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1、计算方法计算方法计算方法计算方法总复习总复习总复习总复习胡敏合肥工业大学计算机与信息学院1藤蔓课堂计算方法-总复习4.22024/7/22 13:04考考试范范围n课堂中重点讲述内容n课堂例题n作业习题计算方法-总复习4.32024/7/22 13:04第第0章章 绪论n关于有效数字的位数问题若近似若近似值值x x 的的误误差限是某一数位的半个差限是某一数位的半个单单位，位，该该位到位到 x 的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n n位，位，则则称称x x 有有n n 位位有效数字有效数字定定义义计算方法-总复习4.42024/7/22 13:04证证明：明：例问问： 有几位有效数字？有几
2、位有效数字？请证请证明你的明你的结论结论。有有4 4 位有效数字，位有效数字，精确到小数点后第精确到小数点后第 3 3 位。位。类似题目：类似题目： 作业中习题一的一、二作业中习题一的一、二 题。题。计算方法-总复习4.52024/7/22 13:04第第1章章 插插值与与拟合合n拉格朗日插值N次拉格朗日插值多项式公式余项n牛顿插值nHermit插值n二次曲线拟合计算方法-总复习4.62024/7/22 13:04一、考核知识点一、考核知识点 插值函数，插值多项式；插值函数，插值多项式； 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式; ;插值基函数；插值基函数； 牛顿插值多项式；差商表牛顿插值多项式；
3、差商表; ; 分段线性插值、线性插值分段线性插值、线性插值基函数基函数 ( (二二) ) 复习要求复习要求 1. 1. 了解插值函数，插值节点等概念。了解插值函数，插值节点等概念。 2. 2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式， 知道拉格朗日知道拉格朗日插值多项式余项。插值多项式余项。 3. 3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握牛顿插值多项式的公式， 掌握差商表的计算，知掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。道牛顿插值多项式的余项。 4. 4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5. 5. 了解曲
4、线拟合最小二乘法的意义和推导过程，了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，计算方法-总复习4.72024/7/22 13:04一、一、一、一、 n n次次次次拉格朗日插拉格朗日插拉格朗日插拉格朗日插值值n ni iy yx xL Li ii in n, ,., , 0 0, ,) )( (= = = = = = =求求求求 n n 次插次插次插次插值值多多多多项项式式式式 使得使得使得使得已知已知: : f f( (x xi i)=)=y yi i (i=0,1, (i=0,1, ,n n) ) k k = = 0 0, , 1 1 , , , , n n . .结论结论: :n n次拉格朗日
5、插值多项式次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式n n次拉格朗日插值基函数次拉格朗日插值基函数次拉格朗日插值基函数次拉格朗日插值基函数计算方法-总复习4.82024/7/22 13:04设节设节点点点点 , , f f( (x x) ) 在在在在 a,ba,b 上具有上具有上具有上具有 n n+1+1阶导阶导数，数，数，数，L Ln n( (x x) )是其是其是其是其n n次次次次LagrangeLagrange插插插插值值多多多多项项式，式，式，式，则对则对 其中其中 LagrangeLagrange插插插插值值余余余余项项定理定理定理定理计算方法-总复习4.9202
6、4/7/22 13:04n解利用三点二次Lagrange插值.记则f(x)的二次Lagrange插值多项式为插值法计算 ，并估计误差。例1：已知计算方法-总复习4.102024/7/22 13:04计算方法-总复习4.112024/7/22 13:04误误差估差估计计计算方法-总复习4.122024/7/22 13:04差商的计算差商的计算-差商表差商表一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商二、牛顿插值多项式计算方法-总复习4.132024/7/22 13:04计算方法-总复习4.142024/7/22 13:04例例例例 已知已知已知已知x x x x=0, 2,
