出结果 序列序列“ar1”的的样本自相关样本自相关函数估计函数估计。为便于描述，我们省略了夹在文字中间部分的茎。为便于描述，我们省略了夹在文字中间部分的茎叶图，且文字与数值部分也只取了前几项结果，见表叶图，且文字与数值部分也只取了前几项结果，见表1。 Lag Auto-Corr. Stand. Err.Box-LjungProb

34、. 1 .742 .082 84.160 .000 2 .516 .118 125.218 .000 3 -.332 .132 142.293 .000 4 .207 .138 148.973 .000 5 -.122 .140 151.316 .000 6 .084 .141 152.442 .000 7 -.094 .141 153.852 .000 表表1 时间序列时间序列AR1的样本自相关估计的样本自相关估计表表1中共有中共有5列数据，分别为样本自相关函数的列数据，分别为样本自相关函数的间隔步数间隔步数(Lag)、样本自相关函数样本自相关函数(Auto-Corr.)、样本自相关函数的、

35、样本自相关函数的标准误差标准误差(Stand. Err.)、检验统计量检验统计量(Box-Ljung)和相应的和相应的 p-值值(Prob.)。对于前三列内容我们不再作过多解释。对于前三列内容我们不再作过多解释。第四列数值为该步数间隔前第四列数值为该步数间隔前(包含这一步包含这一步)所有样本自相关函所有样本自相关函数数总体显著性总体显著性的一个的一个多变量检验多变量检验(Portmanteau Test)统计量，统计量，检验的原假设是检验的原假设是H0：该步数间隔前所有样本自相关函数：该步数间隔前所有样本自相关函数总体不显著总体不显著。而最后一列则是第四列统计量数值相应的而最后一列则是第四列统

36、计量数值相应的 p-值。由这些值。由这些p-值值看，看，前前k(k7)步的样本相关自相关函数是总体显著的步的样本相关自相关函数是总体显著的。第一部分的第二项输出结果是序列第一部分的第二项输出结果是序列“ar1”的偏相关函数的的偏相关函数的估计或称估计或称样本偏相关函数样本偏相关函数，它同样给出了前，它同样给出了前24步的样本偏步的样本偏相关函数估计值和相应估计的标准误差。但此时相关函数估计值和相应估计的标准误差。但此时没有总体没有总体显著性的多变量检验显著性的多变量检验。时间序列时间序列Xt 的偏相关函数，记为的偏相关函数，记为f fkk，k0，它被定义为，它被定义为 Xt 和和 Xt+k 之

37、间，去除了中间变量之间，去除了中间变量 Xt+1、Xt+2、Xt+k-1 等的影等的影响后的响后的条件相关系数条件相关系数。样本偏相关函数常记为样本偏相关函数常记为 。偏相关函数也是刻画时间序列相关性的一个指标偏相关函数也是刻画时间序列相关性的一个指标。第一部分的后两项内容分别为序列第一部分的后两项内容分别为序列“arima”的样本自相关的样本自相关函数和样本偏相关函数，此处不再赘述。函数和样本偏相关函数，此处不再赘述。f fkk关于时间序列的自相关函数和偏相关函数，我们再提一下它关于时间序列的自相关函数和偏相关函数，我们再提一下它们的们的个体显著性检验个体显著性检验，即检验单个某步自相关函数

38、，即检验单个某步自相关函数r rk 或偏相或偏相关函数关函数f fkk是否为是否为0，原假设为，原假设为H0：r rk =0 或或 H0：f fkk =0。上述检验问题的检验统计量在形式上是一致的，都取为上述检验问题的检验统计量在形式上是一致的，都取为估计估计值与相应的标准误差的比值值与相应的标准误差的比值，称为，称为T值值(T Value)，即，即T值值 = rk /S.E.(rk) 或或 T值值 = /S.E.( )。在在 a a =0.05 的显著性水平下，两者的的显著性水平下，两者的临界值临界值都可近似取为都可近似取为2。也即当也即当|T值值|2 时，就拒绝原假设；否则不拒绝时，就拒绝

