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1、第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲9.1 工程中梁弯曲的概念工程中梁弯曲的概念梁平面弯曲的概念梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲平面弯曲。 9.1.2单跨静定梁的类型单跨静定梁的类型 梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称
2、为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可称为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式：分为以下三种常见形式： (1)简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。可动铰支座。 (2) 悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。 (3) 外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座之外外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座之外。9.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩9.2.1梁的梁的剪力和弯矩剪力和弯矩梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。现分析距A端为x处横截面mm上的内力。如果取左段为研究对象，
3、则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。存在两个内力分量：内力FQ与截面相切，称为剪力，内力偶矩M称为弯矩， 9.2.2剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定即微段有即微段有左端向上而右端向下左端向上而右端向下的相对错动时，的相对错动时，横截面上的剪力横截面上的剪力FQ为为正号正号，反之为负号。，反之为负号。当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，横截面上的横截面上的弯矩为正号弯矩为正号，反之为负号。，反之为负号。 9.2.3计算指定截面上的剪力和弯矩计算指定截面上的剪力和弯矩例题例题9.1 外伸梁受荷载作用，图中截面1l和22都无限接近
4、于截面A，截面33和44也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。解：解：1.根据平衡条件求约束反力根据平衡条件求约束反力2.求截面11的内力3.求截面22的内力4.求截面求截面33的内力的内力5.求截面求截面44的内力的内力比较截面11和22的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。 比较截面33和44的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。 梁的内力计算的两个规律：梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺
5、时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。 （2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即： 若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正” 或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。例题例题9.2 一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面截面B左和截面左和截面B右上的剪力和弯矩。右上的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求出约束力反力2.求指定截面
6、上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：截面B左、B右：取右侧梁计算，得：在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。9.3 梁的内力图梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9.3.1 剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数， FQ=FQ (x) M=M(x)梁的剪力方程梁的剪力方程梁的弯矩方程9.3.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示
7、制表示FQ (x)和和M(x)的图线。这种图线分别称为的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称剪力图和弯矩图，简称FQ图和图和M图。绘图时一般图。绘图时一般规定正号的剪力画在规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画轴的上侧，负号的剪力画在在x轴的下侧；正弯矩画在轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 例题例题9.9.3 3 图所示，悬臂梁受集中力图所示，悬臂梁受集中力F F作用，试作作用，试作此梁的剪力图和弯矩图此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程 (0xl ) (0xl) 2.2.作剪
8、力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：例题例题9.9.4 4 简支梁受均布荷载作用，如图示，简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：最大剪力最大剪力发发生在梁端，其生在梁端，其值为值为FQ,max=2.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程3.作剪应力图和弯矩图作剪应力图和弯矩图最大弯矩最大弯矩发发生在跨中，它的数生在跨中，它的数值为值为Mmax例题例题9.9.5 5 简支梁受集中作用如图示，作此梁的简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力2.列