7、 3, 5=0, 2, 3, 5=0, 2, 3, 5=0, 2, 3, 5对应的函数值为对应的函数值为对应的函数值为对应的函数值为y y y y=1, 3, 2, 5=1, 3, 2, 5=1, 3, 2, 5=1, 3, 2, 5，作，作，作，作三次三次三次三次NewtonNewtonNewtonNewton插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式. . . .如再增加如再增加如再增加如再增加x x x x=6=6=6=6时的函数数值为时的函数数值为时的函数数值为时的函数数值为6 6 6 6，作四次，作四次，作四次，作四次NewtonNewtonNewtonNewton插值多项式插值多项式
8、插值多项式插值多项式. . . .n解 首先构造差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10三次Newton插值多项式为计算方法-总复习4.152024/7/22 13:04n增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120四次Newton插值多项为计算方法-总复习4.162024/7/22 13:04三、三、 Hermit插值插值已知：
9、已知：构造一个次数构造一个次数 3 3的多项式的多项式H H3 3( (x x) )，满足插值条件：，满足插值条件：（* * * *）计算方法-总复习4.172024/7/22 13:04两点三次两点三次Hermit插值插值已知：已知：构造一个次数构造一个次数 3 3的多项式的多项式H H3 3( (x x) )，满足插值条件：，满足插值条件：（* * * *）计算方法-总复习4.182024/7/22 13:04两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续1）直接直接设设待定系数将使待定系数将使计计算复算复杂杂，且不易推广到高次。回，且不易推广到高次。回忆忆LagrangeLagrange插
10、插值值基函数的方法，引入四个基函数基函数的方法，引入四个基函数使之使之满满足足5 5 5 5计算方法-总复习4.192024/7/22 13:04两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续2）其中其中其中其中都是次数都是次数都是次数都是次数为为3 3 3 3的多的多的多的多项项式式式式则则HH3 3 3 3( ( ( (x x) ) ) )是一个次数是一个次数是一个次数是一个次数 3 3 3 3的多的多的多的多项项式且式且式且式且满满足插足插足插足插值值条件条件条件条件（* *）计算方法-总复习4.202024/7/22 13:04基函数求法：基函数求法：求求求求3 3 3 3计算方法-总复
11、习4.212024/7/22 13:04同理同理计算方法-总复习4.222024/7/22 13:04设 由0(x0)=1 ，得 , 于是同理有计算方法-总复习4.232024/7/22 13:04四、拟合2323藤蔓课堂藤蔓课堂计算方法-总复习4.242024/7/22 13:04(2)(2)12122424藤蔓课堂藤蔓课堂计算方法-总复习4.252024/7/22 13:04例例题n例设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟合上述数据.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.7182525藤蔓课堂藤蔓课堂计算方法-总复习4
12、.262024/7/22 13:04n解方程组得n所以二次拟合多项式为解：设所求的二次拟合多项式为解：设所求的二次拟合多项式为则有如下方程组则有如下方程组2626藤蔓课堂藤蔓课堂第第2章、数章、数值积分与数分与数值微分微分27藤蔓课堂计算方法-总复习4.282024/7/22 13:04一、等距一、等距节点求点求积公式公式梯形公式Simpson公式计算方法-总复习4.292024/7/22 13:04 四、代数精度的四、代数精度的概念概念 定定义2 2：若一个求若一个求若一个求若一个求积积公式公式公式公式对对f(x)=1, x, x2 , x m均均均均精确成立，而精确成立，而精确成立，而精确