39、原假设；否则不拒绝。例如，序列例如，序列“AR1”的第四步样本自相关函数值为的第四步样本自相关函数值为r4=0.207，标准误差为，标准误差为0.138，|T值值|=|0.207/0.138|0为为at 的共同方差。的共同方差。由定义知，白噪声序列的自相关函数和偏相关函数具有如下由定义知，白噪声序列的自相关函数和偏相关函数具有如下性质：性质：r r0=1, r rk = 0, 任意任意 k 0， (6)f fkk = 0, 任意任意 k 0. (7) 因此，因此，白噪声序列是平稳的白噪声序列是平稳的。定义定义3. 若若时间序列时间序列Xt 满足满足下列模型，则称下列模型，则称其为一个其为一个p

40、阶自回归序列阶自回归序列，简记为，简记为Xt AR(p)：Xt =j j 0+ j j1Xt-1 + j j 2Xt-2 + + j j pXt-p + at , (8) 其中其中 p 为一为一非负整数非负整数，称为自回归模型的，称为自回归模型的阶数阶数(order)； j j i, i = 0, 1, , p, 为模型的为模型的 p1 个参数，且个参数，且最后一个参数最后一个参数 j j p 0 ；at WN(0, s sa2)为一白噪声序列。为一白噪声序列。自回归模型自回归模型(8)形式上也是一个回归模型形式上也是一个回归模型，其，其中的白噪声序列中的白噪声序列at 相当于模型的误差。只相

41、当于模型的误差。只不过现在应变量为序列的现值或未来取值，不过现在应变量为序列的现值或未来取值，而自变量为模型的历史取值。这也是自回归而自变量为模型的历史取值。这也是自回归模型名词的由来。模型名词的由来。自回归序列不总是平稳的自回归序列不总是平稳的，只有当其参数，只有当其参数j j i 满足一定的满足一定的平稳性条件平稳性条件时它才平稳。时它才平稳。定义定义4. 若若时间序列时间序列Xt 满足满足下列模型，则称下列模型，则称其为一个其为一个q阶滑动平均序列阶滑动平均序列，简记为，简记为Xt MA(q)： Xt =q q 0 + at - q q 1at-1 - q q 2at-2 - - q q

42、 qat-q, (9) 其中其中 q 为一为一非负整数非负整数，称为滑动平均模型的，称为滑动平均模型的阶数阶数(order)； q q i, i = 0, 1, , q, 为模型的参数，且为模型的参数，且最后一个参数最后一个参数 q q q 0 ；at WN(0, s sa2)为一白噪声序列。为一白噪声序列。一个一个0阶的滑动平均序列阶的滑动平均序列(或自回归序列或自回归序列)就相就相当于是一个白噪声序列再加上一个常数。当于是一个白噪声序列再加上一个常数。滑动平均序列总是平稳的滑动平均序列总是平稳的。定义定义5. 若若时间序列时间序列Xt 满足满足下列模型，则称其为一个下列模型，则称其为一个p

43、阶自阶自回归回归q阶滑动平均序列阶滑动平均序列，简记为，简记为Xt ARMA(p, q)：Xt =q q 0 + j j1Xt-1 + + j j pXt-p + at - q q 1at-1 - - q q qat-q, (10) 其中其中 p 和和 q 为两个非负整数，称为自回归滑动平均模型的为两个非负整数，称为自回归滑动平均模型的阶数阶数(order)； j j i, i = 1, , p, 和和q q j, j = 0, 1, , q, 为模型的为模型的 参参数，且数，且j j pq q q 0 ；at WN(0, s sa2)为一白噪声序列。为一白噪声序列。其中其中 p 和和 q 为

