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1、 -函数的单调性一、引入一、引入课题 观察下列各个函数的察下列各个函数的图象，并象，并说说它它们分分别反映了相反映了相应函数的哪些函数的哪些变化化规律：律：yx11-1yx1-11-1问：随：随x的增大，的增大，y的的值有什么有什么变化？化？x1-11y-1-1画出下列函数的画出下列函数的图象，象，观察其察其变化化规律：律：1 1f (x) = x 从左至右从左至右图象上升象上升还是下降是下降_?_?在区在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的的值随着随着 _ _ 2 2f (x) = -2x+1 从左至右从左至右图象上升象上升还是下降是下降 _?_?在区在区间 _ _
2、上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的的值随着随着 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）减小减小3 3f (x) = x2在区在区间 _ _ 上，上，f (x)的的值随随着着x的增大而的增大而 _ _ 在区在区间 _ _ 上，上，f (x)的的值随随着着x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234f(x) 16 941014916 (-,0减小减小（0，+）增大增大 y246810O- -2x84121620246210141822D对区区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时， 有有f(x1)f(x2)图象在区象在区间D逐逐渐上升上升？OxIy区
3、区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意区区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在区象在区间D逐逐渐上升上升对区区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数函数y=f(x)的定的定义域域为I,区区间D I. 如果如果对于区于区间D上的任意上的任意当当x1x2时，都有，都有 f(x1 ) f(x2 )，定定义MN任意任意两个自两个自变量的量的值x1,x
4、2， D 称称为 f (x)的的单调增区增区间. 那么就那么就说 f (x)在区在区间D上上 是是单调增函数，增函数，区区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在区象在区间D逐逐渐上升上升D 那么就那么就说在在f(x)这个区个区间上是上是单调减减函数，函数，D称称为f(x)的的单调 减减 区区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比比单调增函数的研究方法定增函数的研究方法定义单调减函数减函数. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数函数y=f(x)的定的定义域域为I, 如果如果对于属于定于属于定义域域I内某个区内某个区间D上上的任意两个自的任意两个自变量的量的值x1,x2，
5、设函数函数y=f(x)的定的定义域域为I, 如果如果对于属于定于属于定义域域I内某个区内某个区间D上上的任意两个自的任意两个自变量的量的值x1,x2， 那么就那么就说在在f(x)这个区个区间上是上是单调增增 函数，函数，D称称为f(x)的的单调 区区间.增增当当x1x2时，都有，都有 f (x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，都有，都有f(x1 ) f(x2 )，单调区区间注意：注意： 函数的函数的单调性是在定性是在定义域内的某个区域内的某个区间上的性上的性质，是函数的局部性是函数的局部性质；必必须是是对于区于区间D D内的任意两个自内的任意两个自变量量x1，x2；函数的函数的单调性是相性
6、是相对某个区某个区间而言，不能直接而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。某函数是增函数或减函数。下列下列说法是否正确？法是否正确？请画画图说明理由。明理由。（1 1）如果）如果对于区于区间（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f( (x)f(0),(0),则函数在区函数在区间（0 0，+）上）上单调递增。增。（2）对于区于区间（a, ,b）上的某）上的某3 3个自个自变量的量的值 x1 1, ,x2 2, ,x3 3, ,当当 时， 有有 则函数函数f( (x) )在区在区间（a, ,b）上）上单调递增增。2 2单调性与性与单调区区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区在某个区间D D
7、上是增函数或减函数，那么上是增函数或减函数，那么就就说函数函数y=f(x)在在这一区一区间具有（具有（严格的）格的）单调性，区性，区间D D叫叫做做y=f(x)的的单调区区间：注意：注意：函数的函数的单调区区间是其定是其定义域的子集；域的子集；应是是该区区间内任意的两个内任意的两个实数，忽数，忽略需要任意取略需要任意取值这个条件，就不能保个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，函数是增函数（或减函数），例如，图5 5中，在那中，在那样的特定位置上，的特定位置上，虽然然使得使得 , ,但但显然此然此图象表象表示的函数不是一个示的函数不是一个单调函数；函数；1x2x)(1xf)(2xf)
8、(xf图5yx几何特征：在自几何特征：在自变量取量取值区区间上，若上，若单调函数的函数的图象上升，象上升，则为增函数，增函数，图象下降象下降则为减函数减函数. .思考思考1 1：一次函数：一次函数 的的单调性，性，单调区区间：思考思考2 2：二次函数：二次函数 的的单调性，性，单调区区间：（二）典型例题例例1 1 如如图6 6是定是定义在在闭区区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的的图象，根据象，根据图象象说出出y=f(x)的的单调区区间，以及在每一，以及在每一单调区区间上，函数上，函数y=f(x)是增函数是增函数还是减函数是减函数. . O书写写单调区区间时，注意区，注意区间端点的
9、写法。端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数于某一个点而言，由于它的函数值是一个是一个确定的常数，无确定的常数，无单调性可言，因此在写性可言，因此在写单调区区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。，可以包括端点，也可以不包括端点。但但对于某些不在定于某些不在定义域内的区域内的区间端点，端点，书写写时就必就必须去掉端点。去掉端点。练习：判断函数：判断函数 的的单调区区间。xy21o单调递增区增区间：单调递减区减区间：证明：明：（取（取值）（作差）（作差）（下（下结论）（定号）（定号）补例例3 3证明函数明函数单调性的方法步性的方法步骤 利用定利用定义证明函数明函数f(x)在在给定的区定的区间
10、D D上的上的单调性的一性的一般步般步骤： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）；形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正的正负）；）；下下结论（即指出函数（即指出函数f(x)在在给定的区定的区间D D上的上的单调性）性）证证明：明：明：明：f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20设x1，x2是是R上的任意两个上的任意两个实数，且数，且x1x2，则例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的
11、玻意定律 ( (k k为正常数正常数) )告告诉我我们, ,对于一定量的气体于一定量的气体, ,当体当体积V 减减小小时, ,压强 P 将增大将增大. .试用函数的用函数的单调性性证明之明之. .探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的的图象象这个函数的定个函数的定义域是什么？域是什么？它在定它在定义域域I上的上的单调性怎性怎样？证明你的明你的结论思考思考3 3：反比例函数：反比例函数 的的单调性，性，单调区区间： 三、三、归纳小小结1.1.函数的函数的单调性的判定、性的判定、证明和明和单调区区间的确定：函数的确定：函数 的的单调性一般是先根据性一般是先根据图象判断，再利用定象判断，再利用定义证明画明画函数函数图象通常借助象通常借助计算机，求函数的算机，求函数的单调区区间时必必须要要注意函数的定注意函数的定义域，域，单调性的性的证明一般分五步：明一般分五步：取取 值 作作 差差 变 形形 定定 号号 下下结论2.2.直接利用初等函数的直接利用初等函数的单调区区间。