13、成立，而对对f(x)=x m+1不精确成立不精确成立不精确成立不精确成立, , , ,则则称此求称此求称此求称此求积积公式具有公式具有公式具有公式具有m次代数精度次代数精度次代数精度次代数精度.计算方法-总复习4.302024/7/22 13:04验证:梯形公式1次代数精度辛甫生公式3次代数精度 定理定理:求求积积公式公式至少有至少有n n次代数精度的充要条件是它是次代数精度的充要条件是它是插插值值型型求求积积公式。公式。换言之，换言之，n+1n+1个节点的插值型求积公式个节点的插值型求积公式 至少具有至少具有 n n 次代数次代数精度精度计算方法-总复习4.312024/7/22 13:04
14、例例 设有求积公式设有求积公式求求A A0，A A1 1，A A2 2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度的代数精度解：（解：（3 3个未知系数需三个方程）个未知系数需三个方程）令求积公式分别对令求积公式分别对f f( (x x) = 1) = 1、x x、x x2 2精确成立。即精确成立。即 解之得解之得A A0 = = A A2 2 = 1/3 = 1/3，A A1 1 = 4/3 = 4/3，计算方法-总复习4.322024/7/22 13:04二、复合求二、复合求积法法复合梯形公式复合Simpson公式计算方法-总复习4.332024/
15、7/22 13:04例：利用函数表例：利用函数表分别利用复合分别利用复合梯形梯形公式、公式、复合复合SimpsonSimpson公式公式计算积分计算积分的近似值，的近似值， 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471计算方法-总复习4.342024/7/22 13:04将区间将区间8 8等分，用复合等分，用复合梯形梯形公式公式, ,得到得到解：解：计算方法-总复习4.352024/7/22 13:04将区间将区间44等分，用复合等分，用复合Si
16、mpsonSimpson公式公式, ,得到得到计算方法-总复习4.362024/7/22 13:04三、三、龙贝格算法格算法计算方法-总复习4.372024/7/22 13:04通过上述通过上述通过上述通过上述3 3 3 3个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，称之为称之为称之为称之为RombergRombergRombergRomberg算法。算法。算法。算法。4 4 4 4个积分值序列：个积分值序列：个积分值序列：个积分值序列：梯形值序列梯形值序列梯形值序列梯形值序列SimpsonSimpsonSim
17、psonSimpson值序列值序列值序列值序列RombergRombergRombergRomberg值序列值序列值序列值序列CotesCotesCotesCotes值序列值序列值序列值序列计算方法-总复习4.382024/7/22 13:04图3.3.1计算停止准则计算停止准则计算停止准则计算停止准则: : : :同一行或同一列相邻两数之差的同一行或同一列相邻两数之差的同一行或同一列相邻两数之差的同一行或同一列相邻两数之差的绝对值不超过预先给定的误差绝对值不超过预先给定的误差绝对值不超过预先给定的误差绝对值不超过预先给定的误差. . . . Romberg Romberg 算法：算法：算法：
18、算法：计算方法-总复习4.392024/7/22 13:04例：例：例：例：用用用用RombergRomberg算法求解定算法求解定算法求解定算法求解定积积分：分：分：分：误误差限：差限：差限：差限：1.0e-51.0e-5 解：解：解：解：（要求两分三次，保留要求两分三次，保留要求两分三次，保留要求两分三次，保留5 5位有效数字）位有效数字）位有效数字）位有效数字）计算方法-总复习4.402024/7/22 13:04 解：按解：按解：按解：按RombergRomberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：公式的求积步骤进行计算，结果如下：公式的求积步骤进行计算，结果如下：公式的求积步骤进行计
19、算，结果如下：计算方法-总复习4.412024/7/22 13:04计算方法-总复习4.422024/7/22 13:04四、数四、数值微分微分第第3章、常微分方程的数章、常微分方程的数值解法解法43藤蔓课堂计算方法-总复习4.442024/7/22 13:04欧拉法及改欧拉法及改进欧拉法欧拉法计算方法-总复习4.452024/7/22 13:04一、欧拉公式计算方法-总复习4.462024/7/22 13:04三三 改改进欧拉公式欧拉公式 Step 1Step 1: : 先用先用先用先用显显式欧拉式欧拉式欧拉式欧拉公式公式公式公式作作作作预测预测，算出，算出，算出，算出) ), ,( (1