44、两个非负整数，称为自回归滑动平均为两个非负整数，称为自回归滑动平均模型的模型的阶数阶数(order)； j j i, i = 1, , p, 和和q q j, j = 0, 1, , q, 为模型的为模型的 参数，且参数，且j j pq q q 0 ；at WN(0, s sa2)为一白噪声序列。为一白噪声序列。一个一个ARMA(p, 0)事实上就是一个事实上就是一个AR(p)序列；同理，序列；同理，一个一个 ARMA(0, q)序列就是一个序列就是一个MA(q)序列。序列。ARMA(p, q)序列序列不总是平稳的不总是平稳的，也，也不总是可逆的不总是可逆的。定义定义6. 设设Xt 为一为一时

45、间序列，称新的序列时间序列，称新的序列Wt = Xt Xt-1 (11) 为原序列为原序列Xt 的的一次差分一次差分(first difference)序列序列.若再对一次差分序列若再对一次差分序列Wt 作一次差分，记为作一次差分，记为Vt ，则，则Vt 称称为为Xt 的的二次差分二次差分(second difference)序列，。序列，。类似地可以定义类似地可以定义Xt 的的 d 次差分序列次差分序列，其中，其中d 为为非负整数非负整数。定义定义7. 若若Xt 的某个的某个d(d0)次差分序列满足次差分序列满足一个平稳一个平稳ARMA(p, q)模型，则称模型，则称Xt 为一个为一个d 阶

46、求和阶求和ARMA(p, q)序列序列，简记为，简记为Xt ARIMA(p, d, q)。ARIMA(p, d, q)序列序列(d0)总是非平稳的总是非平稳的。二、二、ARIMA模型的相关特征模型的相关特征不同的模型不同的模型(序列序列)具有不同的特征，这些特征主要体现在具有不同的特征，这些特征主要体现在它们的自相关函数和偏相关函数具有不同的性状。它们的自相关函数和偏相关函数具有不同的性状。这些性状主要包括以下几个方面：这些性状主要包括以下几个方面：1.平稳时间序列的平稳时间序列的自相关函数自相关函数会随着步数的增加会随着步数的增加很快很快(以指以指数速度数速度)下降收敛到下降收敛到0。而非平

47、滑序列的。而非平滑序列的样本自相关函数样本自相关函数通通常常下降速度很慢下降速度很慢。2.特别地，特别地，MA(q)序列的自相关函数在序列的自相关函数在 q 步以后就全为步以后就全为0，这一性质称为这一性质称为q 步截尾性步截尾性(cut-off property)。3.AR(p)的偏相关函数的偏相关函数p步以后截尾步以后截尾。表表2 ARIMA模型的性质和相关性状模型的性质和相关性状模型类型模型类型平稳性平稳性可逆性可逆性自相关函数自相关函数偏相关函数偏相关函数AR(p)有条件有条件总是总是指数速度下降指数速度下降p步截尾步截尾MA(q)总是总是有条件有条件q步截尾步截尾指数速度下降指数速度

48、下降ARMA有条件有条件有条件有条件指数速度下降指数速度下降指数速度下降指数速度下降ARIMA非平稳非平稳有条件有条件下降速度很慢下降速度很慢近似近似一步截尾一步截尾第一步值很大第一步值很大(返回返回2)(返回返回1)第五节第五节 ARIMA模型拟合模型拟合用用ARIMA模型去拟合一个时间序列数据，一般要分三步来模型去拟合一个时间序列数据，一般要分三步来完成：完成：1.模型的识别模型的识别选择适当的选择适当的ARIMA(p,d,q)模型，也即定模型，也即定出模型的阶数出模型的阶数 p, d 和和 q，因此这一步也常称为模型的，因此这一步也常称为模型的定阶定阶；2.参数估计参数估计估计模型中所含

49、的各参数；估计模型中所含的各参数；3.模型的诊断模型的诊断检验估计出来的模型，并作必要的修改。检验估计出来的模型，并作必要的修改。完成了上述三步以后，才能利用所得的模型来，对时间序完成了上述三步以后，才能利用所得的模型来，对时间序列未来的取值作列未来的取值作预测预测。一、用一、用SPSS拟合拟合ARIMA模型模型我们仍采用我们仍采用SPSS数据文件数据文件tssimulation.sav为例，看其中前三个变量。我们已知：数据为例，看其中前三个变量。我们已知：数据“ar1”来自于来自于AR(1)模型，也即模型，也即ARIMA(1,0,0)模型；数据模型；数据“ma1”来自于来自于MA(1)模型，