9、剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 （0xa） (0xa) AC段：例题例题9.6 简支梁受集中力偶作用，如图示，试简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.2.列剪应力方程和弯矩列剪应力方程和弯矩方程方程AB段：（0xl）CB段： (axl) (0xl) 3.3.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图CB段： (axl)AC段： (0xa)3.绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图 例题例题9.9.6 6 简支梁受集中力偶作用，如图示，试简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应
10、力方程和弯矩方程AB段：（0xl）CB段： (axl) (0xl) 3.作剪力图和弯矩图9.4.1 分布荷载集度与剪力、分布荷载集度与剪力、 弯矩弯矩 (q与与FQ、M)之间的微分关系之间的微分关系9.4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系微段的平衡，得弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若若q(x)0,弯矩为上凸曲线，弯矩为上凸曲线，弯矩图的凹凸方向与弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致指向一致. 9.4.2 常见梁剪力图、弯矩图与荷载三
11、者间的关系常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系1.剪力图与荷载的关系剪力图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，当在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，坐标自左向右取时， 若若q(x)方向向下，则方向向下，则FQ图为下斜直线；图为下斜直线； 若若q(x)方向向上，方向向上，FQ图为上斜直线。图为上斜直线。剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；荷载集度； (2)无荷载作用区段，即无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行图为平行x轴的直线。轴的直线。(3)在集中力作用处，在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外图有突变，突变方向与外
12、 力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图图 是连续无变化。是连续无变化。2.弯矩图与荷载的关系弯矩图与荷载的关系(1)在均布荷在均布荷载载作用的区段，作用的区段，M图为图为抛物抛物线线。(2)当当q(x)朝下时，朝下时，M图为图为上凹下凸。上凹下凸。当当q(x)朝上朝上时时，M图为图为上凸下凹。上凸下凹。(3) 在集中力作用处，在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力图发生转折。如果集中力向下，则向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。图向下转折；反之，则向上转折。(4)
13、在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。(1)任一截面任一截面处处弯矩弯矩图图切切线线的斜率等于的斜率等于该该截面上的剪力。截面上的剪力。(2) 当当FQ图为图为斜直斜直线时线时，对应对应梁段的梁段的M图为图为二次二次抛物抛物线线。当。当FQ图为图为平行于平行于x轴轴的直的直线时线时，M图为图为斜直斜直线线。3. 弯矩图与剪力图的关系弯矩图与剪力图的关系(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极剪力等
14、于零的截面上弯矩具有极值值；反之，；反之，弯矩具有极弯矩具有极值值的截面上，剪力不，一定等于零。的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、左右剪力有不同正、负负号的截面，弯矩也具有极号的截面，弯矩也具有极值值。解：解： 1. 1. 求约束反力求约束反力例题例题9.7 简支梁如图所示，简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。2. 画画FQ图图各控制点处的各控制点处的FQ值如下：值如下：FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN 10kN=5kN FQD=5kN F QB左=15k
15、N3. 画M图MA = 0, MC =15kN2m=30 kN.m MD = 15kN4m10kN2m=40kN.m MD右= 15kN4m5kN4m2m=20 kN.mMB=0例题例题9.8 一外伸梁如图示。试用荷载集度、一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。图。解解：1.求约束力求约束力2.画内力图画内力图(1)剪力图剪力图ACB段：段： FQA右=FQC=FQB左=5kNFQ图为一水平直线图为一水平直线 BD段：FQ图为右下斜直线。FQB右=4kN/m2m=8kN，FQD=0作梁的剪力图 (2) 弯矩图 AC段：FQ0，故M
16、图为一右上斜直线 MA=0，MC左=5kN2m=10kN.m CB段： FQ0,故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。 MC右=5kN2m+12kN.mMB=4kN/m2m1m=8kN.mBD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线， MB=8KN.m，ME=410.5=2KN.m, MD=09.5 用叠加法作梁的弯矩图用叠加法作梁的弯矩图叠加法叠加法是先求出单个荷载作用下的内力是先求出单个荷载作用下的内力（剪力和弯矩），然后将对应位置的内力相加，（剪力和弯矩），然后将对应位置的内力相加，即得到几个荷载共同作用下的内力的方法。即得到几个荷载共同作用下的内力的方法。 例题例题9.9 简支梁所