20、1i ii ii ii iy yx xf fh hy yy y+ + + += = = =+ + + +Step 2Step 2: : 再再再再将将将将 代入代入代入代入隐隐式式式式梯形公式的右梯形公式的右梯形公式的右梯形公式的右边边作作作作校正校正校正校正，得到，得到，得到，得到1 1+ + + +i iy y) ), ,( () ), ,( ( 2 21 11 11 1+ + + + + + + + + + + + + + + += = = =i ii ii ii ii ii iy yx xf fy yx xf fh hy yy y改改改改进进欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式 这这是一种是
21、一种是一种是一种显显式格式式格式式格式式格式, , , ,它可以表示它可以表示它可以表示它可以表示为为嵌套形式嵌套形式嵌套形式嵌套形式。改改改改进进欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式计算方法-总复习4.472024/7/22 13:04例：用改进欧拉公式求解初值问题例：用改进欧拉公式求解初值问题要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位.n解设f(x,y)=-y-y2sinx,x0=1,y0=1, xi=x0+ih=1+0.2i, 改改进欧拉公式为计算方法-总复习4.482024/7/22 13:04于是有由y0=1计算得第第4章、方程章、方程求求根的迭代
22、法根的迭代法49藤蔓课堂计算方法-总复习4.502024/7/22 13:04一、一、简单迭代法迭代法计算方法-总复习4.512024/7/22 13:04收收敛定理定理局部收局部收敛定理定理计算方法-总复习4.522024/7/22 13:04例设例设例设例设F F F F( ( ( (x x x x)=)=)=)=x x x x+ + + +c c c c( ( ( (x x x x2 2 2 2-3)-3)-3)-3)，应如何选取，应如何选取，应如何选取，应如何选取c c c c才能使迭才能使迭才能使迭才能使迭x x x xk k k k+1+1+1+1= = = =F F F F( (
23、 ( (x x x xk k k k) ) ) )代具有局部收敛性？代具有局部收敛性？代具有局部收敛性？代具有局部收敛性？ n解解:方程方程x=F(x)的根的根为 ，函数，函数F(x)在根附近具有在根附近具有连续一一阶导数，又数，又 F (x)=1+2cx, ，解，解 得得 解解 得得 从而要使迭代从而要使迭代xk+1=F(xk) 具有局部收具有局部收敛性，性， 则 .计算方法-总复习4.532024/7/22 13:04计算方法-总复习4.542024/7/22 13:04例例例例 已知迭代公式已知迭代公式已知迭代公式已知迭代公式 收敛收敛收敛收敛于于于于 证明证明证明证明该迭代公式平方收敛
24、。该迭代公式平方收敛。该迭代公式平方收敛。该迭代公式平方收敛。证证证证: : : : 迭代公式相应的迭代函数为迭代公式相应的迭代函数为迭代公式相应的迭代函数为迭代公式相应的迭代函数为将将将将 代入代入代入代入，故迭代公式故迭代公式平方收敛平方收敛。计算方法-总复习4.552024/7/22 13:04二、牛二、牛顿迭代法迭代法计算方法-总复习4.562024/7/22 13:04第第5章、章、 线性方程性方程组的数的数值解法解法57藤蔓课堂计算方法-总复习4.582024/7/22 13:04n直接求解：高斯消去法高斯列主元消去法矩阵的三角分解法：Doolittle分解法n迭代法雅克比迭代法高
25、斯-赛德尔迭代法SOR迭代法雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性判断（1.充要条件求解矩阵特征值，2.严格占优）计算方法-总复习4.592024/7/22 13:04例例: :用矩用矩阵的直接三角分解法解方程的直接三角分解法解方程组或或或或 用用用用 Doolittle Doolittle 分解法分解法分解法分解法计算方法-总复习4.602024/7/22 13:04计算方法-总复习4.612024/7/22 13:04计算方法-总复习4.622024/7/22 13:04计算方法-总复习4.632024/7/22 13:04计算方法-总复习4.642024/7/22 13:05nJacobi迭代矩阵的特征方程的推导迭代矩阵的特征方程的推导Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程的推导迭代矩阵的特征方程的推导