50、也即模型，也即ARIMA(0,0,1)模型；数据模型；数据“arima”来自于来自于ARIMA(1,1,0)模型。模型。选择选择SPSS菜单中的菜单中的“Analyze = Time Series = ARIMA”选项，在弹出的窗口把变量名选项，在弹出的窗口把变量名“ar1”选入选入“Dependent”窗窗口；在窗口下方口；在窗口下方“Model”处选择模型的三个阶数，本例中处选择模型的三个阶数，本例中我们选择我们选择“p=1, d=0, q=0”；点击；点击“OK”即可得到拟合结果即可得到拟合结果了。了。如果要选择作预测，可以在上述一级窗口点击如果要选择作预测，可以在上述一级窗口点击“Sa

51、ve”，然，然后在二级窗口的后在二级窗口的“Predict Cases”下方选择下方选择“Predict through”，并在，并在“Observation”后输入需要预测的数据个后输入需要预测的数据个数。比如我们要预测未来数。比如我们要预测未来20步的取值，则输入数字步的取值，则输入数字170，表，表示共预报示共预报170个值，因为该序列原来已有个值，因为该序列原来已有150个观测值，在个观测值，在计算预测数据个数时要一起算上。计算预测数据个数时要一起算上。在该窗口还可以选择改变在该窗口还可以选择改变预测区间的置信度预测区间的置信度。做好必要的选择后点击。做好必要的选择后点击“Contin

52、ue”返返回一级窗口即可。回一级窗口即可。在有些时候上述操作可能得不到最好的结果，此时在有些时候上述操作可能得不到最好的结果，此时我们可以在上述一级窗口再点击我们可以在上述一级窗口再点击“Options”按钮，按钮，在二级窗口的在二级窗口的“Maximum iterations”后，把数字改大后，把数字改大(比如改成比如改成20)后再重复以前操作即可。该操作表示后再重复以前操作即可。该操作表示要要增加拟合过程中的迭代增加拟合过程中的迭代(iteration)次数，以得到次数，以得到更精确的结果更精确的结果。我们先来解释第一部分结果。这部分结果包含很多我们先来解释第一部分结果。这部分结果包含很多

53、内容，我们只需看其中内容，我们只需看其中由由“FINAL PARAMETERS”起至起至“Covariance Matrix”前的一部分前的一部分，原文，原文(黑色黑色字体字体)见下页。见下页。FINAL PARAMETERS: (返回返回53页页)Number of residuals 150（残差个数（残差个数=样本长度）样本长度）Standard error 1.0342728Log likelihood -217.30429AIC 438.60859（判别准则一，值越小越好）（判别准则一，值越小越好）SBC 444.62986（判别准则一，值越小越好）（判别准则一，值越小越好） Ana

54、lysis of Variance：（方差分析）（方差分析） DF Adj. Sum of Squares Residual VarianceResiduals 148 159.19306 1.0697203 （残差方差）（残差方差） Variables in the Model: （参数估计）（参数估计） B SEB T-RATIO APPROX. PROB.（参数类型）（参数类型） （估计值）（标准误差）（估计值）（标准误差） （T值）值） （P值）值）AR1 -.7498684 .05377877 -13.943578 .0000000CONSTANT 3.0656974 .048398

55、11 63.343335 .0000000在文字输出的最后一部分，还给出了数据文件中新增变量的在文字输出的最后一部分，还给出了数据文件中新增变量的含义解释，原文如下含义解释，原文如下(其中蓝色字体为说明其中蓝色字体为说明)： NameLabel（变量名）（标签）（变量名）（标签） FIT_1Fit for AR1 from ARIMA, MOD_3 CON（拟合值及预测值，共（拟合值及预测值，共170个）个） ERR_1Error for AR1 from ARIMA, MOD_3 CON（误差（误差 = 原数据原数据 - - 拟合值，共拟合值，共150个）个） LCL_1 95% LCL f