17、受荷载如图，试用叠加法作简支梁所受荷载如图，试用叠加法作M图。图。解：解：1. 荷载分解荷载分解2. 作分解荷载的弯矩图作分解荷载的弯矩图3. 3. 叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图注意：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠注意：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的相加。加，而是对应点处纵坐标的相加。 9.6 应力状态与强度理论应力状态与强度理论9.6.1 应力状态的概念应力状态的概念一点的应力状态一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点的是研究通过受力构件内任一点的 各个不同截面上的应力情况。各个不同截面上的应力情况。 应力状态
18、分为空间应力状态和平面应力状态。全部应力位于同一平面内时，称为平面应力状态；全部应力不在同一平面内，在空间分布，称为空间应力状态。应力状态分类：应力状态分类： 在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零，在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零，而只有正应力。这样的单元体称为而只有正应力。这样的单元体称为主单元体主单元体，这样的单元体面称这样的单元体面称主平面主平面。主平面上的正应力。主平面上的正应力称主应力。称主应力。 通常按数值排列，用字母通常按数值排列，用字母1、2和和3分别表示。分别表示。主应力、主平面：主应力、主平面：应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类： （1）单向应力状态。在三个相对
19、面上三个主）单向应力状态。在三个相对面上三个主应力中只有一个主应力不等于零。应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个）双向应力状态。在三个相对面上三个主应力中有两个主应力不等于零。主应力中有两个主应力不等于零。 （3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应力状态下，三向应力状态下， 9.6.2 强度理论强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）、最大拉应力理论（第一强度理论）：理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素 。最大拉应力1达到该
20、材料在简单拉伸时最大拉应力的危险值材料引起断裂。 其强度条件为： 1 理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。2、最大伸长线应变理论、最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)：理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。 拉断拉断时时伸伸长线应变长线应变的极限的极限值为值为 断裂准则为：断裂准则为： 第二强度理论的强度条件：第二强度理论的强度条件：理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时的断裂破坏。受轴向压缩时的断裂破坏。3、最大剪应力理论（第三强度理
21、论）、最大剪应力理论（第三强度理论） 理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪应力因素，只要最大剪应力maxmax达到与材料性质有关达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。的某一极限值，材料就发生屈服。 单单向拉伸下，当与向拉伸下，当与轴线轴线成成45。的斜截面上的的斜截面上的 max=s/2时任意应力状态下任意应力状态下 屈服准则：屈服准则： 第三强度理论建立的强度条件为：第三强度理论建立的强度条件为： 4 4、形状改变比能理论、形状改变比能理论( (第四强度理论第四强度理论) )：第四强度理论认为：第四强度理论认为：形状改变比能是
22、引起塑性屈服的主要因素。形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。 单向拉伸时， 的形状改变比能。 就是导致屈服的形状改变比能的极限值。就是导致屈服的形状改变比能的极限值。 在机械和钢结构设计中常用此理论。在机械和钢结构设计中常用此理论。形状改变比能屈服准则为：形状改变比能屈服准则为： 在复杂应力状态下，单元体的形状改变比能为在复杂应力状态下，单元体的形状改变比能为: 整理后得屈服准则为：整理后得屈服准则为：按第四强度理论得到其强度条件为：按第四强度理论得到其强度条件为：5 5、莫尔强度理论、莫尔强度理论莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移
23、面上的摩擦力也不可忽略但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫尔摩擦定律莫尔摩擦定律)。综合最大剪应力及最大正应力的因素综合最大剪应力及最大正应力的因素 把一点处材料破坏时的最大应力圆称为极限应力圆。把一点处材料破坏时的最大应力圆称为极限应力圆。 最大剪应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服最大剪应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象现象 莫尔认为：材料在各种不同的应力状态下，发生莫尔认为：材料在各种不同的应力状态下，发生破坏时的所有极限应力圆的包络线为材料的极限破坏时的所有极限应力圆的包络线为材料的极限曲线；无论一点处的应力状态如何，只要最大应曲线；无论一点处的应力状态如何，只要最大应力圆与极限曲线相切，材料就发生强度失效，力圆与极限曲线相切，材料就发生强度失效，其切点对应该破坏面。其切点对应该破坏面。莫尔强度条件为：莫尔强度条件为：对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、岩石和对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、岩石和土体等，在以压为主的应力状态下，该理论与试土体等，在以压为主的应力状态下，该理论与试验结果符合的较好。验结果符合的较好。综合以上强度理论所建立的强度条件，可以写综合以上强度理论所建立的强度条件，可以写出统一的形式：出统一的形式： r r称为相当应力称为相当应力