56、or AR1 from ARIMA, MOD_3 CON（拟合值或预测值的置信下限，共（拟合值或预测值的置信下限，共170个）个） UCL_1 95% UCL for AR1 from ARIMA, MOD_3 CON（拟合值或预测值的置信上限，共（拟合值或预测值的置信上限，共170个）个） SEP_1 SE of fit for AR1 from ARIMA, MOD_3 CON（拟合值或预测值的标准误差，共（拟合值或预测值的标准误差，共170个）个）上述输出结果实际上告诉我们拟合的模型为：上述输出结果实际上告诉我们拟合的模型为：Xt = = 3.0656974 0.7498684 Xt-1

57、 + at , (12) 且其中白噪声序列且其中白噪声序列at 的的方差估计为方差估计为1.0697203。这个模型拟合的效果可以通过比较原数据、拟合值、置信上这个模型拟合的效果可以通过比较原数据、拟合值、置信上限和置信下限的限和置信下限的时间序列图时间序列图来作来作直观分析直观分析。为了方便比较，。为了方便比较，我们只作了最后我们只作了最后40个时间点数据的序列图，见图个时间点数据的序列图，见图9。从图中我们看到：拟合值从图中我们看到：拟合值(前前20个个)与真值的与真值的吻合度吻合度还是很好还是很好的，而且的，而且真值都在真值都在拟合值的拟合值的95%的的置信区间内置信区间内。此外，对于预

58、测值此外，对于预测值(后后20个个)，我们发现，随着预测步数，我们发现，随着预测步数(预预测时刻与现在时刻的时间差测时刻与现在时刻的时间差)的增加，的增加，预测值趋近于一个固预测值趋近于一个固定的常数定的常数(均值均值)，且，且预测区间也趋近于一个固定的区间预测区间也趋近于一个固定的区间。这。这一点是一点是平稳时间序列预测的共同特征平稳时间序列预测的共同特征。图图9 AR(1)序列的拟合与预测效果图序列的拟合与预测效果图二、模型的诊断二、模型的诊断对于拟合结果的定量分析之一是对于拟合结果的定量分析之一是检验各参数的显著性检验各参数的显著性，检，检验的原假设就是验的原假设就是H0: 该参数真值为

59、该参数真值为0。若检验结果拒绝原假。若检验结果拒绝原假设，则认为参数不为设，则认为参数不为0，其效果显著；否则认为不显著，且，其效果显著；否则认为不显著，且需要需要对模型作修正对模型作修正，在原模型中把该项参数设置为，在原模型中把该项参数设置为0(去掉了去掉了一项一项)，重新作拟合。，重新作拟合。上述检验的结果在上述检验的结果在SPSS拟合模型的文字结果中直接有体现，拟合模型的文字结果中直接有体现，就是各参数估计值后面的就是各参数估计值后面的p值，参见值，参见49页页输出结果。输出结果。本例中两个参数本例中两个参数(j j 0和和j j 1)都是显著的。都是显著的。定量分析之二是对模型整体的定

60、量分析之二是对模型整体的拟合优度拟合优度(goodness-of-fit)作检验。作检验。时间序列模型主要刻画了未来值与历史值的时间序列模型主要刻画了未来值与历史值的相关性，也称相关性，也称序列相关性序列相关性(serial correlation)。这一点通常由时间序列的自相。这一点通常由时间序列的自相关和偏相关函数来描述。关和偏相关函数来描述。因此，因此，一个好的时间序列模型，它的残差应一个好的时间序列模型，它的残差应基本不具有序列相关性基本不具有序列相关性。见图。见图10和图和图11。图图10 AR(1)模型残差的样本自相关图模型残差的样本自相关图图图11 AR(1)模型残差的样本偏相关

61、图模型残差的样本偏相关图读者可能注意到，这个残差的样本自相关图与原来读者可能注意到，这个残差的样本自相关图与原来时间序列的样本自相关函数图时间序列的样本自相关函数图(图图7)有一个明显的不有一个明显的不同之处：此处的同之处：此处的两条黑线两条黑线(临界值临界值)开口慢慢变窄开口慢慢变窄而而非越来越宽。非越来越宽。这是因为在作相关图时，在这是因为在作相关图时，在“Options”的选项中的选项中选择了选择了“Independence model”而非而非“Bartletts approximation”选项选项从这两个相关图看到，所有的样本自相关函数和所从这两个相关图看到，所有的样本自相关函数和

62、所有的样本偏相关函数有的样本偏相关函数都是不显著的都是不显著的。三、模型的相关法定阶三、模型的相关法定阶最后我们来看模型拟合的第一步最后我们来看模型拟合的第一步模型的定阶识别。模型的定阶识别。由于我们是通过序列的样本自相关函数与样本偏相关函数的由于我们是通过序列的样本自相关函数与样本偏相关函数的性状来定阶的，所以这一方法被称为性状来定阶的，所以这一方法被称为“相关法相关法”。我们回过去看看序列我们回过去看看序列“ar1”的两个相关图的两个相关图(图图7和和图图8)。我们发现，该序列的样本自相关函数是我们发现，该序列的样本自相关函数是3步截尾的。对照性步截尾的。对照性状状表表2，我们认为，该序列

63、，我们认为，该序列可能是一个可能是一个MA(3)序列序列。我们还发现，该序列的样本偏相关函数是我们还发现，该序列的样本偏相关函数是1步截尾的。因此步截尾的。因此我们认为，该序列我们认为，该序列还可能是一个还可能是一个AR(1)序列序列。事实上，无论是采用事实上，无论是采用AR(1)模型还是模型还是MA(3)模型去拟合这个模型去拟合这个序列，都序列，都没有对错之分没有对错之分，区别的只是效果的好坏。，区别的只是效果的好坏。事实上如果我们选择事实上如果我们选择MA(3)模型去拟合这个序列，会发现每模型去拟合这个序列，会发现每个参数都是显著个参数都是显著(不为不为0)的，而残差的自相关和偏相关性，的

64、，而残差的自相关和偏相关性，无论是单独检验还是整体检验，也都是不显著的。这说明无论是单独检验还是整体检验，也都是不显著的。这说明MA(3)模型也是充分的模型也是充分的。(自己动手试试看。自己动手试试看。)接下来我们再来尝试为另两个序列接下来我们再来尝试为另两个序列(ma1和和arima)定阶。定阶。图图12给出了这两个序列的四个相关图。其中上方两个为给出了这两个序列的四个相关图。其中上方两个为ma1序列的相关图，下方为序列的相关图，下方为arima的；左侧自相关图，右侧为偏的；左侧自相关图，右侧为偏相关图。相关图。图图12 MA1序列和序列和ARIMA序列的相关图序列的相关图首先看首先看ma1

65、序列。我们发现其序列。我们发现其第一步第一步的样本自相关函数是的样本自相关函数是显显著著的，的，第二步第二步则刚好出去则刚好出去临界值附近临界值附近，再，再其后其后的就都是的就都是不显不显著著的了。因此判断它可能是的了。因此判断它可能是MA(1)或或MA(2)序列。序列。而它的样本偏相关函数则而它的样本偏相关函数则没有明显的截尾点没有明显的截尾点，因此我们不认，因此我们不认为它是某个为它是某个AR序列。序列。如果我们选择如果我们选择MA(2)模型来拟合这个序列，其参数估计的结模型来拟合这个序列，其参数估计的结果如下：果如下： B SEB T-RATIO APPROX. PROB.MA1 .94

66、470434 .08203198 11.516294 .00000000MA2 -.00966674 .08214361 -.117681 .90648111CONST .00728846 .00565636 1.288543 .19958131表表3 用用MA(2)模型拟合模型拟合ma1序列的估计结果序列的估计结果从输出结果最后一列的从输出结果最后一列的p值发现，该值发现，该MA(2)模型的模型的常数项和常数项和MA的第二个参数不显著的第二个参数不显著。因此我们考虑把模型。因此我们考虑把模型修正为不带修正为不带常数项的常数项的MA(1)模型模型再重新拟合，结果如下：再重新拟合，结果如下： B

67、 SEB T-RATIO APPROX. PROB.MA1 .91702325 .03401089 26.962633 .0000000表表4 用不带常数的用不带常数的MA(1)模型拟合模型拟合ma1序列的估计结果序列的估计结果此时这个模型参数是显著不为此时这个模型参数是显著不为0的。的。如果再对残差作相关性检验，无论是从相关图看如果再对残差作相关性检验，无论是从相关图看(此时的样此时的样本自相关有一个异常值本自相关有一个异常值) ，还是作整体的检验，我们都会得，还是作整体的检验，我们都会得到相同的结果：到相同的结果：这个模型是充分的这个模型是充分的。(过程略过程略)最后我们来看序列最后我们来

68、看序列“arima”，它的相关图见，它的相关图见图图2下方。下方。我们看到，我们看到，a) 它的它的样本自相关函数下降速度很慢样本自相关函数下降速度很慢(不再是指不再是指数速度数速度)；b) 它的样本偏相关函数它的样本偏相关函数2步截尾，且第一步值很步截尾，且第一步值很大大(接近接近1)。对照对照表表2中不同模型的性状，我们初步判断该序列是一个非中不同模型的性状，我们初步判断该序列是一个非平稳的平稳的ARIMA序列。序列。关于关于ARIMA模型的定阶，我们需要从它的差分序列的相关模型的定阶，我们需要从它的差分序列的相关图着手。图着手。用用SPSS作差分序列的相关图，只需在操作的一级窗口勾上作差

69、分序列的相关图，只需在操作的一级窗口勾上“Difference”选项，并在其后输入差分的选项，并在其后输入差分的阶数阶数(一般一般d=1)即可，其它操作仍同前。见图即可，其它操作仍同前。见图13。图图13 序列序列arima一次差分的相关图一次差分的相关图我们看到一次差分序列的样本自相关函数很快就收敛我们看到一次差分序列的样本自相关函数很快就收敛(变得不变得不显著显著)了，因此可以认为它是一个平稳序列。了，因此可以认为它是一个平稳序列。它的样本偏相关函数一步截尾，因此我们判断它是一个它的样本偏相关函数一步截尾，因此我们判断它是一个AR(1)序列，而差分前的序列就是一个序列，而差分前的序列就是一

70、个ARIMA(1,1,0)序列。序列。四、几点注意事项四、几点注意事项一个序列往往可以找到几个一个序列往往可以找到几个不同且都是充分的不同且都是充分的的的ARIMA模模型作拟合，一般选择最简洁，也即总阶数最低的模型即可。型作拟合，一般选择最简洁，也即总阶数最低的模型即可。现实数据的模型往往很复杂，很多序列即使去处了确定性的现实数据的模型往往很复杂，很多序列即使去处了确定性的季节成分，在其残差中还具有季节成分，在其残差中还具有随机的季节因素随机的季节因素，这时要用，这时要用季季节性的节性的ARIMA模型模型去拟合。去拟合。有时候还需要在模型中加上其它变量作为自变量。有时候还需要在模型中加上其它变量作为自变量。ARIMA模型和季节性的模型和季节性的ARIMA模型都属于模型都属于线性时间序列模线性时间序列模型型。而有些实际序列，特别是金融时间序列，需要用更复杂。而有些实际序列，特别是金融时间序列，需要用更复杂的非线性数据序列模型来拟合。的非线性数据序列模型来拟合。限于篇幅，此处不再介绍这些复杂模型。限于篇幅，此处不再介绍这些复杂模型。